专题05 直角三角形的边角关系常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与一次函数综合 题型四 锐角三角函数与相似综合 题型五 锐角三角函数的翻折模型 题型六 锐角三角函数的最值模型 题型七 锐角三角函数的动点模型 题型八 锐角三角函数的旋转模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 2．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 3．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 4．在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 5．多解法 如图①，在中，，，垂足为．平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)将图①中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其他条件不变，如图②所示．试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 1．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 2．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 3．在和中，，，且，． (1)如图，当时，连接，并延长交于点，则________． (2)当时，求出的长； (3)当满足什么条件时，四边形是菱形． 4．如图①，在中，，点D在边上，于点E，且．将绕点B按顺时针方向旋转． 【结论发现】 当时，______，直线，相交所成的较小角的正弦值为______． 【结论探究】 当时，上述的两个结论是否成立？若成立，请仅就图②的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【结论应用】 当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 5．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【经典例题三 锐角三角函数与一次函数综合】 1．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为 3．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A，B，与y轴，x轴分别交于点C，D，作轴，垂足为E，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P在x轴负半轴上，连接，且，求点P的坐标． 5．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 【经典例题四 锐角三角函数与相似综合】 1．（2020·广西·模拟预测）如图所示，，相似比为，在中，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．6 2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且，，以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，则点B的对应点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）； (2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值； (3)连结，若，求的值； 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 【经典例题五 锐角三角函数的翻折模型】 1．已知在中，，，点在边上，满足．动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合．把沿翻折，得到．设点的运动时间为． (1)的长为______． (2)求点到的距离（用含的代数式表示）． (3)当与等腰的腰垂直时，求的值． (4)当与拼成的图形为三角形时，直接写出的值． 2．如图，在矩形中，．点E在射线上运动（不与点D重合），连接，将沿翻折，点D的对应点为点F．    (1)如图1，若点F恰好落在矩形某一边所在的直线上，直接写出的度数． (2)如图2，当点E恰好与点C重合时，求的面积． (3)在点E运动的过程中，是否存在一点F，使得成为直角三角形？若存在，请你在虚线框内作图（要求：尺规作图，并标出相应的点F）；若不存在，请说明理由． 3．如图1所示，四边形是矩形，是的中点，射线与的延长线交于点，将沿翻折，得到，延长交于点． (1)①求证:； ②判断的形状，并说明理由； (2)若，. ①求的值； ②线段上有一动点（不与端点重合），线段上有一点，，若是等腰三角形，求的长． 4．如图，在菱形中，，点E在上，连接，将沿直线翻折得到，交于点H，延长，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 5．如图，在矩形中，，F、G分别为边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点E落在上，交于点H，连接交于点O． (1)写出与之间的位置关系是：______； (2)求证：； (3)连接，若， ，求的长． 【经典例题六 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 【经典例题七 锐角三角函数的动点模型】 1．如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 2．如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿线段以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)______． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)当与的周长的比为时，求t的值． (4)当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值． 4．如图，在中，，点为边的中点，连接，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为_______； (2)当把的面积分为两部分时，求的值； (3)当点在内部时，求的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 5．梯形中， ，点是边的中点，点是边上的动点． (1)如图①，求梯形的周长； (2)如图②，连接，设，求关于的关系式及定义域； (3)如果直线与直线交于点，当时，求的长． 【经典例题八 锐角三角函数的旋转模型】 1．如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 2．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长交于点G． (1)试判断四边形BCGE的形状，并说明理由； (2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，，求的长． 3．（1）【问题发现】 如图1所示，和均为正三角形，三点共线，猜想线段之间的数量关系为____________，____________． （2）【类比探究】 如图2所示，和均为等腰直角三角形，，三点共线，线段交于点．此时，线段之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； （3）【拓展延伸】 如图3所示，在中，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长． 4．如图，为等腰直角三角形，其中．，在射线取点D，使得，以为斜边在右边构造等腰直角三角形．将绕点A逆时针旋转． (1)求证：； (2)在旋转的过程中，与边交于F，G两点，请问的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由； (3)以为直角边在右上方构造直角三角形，其中，过点M作的垂线交的延长线于点N，发现在旋转的过程中，当点D落在上时，点E恰好落在上，此时停止旋转．求此时的长． 5．如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，当平分四边形的面积时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与一次函数综合 题型四 锐角三角函数与相似综合 题型五 锐角三角函数的翻折模型 题型六 锐角三角函数的最值模型 题型七 锐角三角函数的动点模型 题型八 锐角三角函数的旋转模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查解直角三角形及相似三角形的性质与判定． （1）过D作于点E，由等腰三角形的性质可得，再结合求出，，最后根据求解即可； （2）过点B作于点F，则，得到，求出，，再证明，得到，最后根据求解． 【详解】（1）解：如图，过D作于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，再根据正切的定义可得答案； （2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中， ， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 3．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 4．在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边对等角等等，熟知正切和正弦的定义是解题的关键． （1）先由垂直的定义得到，再由正切的定义求出，则由勾股定理可得； （2）先证明；再由直角三角形的性质得到，则，进而得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．多解法 如图①，在中，，，垂足为．平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)将图①中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其他条件不变，如图②所示．试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）法一：根据角平分线的定义结合等角的余角相等，推出，即可得出结论； 法二：根据角平分线的定义结合等角的余角相等，结合三角形的外角推出，即可； 法三：证明，推出，即可； （2）法一：证明，得到，结合（1）中结论即可得出结论； 法二：证明，得到，结合（1）中结论即可得出结论； 法三：根据，得到，进而得到，结合（1）中结论即可得出结论； 法四：过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，即可． 【详解】（1）证明：证法一：平分， ． ， ． 又， ． ． ， ． ． 多解法 证法二：平分， ． ， ． 又， ． ． ，． ． ． 证法三：平分， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：．证明如下： 证法一：由平移的性质得，． 平分， ， ． ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ． 多解法 证法二：如解图①，过点作， 又平分，， ． 由平移的性质可知， ． ， ． ， ， ． 在与中， ，，， ， ． 由（1）可知， ． 证法三：如解图①，过点作，垂足为， 平分，， ． 由平移的性质得， ， ，， ， ， ． ， ． 由（1）可知， ． 证法四：如解图②，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，， ． 由平移的性质得， ． ，， ． ，， ， ． ． ， ． ，即， ，即， ， ． 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查平移的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 1．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 2．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即， 由（1）得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．在和中，，，且，． (1)如图，当时，连接，并延长交于点，则________． (2)当时，求出的长； (3)当满足什么条件时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）如图1, 过点作于, 由可得, ,进而得到, 证明得到, 即可得, 又由为等边三角形,得到, 即得到为的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，连接，在中利用勾股定理求出的长，然后证明，即可得到，，再根据勾股定理求出长即可； （3）当时,四边形是菱形.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形为平行四边形，然后根据,即可求证. 【详解】（1）如图1, 过点作于, ∵ , ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴在和中, ， ∴, ∴, ∴, ∴为等边三角形， ∴, ∵, ∴为的垂直平分线， ， ， 故答案为： ； （2）依据题意作图如图1，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则； （3）当时，四边形为菱形，理由如下： 由前面可知：， 当时，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 4．如图①，在中，，点D在边上，于点E，且．将绕点B按顺时针方向旋转． 【结论发现】 当时，______，直线，相交所成的较小角的正弦值为______． 【结论探究】 当时，上述的两个结论是否成立？若成立，请仅就图②的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【结论应用】 当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】结论发现：；；结论探究：上述两个结论仍然成立．理由见解析；结论应用：，或 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数； 结论发现：用勾股定理求出的长，判定，然后分别求出和的长，即可求出比值，当时，直线，相交所成的较小角的正弦值就是的正弦值，根据锐角三角函数的意义即可求出结果； 结论探究：先根据（结论发现）求出的结果判定，然后根据相似三角形的性质即可作出证明； 结论应用：分别找出，，三点在同一条直线上时的所有情况，然后分别求出的长． 【详解】结论发现：在中，，，， ， ，， ， ， ， 又，，， ，， ，， ， 当时，直线，相交所成的较小角就是， 在中，，， 故答案为：；； 结论探究：上述的两个结论成立． 证明：，，，， ， 又， ， ， 如图，分别延长、交于点，与交于点， ， ， ，， ， ． 即上述的两个结论成立． 结论应用：如图，当，，三点在同一条直线上时分两种情况： 如图①，当点在上时，在中，，，， ， 又， ； 如图②，当点在上时，； 即的长为或． 5．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先得出，再得出，最后根据相似三角形的判定得出结论； （2）连接，根据勾股定理得出和的值，最后根据三角形的面积公式得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 即， ， 是直角三角形， 在中，点是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 四边形是矩形， ，， 和是直角三角形， 在中，， ， ，， ， 由结论可知， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，， 在中，， 点是斜边的中点， ， 在中，， ， ， ， 的值为． 【经典例题三 锐角三角函数与一次函数综合】 1．