清单04 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单04 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【典例1】如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（    ） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 【答案】D 【变式1-2】如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为 （    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 【典例2】如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（   ） A．5 B．3 C．4 D．7 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【变式2-3】已知平面直角坐标系中有A（1，1），B（4，4）两点，则连接两点的线段AB的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【考点题型三】勾股树(数)问题 【典例3】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式3-1】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 【变式3-2】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例4】如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 【变式4-1】如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【变式4-2】如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【变式4-3】如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 【变式4-4】如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【典例5】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【变式5-1】如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【变式5-2】如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 【变式5-3】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例6】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是 ． ①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③S△ABE+S△ACD＞S△AED；④BE2+DC2＝DE2． 【变式6-2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【变式6-3】如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【变式6-4】如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 【考点题型七】以弦图为背景的计算题 【典例7】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【变式7-1】如图我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是 ． 【变式7-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为 ． 【变式7-3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为 ． 【考点题型八】勾股定理与无理数 【典例8】如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 ． 【变式8-3】如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的右侧一点，则点表示的数是 ． 【考点题型九】勾股定理的逆定理运用 【典例9】已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【变式9-1】如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【变式9-2】综合实践 【主题】学校劳动课场地的面积． 【素材】如图所示，是学校劳动课场地的平面图． 【实践操作】某数学小组通过实地的测量得到这些数据： 米，，米，米，米． 【问题解决】请你求出这块劳动课场地的面积． 【变式9-3】为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，江西赣州某中学决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据，并说明理由； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为120元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【考点题型十】勾股定理的实际应用 【典例10】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【变式11-1】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【变式11-2】在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【变式11-3】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，三尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地三尺（尺），求秋千绳索的长度． 【考点题型十一】平面展开图-最短路径问题 【典例11】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式11-1】如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 【变式11-2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【典例1】如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【详解】解：，，， ， 由旋转所得， ， ， 故选：B． 【变式1-1】《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（    ） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取的中点，过作于，如下图 由题意得：； 设寸， 则寸，寸，寸， 寸， 在中， ， 即， 解得：, ∴， ∴寸， 故答案为：． 故选：D． 【变式1-2】如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点D作的垂线，垂足为P，首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-3】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为 （    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意，直角三角形的斜边长为：， 故选：C 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 【典例2】如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 【变式2-1】在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（   ） A．5 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据勾股定理求解即可． 此题考查了坐标平面内两点间的距离的计算方法，能够熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得． 故选：A． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：C 【变式2-3】已知平面直角坐标系中有A（1，1），B（4，4）两点，则连接两点的线段AB的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意求出AB间的水平距离和竖直距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中有A（1，1），B（4，4）两点， ∴AB间的水平距离为3，竖直距离为3， ∴AB3， 故选：B． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握求解平面直角坐标系中两点之间的距离的方法以及勾股定理的运用． 【考点题型三】勾股树(数)问题 【典例3】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 【变式3-1】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 【变式3-2】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例4】如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 【答案】 S1+S2=S3 7 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设△ACB面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2， 如图，在等边中，边上的高 同理：S2=BC，S3=AB， ∴S1+S2=S3； （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b； ∵S1+S2=S3， ∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S， ∴S甲+ S乙= S丙+S， ∴S=6+5-4=7． 故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键． 【变式4-1】如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 【变式4-2】如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，根据勾股定理得，，再证明，即可得出结论，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5， ∴， 即正方形D的面积为19， 故答案为：19． 【变式4-3】如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 根据图形得到，，根据勾股定理推出 . 【详解】解：由题意，得，， 所以 ， 故答案为：. 