清单03 全等三角形（14个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单03 全等三角形（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 四、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否 正确，这样的推理过程叫做证明 【清单02】 判定全等三角形（边边边） 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【清单03】 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【清单04】 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【清单05】 角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【清单06】 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【清单07】 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【清单08】 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单09】逆命题与逆定理 一、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 二、互逆命题 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 【清单10】 五种基本作图 【考点题型一】命题 【典例1】下列命题中，真命题是（  ） A．所有定理都有逆命题 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．同位角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，同位角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握任何命题都有逆命题，同位角的定义，三角形的外角性质，轴对称图形，中心对称图形的定义．由命题逆命题的概念，同位角的定义，三角形外角的性质，轴对称图形，中心对称图形的定义，即可判断． 【详解】解：A、定理也是命题，有逆命题，正确，故A符合题意； B、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故B不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故C不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反例的运用，理解反例的运用方法是解题的关键． 根据题意，代入计算即可求解． 【详解】解：“如果，则”， A、，则， ∴，则是假命题，符合题意； B、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； C、，则， ∴，则是真命题题，不符合题意； D、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； 故选：A ． 【变式1-2】下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列语句中，是命题的是（    ） A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题．根据命题的定义解答即可． 【详解】解：A、延长线段到，不是命题； B、两点之间线段最短，是命题； C、画，不是命题； D、等角的余角相等吗，不是命题； 故选：B． 【考点题型二】定理与证明 【典例2】（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式2-1】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【变式2-2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式2-3】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 【考点题型三】全等三角形的判定 【典例3】如图所示，与交于点E，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用线段的和证明，再利用“边边边”即可证明结论． 【详解】，， ， 即BC=AD， 在和中， （SSS） 【点睛】本题只要考查三角形全等的证明，解题关键是找到两个三角形的对应边或对应角的相等关系． 【变式3-1】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 【变式3-2】如图，为已知角，第一步：在射线、上，分别截取、，使得；第二步：分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，在内，两弧相交于点；第三步：作射线，连接、．根据作图过程可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】边边边/ 【分析】根据分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，得，根据是公共边，全等三角形的判定，即可． 【详解】∵分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧， ∴， ∵，是公共边， ∴在和中， ∴， ∴． 故答案为：边边边（或）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，角平分线的定义，尺规作图． 【变式3-3】如图，已知，，请你补充一个条件， 使，你添加的条件是 ． 【答案】或或或．（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】已知条件是，，补充的第三个条件可以是边，用SAS判断全等，也可以是角，用AAS或者ASA判定全等，所补充的条件一定要符合全等三角形的判定定理． 【详解】解：，， 根据ASA判断全等添加； 根据AAS判断全等添加； 根据SAS判断全等添加或， 故答案为：或或或．（答案不唯一，符合题意即可） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，熟练运用判定定理是解题的关键． 【考点题型四】全等三角形的判定与性质 【典例4】如图，的两条高，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长度为． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，同时也利用了三角形的高线的性质及三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先利用三角形的高线的性质证明，然后利用即可证明解决问题； （2）利用全等三角形的性质可以得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵的两条高，交于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 【变式4-1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 【变式4-2】如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）补充：，即可用“”证明； （2）根据，可得，继而可求出，即可求解； （3）根据，可得，根据，可证明． 【详解】（1）解：补充：， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，证明即可； （2）推导，即解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点题型五】等腰三角形的定义 【典例5】若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（    ） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：有两种情况：腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形， 周长； 腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形， 周长． 故选：B． 【变式5-1】若等腰三角形的一个内角是，则另外两个角的度数分别是（    ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当是底角时，顶角为， ∴另外两个角的度数分别是，； 当是顶角时，底角为， ∴另外两个角的度数分别是，； 综上，另外两个角的度数分别是，或，， 故选：． 【变式5-2】若等腰三角形一个角的度数是，则这个等腰三角形底角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．根据等腰三角形的一个角的度数为，分为顶角和底角两种情况求解，即可解题． 【详解】解：当等腰三角形的底角是时，等腰三角形的底角的度数是， 当等腰三角形的顶角是时，等腰三角形的底角的度数是， 故选：C． 【变式5-3】等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论． 分是底边与腰长两种情况讨论求解． 【详解】解：当是底边时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 当是腰长时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 故选：C． 【考点题型六】等边三角形的性质 【典例6】如图，已知等边中，，与相交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由等边三角形的性质可得，，证明得出，再由三角形外角的定义及性质求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解，求解的度数是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到然后根据解题即可． 【详解】解：∵， ∴，即 又∵， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-3】如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】3 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 【考点题型七】格点画出等腰三角形 【典例7】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 【变式7-1】如图，在格点中找一点C，使得是等腰三角形，且为其中一条腰，这样的点C个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定，分情况讨论：即可确定点C的个数． 【详解】解：如图所示： 满足条件的点C有9个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 【变式7-2】如图，已知每个小方格的边长为，，两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有个； 这样的顶点有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数是（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰． 【详解】解：如图： ①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有2个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有6个． 综上所述，符合条件的点P的个数共8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 【考点题八】等腰三角形的性质和判定综合 【典例8】如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴为等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，即是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 【变式8-1】如图，在中，，，是边上一点（点不与点，重合），连接，，．连接交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质，可求得，，进一步可得，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和性质即可取得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式8-2】数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． (1)如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边  B．等边对等角   C．等腰三角形“三线合一” (3)如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 【答案】(1)见解析 (2)C (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）证明得出，即可得证； （2）根据是等腰三角形，根据三线合一，即可得证； （3）分情况讨论，①当，时，②当，时，分别画出图形，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 平分； （2）解：， 是等腰三角形， 平分， ，依据是等腰三角形“三线合一”性质． 故选：C； （3）解：，， ， 四边形为“筝形”， ①当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ； ②当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ． 综上，的度数为或． 故答案为： 或 ． 【变式8-3】小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，即，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论； （2）连接，易证是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）证明，易得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ； （2）解：连接如图所示， 由旋转的性质可知． 是等腰三角形， ． ， ； （3）解：由旋转的性质可知 ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． 【考点题型九】等边三角形的性质与判定综合 【典例9】如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）如图，过P作交于点F，证明是等边三角形；证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，是等边三角形，由，可得，由（1）可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式9-1】（1）如图1，是等边三角形，D是边下方一点，，探索线段，，之间的数量关系． （2）如图2，是等边三角形，直线，D为边上一点，交直线a于点E，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． （1）由等边三角形知，，结合知，由知，证得，，再证是等边三角形得； （2）首先在上截取，由为等边三角形，易得是等边三角形，继而可证得，即可得，则可证得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 即； （2）证明：在上截取， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式9-2】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点为的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并把下面理由补充完整． 理由如下：过点作，交于点． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）作，交的延长线于点F，则，同理可得，由求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； （3）解：如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 【变式9-3】如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证： 是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，求出，证，得到，根据即可求解； （2）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【考点题型十】尺规作图 【典例10】如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）①根据尺规作平分线的步骤作图即可作出图形； ②按要求作图即可； （2）根据证明可得结论． 【详解】（1）解：①②图形如图所示； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵线段的中点为N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式10-1】已知：在中，， (1)（尺规作图）求作：的角平分线，使得与相交于点． (2)若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了基本尺规作图，等腰三角形的性质，解决问题的关键是熟悉角平分线的尺规作图方法． （1）根据基本尺规作图-作角平分线的方法,结合题中几何语言画出对应的几何图形即可得到答案； （2）根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：，是的角平分线， 由等腰三角形三线合一性质可得， ． 【变式10-2】如图所示，是等腰三角形，若，且． (1)基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段上确定一点，使得，连接； (2)在（1）问所作图中，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理； （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求． （2）根据等腰三角形的性质可得，，，则．根据，可求出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则点即为所求． （2）， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ． 【变式10-3】如图，直角中，． (1)请在边上截取线段，使得，过点作直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点（要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）按要求作图即可； （2）证明，则，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，的长为半径画弧交于，以为圆心，的长为半径画弧交于，作的垂直平分线，交于，连接并延长，交的延长线于，点，点，点即为所作； （2）解：由题意知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 【点睛】本题考查了作线段，作垂线，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，作垂线，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点题型十一】垂直平分线的性质 【典例11】如图，在中，的垂直平分线分别交、中于点、，若的周长为9，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得，再结合的周长为9，，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为9，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式11-1】如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用线段垂直平分线得，即可求出，利用，即可求出，最后利用角度和差即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 【变式11-3】如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别是线段，的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【考点题型十二】垂直平分线的性质和判定 【典例12】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式12-1】已知线段． (1)请你用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据你的作图过程和结果，证明：是的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的画法和证明，画出线段的垂直平分线是解答关键． （1）根据垂直平分线的画法作出图形即可； （2）连接，，，，根据得到点在线段的垂直平分线上，同理可得点在线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】（1）解：作图如下 （2）证明：连接，，，． ∵ ∴点在线段的垂直平分线上． ∵ ∴点在线段的垂直平分线上． ∴为线段的垂直平分线． 【变式12-2】综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据三角形内角和性质，求得，再根据轴对称的性质，求得，最后根据三角形的外角性质，即可求得答案； （2）由筝形的定义可知，，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①， ，， ， 对折，使点落在边上的点处， ， ； 故答案为：． （2）证明：如图②， 四边形是筝形， ，， 点A，点D都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． 【变式12-3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)若，求的度数． (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解； （2）连接、、，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解： ， 边、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， 又，， ， ， ． （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接、、， 边、的垂直平分线与分别交于点、，直线、交于点． ，， ， 点在的垂直平分线上 【变式12-4】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 【考点题型十三】角平分线的性质 【典例13】如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 【变式13-1】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【变式13-2】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】解∶ ∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 【变式13-3】如图，在中，，平分．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， 解得， 又平分，，， ． 故答案为：． 【考点题型十四】角平分线与全等三角形的综合 【典例14】如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【变式14-1】如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． (1)求证：为的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，由已知条件及角平分线的判定定理即可得出结论； （2）利用可证得，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，然后由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，           ， 又， 为的平分线； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可得：为的平分线， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理是解题的关键． 【变式14-2】如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式14-3】如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 【变式14-4】如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)的值不发生改变，等于9，理由见详解； 【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； （2）证明：过O分别作于M点，作于N点， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 全等三角形（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 全等三角形 【清单01】命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 四、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否 正确，这样的推理过程叫做证明 【清单02】 判定全等三角形（边边边） 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【清单03】 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【清单04】 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【清单05】 角平分线 1.角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2. 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【清单06】 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【清单07】 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【清单08】 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单09】逆命题与逆定理 一、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 二、互逆命题 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 【清单10】 五种基本作图 【考点题型一】命题 【典例1】下列命题中，真命题是（  ） A．所有定理都有逆命题 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．同位角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【变式1-1】可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式1-3】下列语句中，是命题的是（    ） A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 【考点题型二】定理与证明 【典例2】（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式2-1】如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【变式2-2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式2-3】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【考点题型三】全等三角形的判定 【典例3】如图所示，与交于点E，，，．求证：． 【变式3-1】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，为已知角，第一步：在射线、上，分别截取、，使得；第二步：分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，在内，两弧相交于点；第三步：作射线，连接、．根据作图过程可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． 【变式3-3】如图，已知，，请你补充一个条件， 使，你添加的条件是 ． 【答案】或或或．（答案不唯一，符合题意即可） 【考点题型四】全等三角形的判定与性质 【典例4】如图，的两条高，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式4-1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【变式4-2】如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【变式4-3】如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．   (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点题型五】等腰三角形的定义 【典例5】若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（    ） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 【变式5-1】若等腰三角形的一个内角是，则另外两个角的度数分别是（    ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【变式5-2】若等腰三角形一个角的度数是，则这个等腰三角形底角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式5-3】等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【考点题型六】等边三角形的性质 【典例6】如图，已知等边中，，与相交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【考点题型七】格点画出等腰三角形 【典例7】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式7-1】如图，在格点中找一点C，使得是等腰三角形，且为其中一条腰，这样的点C个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式7-2】如图，已知每个小方格的边长为，，两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-3】如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数是（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【考点题八】等腰三角形的性质和判定综合 【典例8】如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式8-1】如图，在中，，，是边上一点（点不与点，重合），连接，，．连接交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【变式8-2】数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． (1)如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边  B．等边对等角   C．等腰三角形“三线合一” (3)如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 【变式8-3】小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 【考点题型九】等边三角形的性质与判定综合 【典例9】如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【变式9-1】（1）如图1，是等边三角形，D是边下方一点，，探索线段，，之间的数量关系． （2）如图2，是等边三角形，直线，D为边上一点，交直线a于点E，且，求证：． 【变式9-2】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点为的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并把下面理由补充完整． 理由如下：过点作，交于点． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【变式9-3】如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证： 是等边三角形． 【考点题型十】尺规作图 【典例10】如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【变式10-1】已知：在中，， (1)（尺规作图）求作：的角平分线，使得与相交于点． (2)若，求的长． 【变式10-2】如图所示，是等腰三角形，若，且． (1)基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段上确定一点，使得，连接； (2)在（1）问所作图中，当时，求的度数． 【变式10-3】如图，直角中，． (1)请在边上截取线段，使得，过点作直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点（要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【考点题型十一】垂直平分线的性质 【典例11】如图，在中，的垂直平分线分别交、中于点、，若的周长为9，，则的长为 ．   【变式11-1】如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 【变式11-2】游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【变式11-3】如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十二】垂直平分线的性质和判定 【典例12】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式12-1】已知线段． (1)请你用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据你的作图过程和结果，证明：是的垂直平分线． 【变式12-2】综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 【变式12-3】如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)若，求的度数． (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 【变式12-4】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【考点题型十三】角平分线的性质 【典例13】如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式13-1】如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【变式13-3】如图，在中，，平分．若，，则 ． 【考点题型十四】角平分线与全等三角形的综合 【典例14】如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【变式14-1】如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． (1)求证：为的平分线； (2)求的度数． 【变式14-2】如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【变式14-3】如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式14-4】如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$