专项3-4 勾股定理和平行线的证明 综合与实践-2024-2025学年八年级数学上册芸熙百分期末必刷卷（北师大版）河南专版

江 +八所段级 3如周，边形AD为某街心花阳的平面阁，经测量B=BC“ (3)如图3，若20∠B,LD0∠PFD,睛直接写 专项3勾殿定理和平行线的证明 AD=50m.GD=503m,且∠B=07 出∠P与∠Q的数量关系 (1)试判断△4D的形状，并说明里由： (2)若射线为公园的车辆走出口道路（道路的数度氢略不 如周，小明在某辣池沿泳道I练习游滤，点A处有一个攀桃游 计).工作人奶想要在点D处安装一个监控装置米监控道路 了一段时何后，在？处的小明想上岸体息，他决定至点G后 的车辆通行情况，且被蓝控的道路长度装相过5m己知摄 再向攀梯游去，已知BC.D三点都在直线【上，C=9m.C= 像头能监粒的最大范同为周国和m(包含5和=)，清阿核监控装 2m.A月=15m (1)AC的长是否为等移A到意道【的量近距离？请通过什算 置是否符合要求？并说明理由.（参考数据=正-1.4区一1.7） 加以说明： (2)小明游至C处后又陌袜道1滑行2m到达点我.若从点D 等茶蒙梯A,求D的长度（保留根号） 5,绵合与实骏 同题情境：数学课上，司学门以直角三角形为背景探究角之间 的数量关系 已道，在△4G中，∠C=0,过点B作W工C,交 △ABC的角平分线AD所在直线于点E设∠C的度数为a 初步探究：(1)如图1，当：<45时，点E在线段0月的延长线 上.“期学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请角 解答1 D当a=25时.求∠EB的度数： 2用含a的代数式表示乙A罪的度数为 拓展延德：(2)”智程”小组情册阴2连一步探究，肖m345 时，∠AB与《之问的数量关系，请你补全周形并直接写出这 2定义：如周，点C,D把线段AB分料成线段AG,CD和静三部 个结论， 分，若以AC,D,D为边的三角彩是一个直角三角形，刚称点 C,D是线及AB的匀歌分用点 正 (1)若G=2.CD=25,D=4.则点C.》是线段AB的勾股 分样东明？请说明理由。 4.已知AB∥CD.点E.F分别在直线AB.CD上，PF交AB于 2 (2)已知点C,D是线段AB的匈段分制点.且AC为直角边.若 点 AB=24,4C=6,求D的长 (1门如图1.请直接写出∠P,∠P53与∠PFD之到的数量关系： :解决问思利用的知识是 (2)如图2,0.0分期为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于 点Q.试说明∠P=2LQ: 数学人年提上带4第！黑共玉吴 整学八慢上题。第？月为3有 数学人年到上后4第3前共3买 二了专项3 运是 瓜乐地 2.今天在数学误上月学们利用准备好的两个边长为1的小正方 3.【娘合与实践】 彩遗行哨拼（无链家不重并的拼接），得到了一个大的正方形 有言道：“杆秤一头称显人阿生计，一头称显天地良心” 专项4综合与实战 在老师的引导下认识了无理数 某兴整小姐科用物理学中的杠杆原理拼作箭易杆程.小组先 能能带参带带带 小明在课堂上是按周1所示的方法透行勇拼的，课后小明有 设计方案，然后动手作，再结合实际进行调试，请完成下列 1.综合与实登 了法一步地恩号： 方墨设计中的任务 随着移动篷菊设备的升领换代，平机已轻成为我们生活 问藤1：能香利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正 【知识背最】 中不可肤少的一部分学生用手杭房小槿频的现象盒加严重 方形哨拼出一个大正方形. 如阁.：重物时.移动它可使杆作平衡.根铝杠杆原理 为了了解学生平均每周用干阅读误外书的时可和用于机刷小 对于上面的间题小明法行了尝试并找到了图2和图3两肿剪 生导得(m+四)·/=划·(：+y),其中样盘质量为心克.重 慢频的时间的分配情况，老师借收平面直角坐标氧对班里部 拼的方法 物质量m克陀质量克，锌额与锌盘的水平离为/甲 分学生进行调查分析 问撒2：一个边长为【和一个边长为3的正方形也能鳞拼出一 米，秤组与零鲜线的水平距离为：厘采，秤它与零刻线的水平 距离为y厘米 《1)请保说出点A的实际章义 个大止方形玛？如果能，该如何勇拼见： 【方案设计】目标：设计简易杆怀.设定岛~D,M一划，最大可 《2)经到查.