【变式4-4】如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得，利用正方形的性质证明和，根据全等三角形的面积相等，从而得出，，再根据三个正方形面积的关系可得出，从而可得阴影面积之和． 【详解】解：如图，设，，，   ∵在中，， ∴， ∵四边形，四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴ ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积之和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【典例5】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，，由折叠得，，求得，则，由，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式5-1】如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴； 故答案为： 【变式5-3】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例6】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论，其中正确的是 ． ①△AED≌△AEF；②BE+DC＝DE；③S△ABE+S△ACD＞S△AED；④BE2+DC2＝DE2． 【答案】①③④ 【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，进而得出△FAE≌△DAE（SAS），即可得到S△AED=S△AEF，可得到S△ABE+S△ACD＞S△AED，再根据勾股定理即可得到BE2+BF2=EF2，进而得到BE2+DC2=DE2． 【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD，∠FAD=90°， ∴AF=AD， ∵∠DAE=45°， ∴∠DAE=∠FAE=45°， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确， ∴EF=ED，S△AED=S△AEF， ∵在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°， ∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴BF=CD，∠ABF=∠C=45°， ∴∠EBF=90°， ∴BE2+BF2=EF2， ∴BE2+DC2=DE2；故④正确，②错误． ∵△ABF≌△ACD， ∴S△ABF=S△ACD， ∴S△ABE+S△ACD=S△ABE+S△ABF=S四边形AFBE=S△BEF+S△AEF， ∴S四边形AFBE＞S△AED， 即S△ABE+S△ACD＞S△AED，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 【变式6-2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 【变式6-3】如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【答案】①③④ 【分析】①由与是等腰直角三角形，，，可证，，且， ，即可退出； ②由，由勾股定理，， ，即可； ③过点作，，可证，由性质得，结合，，即可； ④取中点，使得，易证，推出，再证，推出，由，推出即可． 【详解】与是等腰直角三角形， ，，， ，在与中， ，， ， 设交于点， 由①可知且， ， ，即， 故①符合题意． ②， ，， ， 且，， ． 故②不符合题意． ③证明，过点作，， 由①可知，且，， 在与中， ，， ，且，， 平分，故③符合题意． ④作中点，倍长，使得， 在与中，， ，则， ，， ，， ，在与中， ，， ， ，， ，即， 故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识是解题关键． 【变式6-4】如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 【答案】14 【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积 = = = = = =14 故答案为：14． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 【考点题型七】以弦图为背景的计算题 【典例7】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 【变式7-1】如图我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：如图所示，“赵爽弦图”中的直角三角形都是全等的三角形，即： 勾，弦弦， 股 ， 小正方形的边长， 小正方形的面积， 故答案是：4． 【变式7-2】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理代值求解即可得到答案，熟练掌握弦图中各个线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为129，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，， 小正方形的边长为，则， ， ， 又小正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故答案为：． 【变式7-3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为且， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型八】勾股定理与无理数 【典例8】如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点表示的数为． 故选：B． 【变式8-1】如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，勾股定理，首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得：，，, ， ， 点到 原 点 的 距 离 为 ，且点在 原 点 左 侧 ， 点表示的数是， 故选：B． 【变式8-2】如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理得到，再根据线段之间的和差计算即可． 【详解】解：∵长方形长，长为1， ∴， ∵点A为圆心，为半径画弧，交数轴于点E， ∴， 设点E所表示的数为x，则 ， 解得， 故答案为：． 【变式8-3】如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的右侧一点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，用数轴表示实数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 由题意可得，用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴P点表示的数为， 故答案为：． 【考点题型九】勾股定理的逆定理运用 【典例9】已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】需要投入元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 在中，， 而， 即， ∴为直角三角形，， ， ∴需要的投入为（元）． 【变式9-1】如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【变式9-2】综合实践 【主题】学校劳动课场地的面积． 【素材】如图所示，是学校劳动课场地的平面图． 【实践操作】某数学小组通过实地的测量得到这些数据： 米，，米，米，米． 【问题解决】请你求出这块劳动课场地的面积． 【答案】这块劳动课场地的面积是96平方米． 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 连接，根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵米，，米， ∴， ∵米，米， ∴， ∴是直角三角形， ∴ （平方米）． 答：这块劳动课场地的面积是96平方米． 【变式9-3】为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，江西赣州某中学决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据，并说明理由； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为120元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1)施工人员测量的是之间的距离．依据：若，则．理由见解析 (2)学校建成这块塑胶场地需花费13680元 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案． 【详解】（1）解：施工人员测量的是之间的距离．依据：若，则． 理由：连接， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，且． （2）解：在中，，， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费13680元 【考点题型十】勾股定理的实际应用 【典例10】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 【变式11-1】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【变式11-2】在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，    则，，， 在中，由勾股定理得， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接，    则， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 【变式11-3】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，三尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地三尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】26尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设尺， 由题意得尺，， ∵尺， ∴（尺）， ∴（尺）， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 答：秋千绳索的长度为尺． 【考点题型十一】平面展开图-最短路径问题 【典例11】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式11-1】如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 【变式11-2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 【变式11-3】如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴ ， 在中，． 故选D． 【变式11-4】如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$