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得． 【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，   一次函数交轴于点， 当时，，当时，， ，，，， ， ， ， 在的延长线上取， ， 作于， ， ， 当、、在同一条直线上时， 最小， 过点作于， 在中，， ， 最小值是， 最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或． 2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为 【答案】/ 【分析】根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标． 【详解】在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点作轴，垂足为，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴    ∴， ∴； 联立， 得， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． 3．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A，B，与y轴，x轴分别交于点C，D，作轴，垂足为E，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P在x轴负半轴上，连接，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出点A坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）观察图象特点，即可得出取值范围； （3）先证明，再根据正切值相等，最后由线段和差即可求出的长． 【详解】（1）解：轴， ，即点A的纵坐标为4， 代入，得，解得，， ． 将代入，得， ， ∴反比例函数的解析式为：， （2）当时，解得，， ． ∴当时，x的取值范围是：或． （3）作轴，垂足为M，则． 当，解得，， ． ， ∴ ∴． ． ， 即， 解得． ∴点P的坐标为    【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量的取值范围，锐角三角函数等知识，注重数形结合是解答本题的关键． 5．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，直角三角形斜边上的中线定理及正切的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先根据反比例函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数的解析式求出点、的 坐 标 ，进 而 得 到 ，，然后根据直角三角形的斜边中线定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过点， ，即．     一次函数的图像经过点，， ， 解得，    一次函数的解析式为； （2）如图，连接， ，分别是直线与轴，轴的交点， 令，则，令，则，解得：， ，， ，， ，点是线段的中点， ， ，   ． 【经典例题四 锐角三角函数与相似综合】 1．（2020·广西·模拟预测）如图所示，，相似比为，在中，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质得到，∠ABC=，由此求出BC=8，再根据三角函数求出AC. 【详解】∵，相似比为， ∴，∠ABC=， ∵， ∴BC=8， ∴， 故选：C. 【点睛】此题考查三角形相似的性质，锐角三角函数，正确运用相似三角形的性质求出BC是解题的关键. 2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且，，以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．作于E，利用三角函数求出点B的坐标为：，根据相似比为即可求解． 【详解】解：作于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴点B的坐标为：， ∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为， 点B的对应点的坐标为：，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ，， ； （2）解：如图， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形， ； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）； (2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值； (3)连结，若，求的值； 【答案】(1)10，， (2)或 (3) 【分析】（1）首先分别令和求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据题意表示出和； （2）若和以为顶点的三角形相似时，则存在或，则或，即可求解； （3）由（1）知，，过点作轴于点，表示出，然后得到，推出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴ ∴， ∵动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动 ∴，； （2）解：∵，， ∴， 若和以为顶点的三角形相似时， 则存在或， 则或， 即或， 解得：或； （3）解：由（1）知，， 过点作轴于点， 则，则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、中位线的性质勾股定理等知识，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过A作垂足为M，根据平行四边形的面积公式计算出，根据勾股定理计算出，从而得到垂直平分，再证明得到，设，分别得到，根据建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据矩形的性质推到得，得出，再根据勾股定理计算出，通过证明，通过三角形的相似比计算出； （3）根据和两种情况进行讨论，当可利用（1）得结论得到答案，当时，，得，，，根据得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）如下图所示，过A作垂足为M， ∵平行四边形的面积为96，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 设，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如下图所示，过A作垂足为M， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）如下图所示， ∵，当时，点G在AC上时， 由（1）得， 当时，点G不在AC上，如下图所示， ∵， ∴， 设， 得，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角函数、正方形、平行四边形、全等三角形和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角函数和相似三角形的相似比建立方程． 【经典例题五 锐角三角函数的翻折模型】 1．已知在中，，，点在边上，满足．动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿折线向终点运动，且不与的顶点重合．把沿翻折，得到．