小明一周用手机倒小视频的对铺和用于阅读限外 书的时闻共为8.并且用于到读课外书的时博是用平机样小 ☑☑ 保重物质量为1《00克，零刻线与末刘线的距离定为厘米 样加 栈瞬时闻的2籍少1k请修计算出小明本同用于阅读误外各 和用于机刚小牌顿的时到，并在平面直角坐标系中端出表示 小明本周用于测读课外书和用平机例小税顿的时间情花的 点B: 《3)老南发现有几个学生用手机到小视期的时例与阅读误外 杆静示含图 书的时间之和都为10h,并且用于阅读课珠书时间不超过2上 图3 图4 任务一：确定/阳▣的就 知果这两个时间均为整数，请像豫出表示这几个学生用于间 任务： (门当秤盘不数重物，秤能在零刻饮时，杆秤平衡，请列出关于 读课外书和用手机房小视频的时间情况的点的坐标： ()图1中拼战的大正方形的边长为 帽2和图3中 ,u的方程： 4)图中射线c表示∠x的平分线 拼成的大正方形的边长为 (2)当秤盘放人质量为1000克的重物，秤能从零刻线移至 工线沉上的点表示的含文为 《2)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决间画2 则线时，仟评平商，请列出关于，的方程： 夏求：①在翔4中画出闻切线并在阅中伪蹈图2或丽3标出相 (3)根(1》和(2)新列方程，来出I和的值 2线C左上方的点表层的含义为 任务二：确定划线的位置 应线假的长度： (4)根都任务一，求y关于m的雨数表达式： 2在图4右侧再出拌楼成的大正方形的示意图及其内军的讲 (5)从零刻线开始，每隔0克在秤杆上找到时应刻线，请古 接线 出相第刻线阿的离离。 9 用手刷小视期的时。 专项4数学A年级上前4第1算为5买 盐学八T罐上带4第子美共3国 数学八午板土明4第1真类万河洛芸照·期末考试必刷卷 0深冠吗 为y=40x,当0≤x写4时，设乙车距A地的距离y与时间x的函数 12 表达式为y=mx+n, y= 5 (5)联立 解得 把点(0,320).(4,0)代人y=r+n,得n=320, 4 y= 14m+n=0 3 y=5 解得m=一80. B+ 1n=320. y=-80x+320 点D的坐标为号号)如图，作点B关于：轴 当4<x≤8时，设乙车距A地的距离y与时间x的函数表达式为 的对称点B(O,-4),连接DB交x轴于点E,连接BE.则BE=BE y=ax+c. ,DE+BE=DE+B'E=DB',即线段DB为DE+BE的最小值DB= 乙车匀速行驶，点E(8,320) 把点(4,0).(8.320)代人y=ar+c,得 r4a+e=0. √号+号)5 5 18a+c=320. 将相：0a六y=0-3m分三种特限计论 设直线DE的表达式为y=m+L将点D(号号），公(0，-4 r1 4 ①当两车相遇时，根据题意，得 代人，得 5m+n= 5'解得m=2, 40x=-80x+320或40x-40=80x-320. 1n=-4 =-4. 解得=号或x=7 直线DE的表达式为y=2x-4.令y=0,则2x-4=0,解得x=2. ∴.点E的坐标为(2,0) ②当乙车从C地去往A地时，根据题意，得 (6)点G的坐标为(2,0)或(2，-6)或(2,6+62)或(2,6-62). 120-40x=200-80x,解得x=2. 解析OB=OF,点B(0,4),,点F(-4,0).∴.直线BF的表达式 ③当乙车从A地返回C地时，根据题意，得 为y=x+4.NQ∥y轴，点Q(2,a),点N的横坐标为2.对于y= 120-(80x-320)=(40x-40)-120.解得x=5. 综上所述，当两车出发2h或弩h或5h或7h时，距B地的距离相等 x+4,令x=2,则y=6,点N(2,6).4NF=(2+4)+6= 62.设点G(2,m).当△NFG为等腰三角形时，分三种情况讨论： 专项2 一次函数 ①当GF=GV时.易得点G2,0):②当GF=NF=62时，易得点 1.解：(1)11 G(2,-6):③当GV=NF=62时，易得点G(2,6+62)或(2,6 (2) 62).综上所述，点G的坐标为(2,0)或(2，-6)或(2,6+62)或 (2.6-65). 专项3勾股定理和平行线的证明 1.解：(1)AC的长是攀梯A到泳道I的最近距离，理由如下： 在△ABC中，BC+AC=92+122=225=AB, ∴.∠BCA=90°，即AC⊥L ∴AC的长为攀梯A到读道I的最近距离 (3)当x=-1时，函数y有最小值-3 函数图象关于直线x=-1对称（答案不唯一） (2),AC⊥1∴，∠ACD=90P,在h△4D中 (4)5 D4=√AC+下=√2+2=-27(m) (5)x=2或-2 2.解：(1)是.理由如下： 说明：可在坐标系内画出函数y=x+1的图象两个函数图象交点的横 AC2+BD2=22+42=20.CD2=(25)2=20. 坐标即为该方程的解（答案不唯一，也可解方程） .AC2 +BD =CD2. 2.解：(1)将点A(3.0),B(0.4)代入y=x+b(k≠0)， ·以AC,CD,BD为边的三角形是一个直角三角形 ∴点C,D是线段AB的勾股分割点。 得3张+6=0， (2)设BD=x,则CD=AB-AC-BD=24-6-x=18-x b=4. 解得 b=4. 分两种情况讨论： 4 ①当D为斜边时，依题意，得CD=AC+BD, 六一次函数的表达式为y=-了x+4. 即(18-x)2=36+x,解得x=8: (2)PO=PB,∴.点P在线段OB的垂直平分线上 ②当BD为斜边时，依题意，得BD=AC2+CD ,0B=4.,点P的纵坐标为2. 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. :点P在直线AB上， 综上所述，BD的长为8或10. 3.解：(1)△ACD是直角三角形.理由如下： 六把=2代人y=子+4，得2=一子+4 4 ∠B=90°，AB=BC=AD=50m,.在R4△ABC中. AB2+BC2=AC2.÷AC2=502+502=5000. 点P的坐标为子2 解得。3 AD2+AC=502+5000=7500.CD2=(503)2=7500 ∴.AD2+AC=CD2..△ACD是直角三角形 3 六S60w=Z×立×4=3 (2)符合要求.理山如下： (3)设点C的坐标为(a.0).则AC=1a-31 如图.过点D作DE⊥H于点E,作点A关于DE的对称点 A',连接DA',则∠DEA=90° mB OA-x4x3-6.Smc-2m ∠B=90°，AB=BC,∠BAC=45 ,∠DAC=90°，.∠DAE=45..DE=AE Sa应=号4C,0B=2x6=12,即宁×u-31x4=12解得a=9 在R1△DEA中，DE+E2=AD2,.2AE2=2500. 或-3 .AE=25Em.A'=24E=50/5=70(m),:70>65. .点C的坐标为(9,0)或(-3.0) ·该监控装置符合要求 (4)h折叠的性质，可知AB=AB1,BM=B,M,OB=4,OA=3, 4.解：(1)∠P+∠PEB=∠PFD ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和②两白线平行，同问位 ∠B0A=90°.AB=0B+0AF=5.AB1=5.∴0B:=2.点 角相等 B(-2,0).在R△0B1M中，MB=0B+0P,即(4-0M)2=4+ (2)在△EOK中，∠QEB+∠Q=∠QKB,AB∥CD, 0r,解得0W=子点0，) .∠OKB=∠FD..∠QEB+∠Q=∠FD 5 ▲·八年级·数学·上册 国器恩 .EQ,FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线 y■40：当m=900时，y=45:当m=1000时，y=50.所以相邻划线 ∴.2∠OEB=∠PEB.2∠KFD=∠PFD 间的距离为5cm. 由(1)知.∠P+∠PB=∠PFD.,∴.∠P+2∠OEB=2∠FD 郑州市2023一2024学年上学期学情调研试题卷 即∠P=2∠KFD-2∠0EB=2∠Q. 一、选择题 (3)∠P=3∠Q 题号12345678910 解析由(1)知，∠P+∠PEB=∠PFD.由(2)知，∠Q+∠QEB ∠0FD:∠B0=}∠PEB,∠DFQ=号∠PFD∠P+3∠0= 答案BCADBCDABD 10.D解析)点(1,0.7)表示当G=1时，F=0.7,即当物体的重力是 3∠DFQ.∴∠P=3∠DF0-3∠BEQ=3∠Q 1N时，拉力F是0.7N,A正确，不符合题意；山图象可知，当G= 5.解：(1)①.：∠BAC=∠CBE=90°，∴，∠C+∠ABC=∠ABC+∠ABE= 0时，F=0.5,即当带轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N,B正 90..∠ABE=∠C=258AD平分∠B4C,∠BAD= -∠B4C= 确，不符合题意：根据图象可知，物体的拉力F随着重力G的增大 2 而增大，C正确，不符合题意：正比例函数的图象必过原点，拉力F 45°.，.∠AEB=∠BAD-∠ABE=45°-25°=20 与重力G不成正比例函数关系，D错误，符合题意.故选D ②45°-a 二、填空题 (2)补全的图形如图所示，∠AEB=a-45 11.212乙13.同位角相等，两直线平行14.30 解析》∠BAC=∠CBM=90°，∠C+∠ABC= ∠ABC+∠ABW=90°，.∠AB=∠C=.AD平分 150.9)或o.-5】 ∠BAC.∠BD=号∠BAC=45.LAB=LABM- 解析，A(0,12),B(-5,0),∴.0A=2,0B= 5,4B=√2+5交=13.分两种情况讨论： ∠B4D=a-45 ①如图①，当点P在y轴正半轴上时，设把直 专项4综合与实践 线AB沿BP翻折，点A正好落在x轴上的C 1,解：(1)点A的实际意义是用手机刷小礼频的时间是2h,用于阅读 图D 点，则有AP=PC,AB=BC=13,.C0=BC-B0=13-3=8,.点 课外书的时间是7h. C的坐标为(8,0).设点P的坐标为(0，b),则OP=b,CP=AP= (2)设小明本周用手机刷小视频时间是x,用于阅读课外书的时 12-.在Rt△COP中，由勾股定理，得CP=C)+P,(I2- 间是k根据题意，得化，解得化子小明本周用于阅 b小=82+公，6=9，点P的坐标为0，四)： 读课外书的时间是5h.用手机刷小视频时间是3h, ②如图②，当点P在y轴负半轴上时，OC=0B 4 点B的坐标是(3,5)，在平面直角坐标系中的位置如图所示 +BC=5+13=18.设P点坐标为(0.b).则 0P=-b,CP=AP=12-k在RI△COP中，由 勾股定理，得CP=C0+0P2,(12-)2= 的 1保+6=-受<点P的坐标为0.-当 图2 综上所述，点P的坐标为0，号)或0。-艺）》 三、解答题 16.解：(1)原式=4-3+1=2 (3)设阅读课外时间为1h,则用手机刷小视频的时间为(10一1)五 of 根据题意，得1≤2.当t=2时，10-1=8：1=1时，10-t=9: 将2代人①，得x+2(5-3x)=0,解得x=2 当1=0时.10-t=10. 将x=2代人②.得y=5-3×2=-1. :六，表示这几个学生用于阅读课外书和用手机刚小视频的时间情况 的点的坐标分别是(8,2)，(9,1).(10,0). 六方程组的解为工=2， y=-1 (4)①用手机刷小视频的时间与用丁阅读课外书的时间相等 17.解：(1)(4,0) ②用手机刷小视顿的时间少于用于阅读课外书的时间 (2)如图所示，△ABC即为所求.7 2.解：(1)E5 (2)①剪切线和相应线段的长度如图所示 二34321012 ②拼射接成的大正方形的示意图及其内部的拼附接线如图所示 3.解：(1)山题意.得m=0,y=0. 因为m0=10,M=50..101=50a,1=5a (2)由题意，得m=1000,y=50. .(10+1000)1=50a+50). (3)设点M的坐标为(x.0),,B(0.2),C(3.0). .1011-5a=250. (3)由1)(2).得=5a, 50w=号×13-x×2=6=-3或x=9, 11011-5a=250. .点M的坐标为(-3,0)或(9.0) 布得0 18.解：(1)500040003600 (2)中位数可以反映组数据的集中趋势，优点：有一半的员工的 (4)由(3)可知1=2.5，t=0.5. 工资能达到中位数：缺点：设有体现平均工资水平，（合理即可） 六25(0+m）=5005+0.即1=动n 19.解：(1)设直线AP的函数关系式为y=kx+6将点A(0,3). P(-2,2)代人y=+b,得 (5)由(4)可知，当m=0时，y=0:当m=100时，y=5:当m=200时， y=10:当m=300时，y=15;当m=400时，y=20:当m=500时， 一2+b=2·解得 k=2 1 1b=3. y=25:当m=600时.y=30:当m=700时，y=35:当m=800时， b=3. ● 6