精品解析：福建省龙市岩漳平市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年第一学期阶段性课堂练习九年级数学 （时间：120分钟，满分150分） 温馨提示：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 4. 如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程两根之和为2的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆的内接平行四边形是矩形 C. 三角形不一定有外接圆 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 8. 已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( ) A. 点p在⊙O内 B. 点p在⊙O上 C. 点p在⊙O外 D. 以上都不对 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D. 10. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示 若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ） ①在M处放置2台该型号的灯光装置 ②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置 ③在P处放置2台该型号的灯光装置 A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是______． 13. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是____________． 14. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______ 15. 如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为________． 16. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程 （1） （2） 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是单位 （1）画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的； （2）请直接写出，，三点的坐标． 19. 如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切． 20. 如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______． 21. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题 （1）小球从飞出到落地要用多少时间？ （2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？ 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 23. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 24. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是________，________； （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 25. 小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究： [问题背景] 如图①，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论： [简单应用] （1）在图①中，若，，则______． （2）如图③，是的直径，点C、D在上，，若，，求CD的长． [拓展延伸] （3）如图④，，，若，，求的长．（用含a，b的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期阶段性课堂练习九年级数学 （时间：120分钟，满分150分） 温馨提示：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理． 观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解． 【详解】解：弧弧， 其中是弧的圆心角，是弧的圆周角， ． 故选：． 3. 如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可得AB的长. 【详解】解：连接OA， ∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB， ∴AC＝＝4， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC＝2×4＝8． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，熟练掌握基础知识是解题关键. 4. 如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”； 本题首先根据切线长定理，可得，再由，可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长； 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴， 故选：C． 5. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 6. 下列一元二次方程两根之和为2的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式及根于系数的关系即可求解． 【详解】解：A、，原方程无解，故不符合题意； B、，，故不符合题意； C、，，故符合题意； D、，，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根于系数的关系，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆的内接平行四边形是矩形 C. 三角形不一定有外接圆 D. 90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 直径是圆中最长的弦，故该选项正确，不符合题意， B. 圆的内接平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意， C. 三角形一定有外接圆，故该选项不正确，符合题题意， D. 90°的圆周角所对的弦是直径，故该选项正确，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心，理解相关定义定理是解题的关键． 8. 已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( ) A. 点p在⊙O内 B. 点p在⊙O上 C. 点p在⊙O外 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，进而判断点P与⊙O的位置关系． 【详解】∵a=1，b=−2，c=m， ∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×m=4−4m>0， 解得：m<1. 则点P在⊙O内部. 故答案为A. 【点睛】本题考查根的判别式和点与圆的位置关系，解题的关键是掌握根的判别式和点与圆的位置关系. 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和抛物线解析式知与二次函数与y轴交于同一点，据此即可求得；本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 【详解】解：在中，当时，， ∴与y轴的交点为； 在中，当时，， ∴与y轴的交点为， 则与与y轴交于同一点， 故选：D． 10. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示 若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ） ①在M处放置2台该型号的灯光装置 ②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置 ③在P处放置2台该型号的灯光装置 A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图 ∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区， ∴优弧所对圆周角 如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且 ∴为优弧所对圆周角 ∴，即①方案成立； 在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图， ∵，， ∴②方案成立； 在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P 如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总 根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和 ∴③方案不成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案． 【详解】解：根据图象可得，图象与x轴交于，， 故当时，x的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键． 13. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确时，抛物线与x轴有交点． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，由反向平移得到原来的函数，再按照“左加右减，上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得． 故答案为：． 15. 如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧长的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到弧，计算即可． 【详解】过作于点， ，， ， ， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 解得， 故答案为：． 16. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 则， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∴， 则或， 解得 18. 如图，网格中每个小正方形的边长都是单位 （1）画出将绕点O顺时针方向旋转后得到的； （2）请直接写出，，三点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），， 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系中图形的位置可知：，，． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 19. 如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切． 【答案】 如图， 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，结合线段垂直平分线的性质、切线的判定可知，即为所求．本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、切线的判定是解答本题的关键． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆， 此时，， ， ， 为的半径， 与相切， 则即为所求． 20. 如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接，可证明四边形是正方形，则，，根据，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 半径为， ， 阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题 （1）小球从飞出到落地要用多少时间？ （2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？ 【答案】（1）4s；（2）2s． 【解析】 【分析】（1）令h=0，求t即可； （2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解． 【详解】（1）令h=20t-5t2=0 解得t1=0（舍去），t2=4 ∴小球从飞出到落地要用4s （2）由配方法得 y=20t-5t2=-5（t-2）2+20 ∵a=-5＜0 ∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s． 【点睛】本题是代数综合题，考查了二次函数和一元二次方程的有关知识． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据，，结合图象，即可确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 23. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1）正方形， 理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）17 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】解：（1）略 （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是________，________； （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 【答案】（1）和2；3； （2） 依题意，得：， ∴， ∵， ∴该方程无解，即代数式没有不变值； （3）b的值为或1． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值； （2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值； （3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 即， 解得：，， ∴． 故答案为：和2；3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，得：方程即有两个相等的实数根， ∴， ∴，． 答：b的值为或1． 25. 小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究： [问题背景] 如图①，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论： [简单应用] （1）在图①中，若，，则______． （2）如图③，是的直径，点C、D在上，，若，，求CD的长． [拓展延伸] （3）如图④，，，若，，求的长．（用含a，b的代数式表示） 【答案】（1），（2），（3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，将与的长度代入即可得出的长度； （2）连接、、，即可将问题转化为（1）的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出的长度； （3）以为直径作，连接并延长交于点，由（2）问题可知：；又因为，所以利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：（1）由题意可得：， ，， ， ， 故答案为：； （2）连接、、， 是的直径， ， ， ， 将绕点顺时针旋转到处，如图③， ∴，，，， ∵四边形是圆内接四边形， ， ∵， ∴ ， ， 、、三点共线， ，， ， ， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ； （3）以为直径作，连接并延长交于点， 连接，，，如图④， ， ， 为的直径， ∴， ， 由（2）的证明过程可知：， ， 又是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合问题，每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答，考查学生综合运用知识的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $