清单04 解直角三角形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

清单04 解直角三角形（11个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 【清单02】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 【清单03】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 【清单04】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 【清单05】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【清单06】计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 【清单07】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【清单08】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【清单09】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【考点题型一】定义法求锐角三角函数值 【例1】如图，在中，，，．求，和． 【答案】，， 【分析】根据题意先利用勾股定理得出，进而依据正弦、余弦和正切的定义进行计算即可. 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴，，. 【点睛】本题考查求三角函数值和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值的求法是解题的关键. 【变式1 -1】在中，，，，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键，作出图形更形象直观． 利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵， 故选：D． 【变式1 -2】如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：作PM⊥x轴于点M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比． 【变式1 -3】如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 【变式1 -4】如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数，直接根据，求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【变式1 -5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝ ．   【答案】 【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB， 而cosA=＝=， ∴cos∠DCB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 【考点题型二】利用参数法求锐角三角函数的值 【例2】将的各边长都缩小为原来的，则锐角A的正弦值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据正弦的定义计算即可求解． 【详解】设AC＝b，AB＝c，BC＝a， ∴ 当各边长都缩小为原来的时，，， ， ∴ ∴锐角A的正弦值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦的定义． 【变式2 -1】如图，在中，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2 -2】在△ABC中，，则sinA= . 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵tanA= ， ∴∠A=30°， ∴sinA=； 故答案为． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 【变式2 -3】在Rt 中，∠C= 90°,若 则 的值是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， 由于sinA==， ∴cosB==. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系. 【考点题型三】利用构造法求锐角三角函数的值 【例3】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数的定义，过点作，交延长线于点，利用正切函数的定义求解可得． 【详解】如图，过点作，交延长线于点，    ∴， 则， 故选D． 【变式3 -1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，根据勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图：过点A作于点D， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出的长度． 【变式3 -2】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的值． 【详解】解：作交的延长线于点D，如图所示， 由图可知，， ， ， 故选：C． 【变式3 -3】如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示， 在Rt△ACD中，AD=4,CD=3, ∴AC== =5 ∴= = . 故选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键． 【变式3 -4】如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案． 【详解】A.，故该选项不符合题意， B.，故该选项符合题意， C.，故该选项不符合题意， D.，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 【变式3 -5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan∠ABC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键． 【考点题型四】已知三角函数求边长 【例4】如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4 -1】如图，在中，．若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数定义列式得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用正弦三角函数进行计算，掌握正弦三角函数定义是解题关键． 【变式4 -2】如图，在中，，如果，，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】根据，再代入数据解答即可． 【详解】解：在中 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． 【变式4 -3】在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的运用．正切值等于对边比邻边，掌握定义是解题的关键． 【变式4 -4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE． （1）求证：四边形AECD是矩形； （2）若，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）DE=5． 【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB于D，即可证明； （2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据，得出，得出，在中即可得出． 【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD， 四边形AECD是平行四边形， CD⊥AB于D， ∠CDA=90°， 四边形AECD是矩形； （2）四边形AECD是矩形， ∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE， ∠ACB=90°， ∠DCB+∠ACD=90°， ∠ACE+∠ACD=90°， ∠BCD=∠ACE， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长． 【变式4 -5】如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过作于点，证明四边形是矩形，根据性质得出，由求出，最后通过勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 【变式4 -6】如图，矩形中，，为上一点，，于．求的长．    【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得到，设，由勾股定理可得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， ∴设， ， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明出是解此题的关键． 【变式4 -7】如图，在中，，以直角边为直径的交于点，在上截取，连接交于点．    (1)求证：； (2)若的半径长，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，由圆周角定理及直角三角形的性质可得，，进而可得，再利用等腰三角形的性质可证明结论； （2）过E点作于点G，证明，列比例式，结合锐角三角函数的定义可求得，，列比例式可求解的长，再利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过E点作于点G，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理等知识的综合运用，掌握相关的性质定理是解题的关键． 【考点题型五】特殊角的三角函数值的计算 【例5】计算：． 【答案】 【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【变式5 -1】计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可． 【详解】解： =． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键． 【变式5 -2】计算：. 【答案】3 【分析】本题考查的是实数的运算，零指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值，根据运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式5 -3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握结果特殊角的三角函数值，注意运算的符号． 将特殊角的三角函数值代入，先平方，再作加法运算； 【详解】解：原式． 【考点题型六】利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【例6】在中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出，的值，再根据三角形的内角和定理求出的值，进而判断出三角形的形状． 【详解】解：， ； 又， ． ． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【变式6 -1】如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ） A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 【答案】C 【详解】∵sinA=cosB=， ∴∠A=∠B=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：C． 【变式6 -2】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式6 -3】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式6 -4】在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【考点题型七】根据三角函数值求角的度数 【例7】已知为锐角，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】解：∵为锐角，且， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键． 【变式7 -1】如果，那么锐角 度． 【答案】45 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【详解】解：∵，为锐角， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【变式7 -2】已知，，则 °． 【答案】30 【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵， ∴∠A=30°， 故答案为：30． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式7 -3】在中，若，则∠C的度数是 【答案】/度 【分析】根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【考点题型八】解直角三角形 【例8】如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质； 先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵平分， ，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式8 -1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据30度的锐角三角形函数，△ADC的面积为1，分别用表示出，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∠CAD=30°，CD⊥AD于D， 在中，, , △ADC的面积为1， 即, 故选C 【点睛】本题考查了解直角三角形，将都用表示出来是解题的关键． 【变式8 -2】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点A作交底延长线于点D，由，得，易得，根据，求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作交底延长线于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【变式8 -3】如图，在中，，，．求的长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型； 根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式8 -4】如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键； （1）由矩形的性质可得，则，由垂直可得，则，即可得． （2）在中，根据，设，，则．得出．根据矩形性质得出，．在中，得出，．再根据，得出．解出的值即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：在中，， 设，，则． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【变式8 -5】如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)作射线交的延长线于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆、矩形的判定和性质、切线的性质； （1）连接OC，由垂径定理证明，由直径所对圆周角等于90°，以及切线性质可以等到四边形DECP的三个内角等于90°，由三个角是直角的四边形是矩形得出结论． （2）解中，，，在中，求出，进而求出，平行线分线段成比例定理可得，由此得出． 【详解】（1）证明：连接OC ∵AB为直径，C为上一点， ∴，∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵DP是的切线，D为切点， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图补全图形， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵矩形DECP对边平行， ∴， ∴， ∴． 【变式8 -6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，连结． (1)求的值． (2)求的坐标． (3)为轴上的动点，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入抛物线解析式求解即可； （2）把抛物线解析式化成顶点式即可求解； （3）过点作轴，构造直角三角形，利用得到，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得． （2）解：把代入函数表达式得， ∴点坐标为． （3）如图，过点作轴，垂足为． ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴第1种情况，当在轴正半轴时，， 第2种情况，当在轴负半轴时，． ∴或． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式以及顶点坐标的求法，三角函数，构造直角三角形利用正切值解直角三角形是解决本题的关键． 【变式8 -7】如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解； （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ 在中，, ∴ （2）解：如图，过点，作交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 【变式8 -8】如图，是的直径，C，D是上的点且，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接.根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到可得，再由平行的性质可得，最后由切线的性质即可证明结论； （2）连接，根据直径所对圆周角是直角，利用三角函数可以求出，再利用得到解题即可． 【详解】（1）证明：如图，连接. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴ ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键． 【变式8 -9】如图，在△ABC中，∠B=30°，，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长． 【答案】 【分析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=8， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出BD和CD的长是解题的关键． 【变式8 -10】如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长． 【答案】AD= 2 【分析】先判定△BDC是等腰直角三角形，求得BC，解直角三角形ABC，求得AB，AC的长，计算即可． 【详解】在△BDC中，∠C = 90°  ， ∵∠BDC = 45°， ∴△BDC是等腰直角三角形   ，                      ∴CD=BC=6 ， 在Rt△ABC中，， ∴ ， ∴ AB=10， ∴ AC=8，                           ∴ AD=AC-CD=8-6=2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键． 【变式8 -11】如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】10 【分析】过点A作AD⊥BC，结合三角函数值，分别求出BD、CD的长度，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图： ∴△ABD，△ACD都是直角三角形， ∵， 设，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，, ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确的求出BD、CD的长度． 【考点题型九】仰角俯角问题 【例9】如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解，如图： 由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 【变式9 -1】如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点处测得点的俯角为，点的仰角为，则乙建筑物的高约为 （结果精确到；参考数据：，）． 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，先证明四边形是矩形，再根据三角函数解直角三角形即可，解题的关键是借助仰角俯角，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9 -2】在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴．    【变式9 -3】某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 【答案】旗杆的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．方法一：由题意得，根据即可求解；方法二：由题意得：，根据，求出，即可求出． 【详解】解：方法一：由题意得， ∴， ∵，， ，即， ， 答：旗杆的长约为米． 方法二：由题意得：， ， ，即 ， 答：旗杆的长约为米． 【变式9 -4】无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．先作于D，分别求出和，再相加即可． 【详解】解：过点A作于点D ∴测得小山两端B，C的俯角分别是和， ∴，， 在中， 在中， ∴． 答：小山两端B，C之间的距离为米 【变式9 -5】永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 【答案】永定楼的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，作于点H，根据，，设，则，在中，根据列方程解答即可； 【详解】连接，作于点H， 由题意可知点共线， ∵，， ∴， ∴设， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，， ∴ 答：永定楼的高度为：． 【变式9 -6】某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．） 【答案】塔高的长约为22.5m 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，由题意，得，，，，结合等角对等边，得，，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：根据题意，得，，，． ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴． 设AG为，则，， 在中，， ∴， 则， 解得， ∴， 答：塔高的长约为22.5m． 【考点题型十】方位角 【例10】如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在处测得岛在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到处，测得岛在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁． 参考数据：，，． (1)B处离岛C______海里． (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (3)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)10 (2)如果渔船继续向东航行，有触礁危险；理由见解析 (3)没有触礁危险；理由见解析 【分析】（1）根据方向角的定义以及等腰三角形的判断可得即可； （2）在中，由锐角三角函数即可求出答案； （3）构造直角三角形，由锐角三角函数可求出，比较得出结论． 【详解】（1）如图，过作于， 由题意得， ∴， ∴（海里）； 故答案为10； （2）由（1）知，为渔船向东航行到的最短距离，， ∵，，， ∴ ∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险； （3）过作交于，交于， 在中，， ∴ ， ∴没有触礁的危险． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 【变式10 -1】如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 【变式10 -2】从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号） 【答案】此时独象距离象群公里 【分析】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中求出BD，在Rt△ADC中求出DC，根据BC=BD+DC即可． 【详解】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中 ∵AB=12，∠BAD=45°                                ∴ sin45°=   即 ∴BD= ∴BD=AD= 在Rt△ACD中，∠DAC=30° ∴tan30°= 即， ∴DC=， ∴BC=BD+DC=,          ∴此时独象距离象群公里 【点睛】本题考查了解直三角形应用，方位角，构造直角三角形是解决本题的关键． 【变式10 -3】因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34） 【答案】AC之间的距离约为12.8千米． 【分析】过B作BH⊥AC于H，利用三角函数求出AH=9.4千米，BH=3.4千米，再根据CH=BH=3.4千米，求出AC之间的距离即可． 【详解】（1）过B作BH⊥AC于H，由题意， ∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米， 在Rt△ABH中， ∵sin∠ABH=， ∴AH=9.4千米 ∵cos∠ABH= ∴BH=3.4千米 在Rt△BHC中， ∵∠BHC=90°， ∠HBC=∠C=45° ∴CH=BH=3.4千米 ∴AC=9.4+3.4=12.8（千米） 答：AC之间的距离约为12.8千米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练构建直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 【考点题型十一】坡度与坡角 【例11】如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）． 【答案】米 【分析】过点作于点，于点，解，求出（米，（米，再解，得出，设米，则米，米．然后在中，由含角的直角三角形的性质得，即，求出的值，进而得到的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 山坡的坡度为，米， ， ， （米，（米）， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米，米． 在中，， ， ，即， 解得：， 米， 即该居民楼的高度为米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了仰角俯角问题、坡度坡角问题，借助仰角和坡度构造直角三角形是解题的关键． 【变式11 -1】某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米． 【答案】4 【分析】本题考查坡度问题，利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：坡比，， ，即， 解得， （米）， 故答案为：4． 【变式11 -2】如图，某地下车库的入口处有斜坡，其坡比为，则的长为 米．    【答案】 【分析】根据坡比的定义求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵斜坡，其坡比为， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为： 【点睛】本题考查了坡比的定义，勾股定理等知识，理解题意，熟知坡比的定义和勾股定理是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 解直角三角形（11个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 【清单02】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 【清单03】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 【清单04】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 【清单05】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【清单06】计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 【清单07】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【清单08】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【清单09】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【考点题型一】定义法求锐角三角函数值 【例1】如图，在中，，，．求，和． 【变式1 -1】在中，，，，则的值是（） A． B． C． D． 【变式1 -2】如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式1 -3】如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1 -4】如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1 -5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝ ．   【考点题型二】利用参数法求锐角三角函数的值 【例2】将的各边长都缩小为原来的，则锐角A的正弦值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【变式2 -1】如图，在中，，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2 -2】在△ABC中，，则sinA= . 【变式2 -3】在Rt 中，∠C= 90°,若 则 的值是 ( ) A． B． C． D． 【考点题型三】利用构造法求锐角三角函数的值 【例3】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ）    A．1 B． C． D． 【变式3 -1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式3 -2】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3 -3】如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（      ） A． B． C． D． 【变式3 -4】如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（    ） A． B． C． D．1 【考点题型四】已知三角函数求边长 【例4】如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【变式4 -1】如图，在中，．若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．6 【变式4 -2】如图，在中，，如果，，那么的长为 ． 【变式4 -3】在中，，，，则 ． 【变式4 -4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE． （1）求证：四边形AECD是矩形； （2）若，求DE的长． 【变式4 -5】如图，在四边形中，，，，，求的长． 【变式4 -6】如图，矩形中，，为上一点，，于．求的长．    【变式4 -7】如图，在中，，以直角边为直径的交于点，在上截取，连接交于点．    (1)求证：； (2)若的半径长，，求的长． 【考点题型五】特殊角的三角函数值的计算 【例5】计算：． 【变式5 -1】计算：． 【变式5 -2】计算：. 【变式5 -3】计算：． 【考点题型六】利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【例6】在中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式6 -1】如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ） A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 【变式6 -2】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6 -3】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6 -4】在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【考点题型七】根据三角函数值求角的度数 【例7】已知为锐角，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -1】如果，那么锐角 度． 【变式7 -2】已知，，则 °． 【变式7 -3】在中，若，则∠C的度数是 【考点题型八】解直角三角形 【例8】如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【变式8 -1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式8 -2】如图，在中，，，，求的长． 【变式8 -3】如图，在中，，，．求的长和的值． 【变式8 -4】如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8 -5】如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)作射线交的延长线于点F，若，，求的长． 【变式8 -6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，连结． (1)求的值． (2)求的坐标． (3)为轴上的动点，当时，请直接写出的长． 【变式8 -7】如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【变式8 -8】如图，是的直径，C，D是上的点且，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【变式8 -9】如图，在△ABC中，∠B=30°，，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长． 【变式8 -10】如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长． 【变式8 -11】如图，在中，，，，求BC的长． 【考点题型九】仰角俯角问题 【例9】如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式9 -1】如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点处测得点的俯角为，点的仰角为，则乙建筑物的高约为 （结果精确到；参考数据：，）． 【变式9 -2】在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    【变式9 -3】某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 【变式9 -4】无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离． 【变式9 -5】永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 【变式9 -6】某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．） 【考点题型十】方位角 【例10】如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在处测得岛在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到处，测得岛在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁． 参考数据：，，． (1)B处离岛C______海里． (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (3)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【变式10 -1】如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式10 -2】从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号） 【变式10 -3】因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34） 【考点题型十一】坡度与坡角 【例11】如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）． 【变式11 -1】某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米． 【变式11 -2】如图，某地下车库的入口处有斜坡，其坡比为，则的长为 米．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$