设点的运动时间为． (1)的长为______． (2)求点到的距离（用含的代数式表示）． (3)当与等腰的腰垂直时，求的值． (4)当与拼成的图形为三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)当时，点到的距离为，当时，点到的距离为； (3)当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2 (4)当与拼成的图形为三角形时，的值为或或 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据，求得，，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，即：时，当在上运动时，即：时，分别求解即可； （3）分两种情况：当于点时，当于点时，结合（2），根据折叠的性质即可求解； （4）分三种情况：当点在上且时，当点在上且时，当点在上且时，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵，， ∴， 设，，则由勾股定理可知，， ∴，则，， ∴， 故答案为：8； （2）由（1）可知，， 当在上运动时，即：时，， 过点作，则； 当在上运动时，即：时，，， 过点作， ∵， ∴，则， ∴， 综上，当时，点到的距离为，当时，点到的距离为； （3）∵，， ∴，， 当于点时，过点作，由（2）可知，，， 由折叠可知，，，，则， ∴， ∴，，， 则， ∴； 当于点时，过点作，由（2）可知，，，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴； 综上，当与等腰的腰垂直时，的值为0.6或1.2； （4）由折叠可知，，， 当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形， 此时，，则， ∴，解得：； 当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形， 过点作，由上可知，，， 则，，， ∵，则 ∴， ∴， ∴，即：，解得：； 当点在上且时，即时，与拼成的图形为三角形， 此时，，解得：； 综上，当与拼成的图形为三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，折叠的性质等知识点，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，．点E在射线上运动（不与点D重合），连接，将沿翻折，点D的对应点为点F．    (1)如图1，若点F恰好落在矩形某一边所在的直线上，直接写出的度数． (2)如图2，当点E恰好与点C重合时，求的面积． (3)在点E运动的过程中，是否存在一点F，使得成为直角三角形？若存在，请你在虚线框内作图（要求：尺规作图，并标出相应的点F）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，根据，和折叠性质可得，，证明，得出，再根据平行得出，即可求解； （2）设，根据折叠可得，再根据，即可得出，证出，设，则，在中，根据勾股定理解出，算出，过点F作交的延长线于点H，证明，根据相似性质算出，根据，即可求解． （3）当时，延长，尺规作，再连接即可．当时， 作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心线段的一半长为半径画圆，再以点A为圆心线段的长为半径画圆，两圆交于两点，分别连接，再分别作的角平分线，延长交和的延长线分别交于点，即为所求． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得：，， ， 则在中，， ∵， ∴， ∴． （2）设， 则根据折叠可得， ∵， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， 解得：， ， 过点F作交的延长线于点H，    ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （3）∵， 故当时，点重合，不满足题意； 当时，能成为直角三角形， 作图：如图，延长，尺规作，再连接即可． 此时，，是正方形，能由沿翻折得到， 且．    当时，能成为直角三角形， 作图：如图，作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心线段的一半长为半径画圆，再以点A为圆心线段的长为半径画圆，两圆交于两点，分别连接，再分别作的角平分线，延长交和的延长线分别交于点，即为所求． 理由，是的直径， ； ， ， 即是由沿翻折得到，且是直角三角形； 同理，是由沿翻折得到，且是直角三角形．    【点睛】该题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作-线段，角平分线，线段垂直平分线，圆，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图1所示，四边形是矩形，是的中点，射线与的延长线交于点，将沿翻折，得到，延长交于点． (1)①求证:； ②判断的形状，并说明理由； (2)若，. ①求的值； ②线段上有一动点（不与端点重合），线段上有一点，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①见解析；②是等腰三角形，理由见解析 (2)①；②或 【分析】（1）①四边形是矩形，得到，.由是的中点得到，即可证明.②由全等三角形的性质和折叠性质得到.则.即可得到结论； （2）①先求出，，.再求得，根据三角函数的定义即可得到答案；②三种分别进行解答即可． 【详解】（1）证明：①如图， 四边形是矩形， ，， ，， 是的中点， ， ； ②是等腰三角形，理由如下： 由翻折可得，， 由①得，， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：①如图， 四边形是矩形， ，，. ， ，， 设， 则， 在中，， 即， 解得， ， ； ②在中， ， ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： （Ⅰ）当时，此时，与重合，舍去； （Ⅱ）当时，如图， ， ， ， ； （Ⅲ）当时，如图， ， ， ， ， ； 综上所述，若是等腰三角形，或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判的和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键. 4．如图，在菱形中，，点E在上，连接，将沿直线翻折得到，交于点H，延长，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．推出、为等边三角形，从而得出，进而得出即可得证； （2）过点G作于点M．设，则．解直角三角形得出，，推出．，结合勾股定理计算得出，，证明，由相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，．   四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， ， ． ， ， ∴，即， ； （2）解：过点G作于点M．    设，则． ， ∴， ，， ． ，， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．如图，在矩形中，，F、G分别为边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点E落在上，交于点H，连接交于点O． (1)写出与之间的位置关系是：______； (2)求证：； (3)连接，若， ，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由折叠性质得，，进而得到； （2）过点G作于点M，则四边形为矩形，证明，即可求解； （3）过点P作，交的延长线于点K．得，借助已知锐角三角函数值，得出与的关系，在中，由勾股定理列出方程求得各边长度，再根据（2）得出，进而求得和的长即可． 【详解】（1）解∶由折叠性质得，， ∵， ∴ ； 故答案为： （2）证明：如图1，过点G作于点M，则四边形为矩形， ∴． 由（1）得 ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点P作，交的延长线于点K． 由折叠的性质得：， ∴， 且， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴可设 ，则， ∴， ∴． ∵， ∴， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，难度较大，关键在于构造直角三角形充分利用相似三角形和解直角三角形的知识以及勾股定理、方程思想解决问题． 【经典例题六 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接，， 四边形是菱形， 对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 的周长， 要求的周长的最小值可先求出的最小值即可， 而的最小值就是的长， 过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 在中， ，， 在中， ，， ， 的周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键． 2．（2020·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图， ∵，， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴, 在中，， ∴的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 【答案】(1) (2) (3)点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3 【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案； （2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长； （3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， 由折叠得：，垂直平分. ∵在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴. （2）依题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3. 理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图， 中，， 由折叠得：，，， 设，则，， 根据勾股定理得，， 则 解得 ∴线段长度最小时的长为3. 【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；最小值是 【分析】（1）过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D，通过证明，得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到，进而得到，从而得到结论； （2）过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则，根据解直角三角形求出，根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，过点 B作轴，垂足为 F，根据解直角三角形求出P点坐标，进而求出的长度，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图 1，过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D， 则， ∵点， ，， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标是， ∵点在反比例函数 的图象上， ，解得 ， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ， ∴反比例函数的解析式是 ， ， ， 又， ， ， 为直角三角形； （2）如图2，过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则， ， ， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小， 过点 B作轴，垂足为 F， ， ， ， ， ， ， 综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 【经典例题七 锐角三角函数的动点模型】 1．如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 【答案】(1)见解析 (2)不变化， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点A作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的值不变化． 2．如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是：（1）利用两个角对应相等的三角形相似，证出；（2）在中，通过解直角三角形求出的长． （1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出； （2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ，垂足为， ． ，， ． ； （2）解：， ， ． 在中，，， ， 即的长为2． 3．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿线段以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)______． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)当与的周长的比为时，求t的值． (4)当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)当时，，当时， (3)t为秒 (4)t的值为或2 【分析】（1）直接根据勾股定理求得的长即可； （2）先在中求出，再在中求出，用勾股定理，再分两种情况即可得出结论； （3）由相似三角形的周长的比等于相似比得出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论计算，由轴对称图形的定义，用相等的线段建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ． 故答案为：10； （2）在中， 由题意得，     在中， , 根据勾股定理得， 当时，如下图所示；    当时，如下图所示    故答案为：当时，,当时，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即当与的周长的比为时，t为秒； （4）由（2）知，，，或， 当时，四边形是轴对称图形， 则， ∴， 当时， 设和相交于D， 当时，四边形是轴对称图形， 则， ∴， 综上所述，当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时， t的值为或2． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，锐角三角形的性质，轴对称图形，勾股定理相似三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形和轴对称图形，证明三角形相似是解题的关键． 4．如图，在中，，点为边的中点，连接，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为_______； (2)当把的面积分为两部分时，求的值； (3)当点在内部时，求的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，设，则，进而勾股定理求得，即可得出的长； （2）分当在上时，当在上时，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （3）分当在上时，当在上时，分别画出图形，求得的值，根据的轨迹是以为圆心为半径的圆，进而判断的取值范围； （4）由（2）可得当是的中点时，，则；当在上时，同理得出时符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为边的中点， ∴， ∵ 设，则， ∴，, ∴ ∴， （2）解：∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∵ ∴，则， 当在上时，把的面积分为两部分时，则 依题意，，， ∴，即 解得：； 当在上时，，则， 同理可得 解得： 综上所述，当把的面积分为两部分时，或 （3）解：如图所示，当在上时， ∵，关于对称， ∴， 又∵， ∴，解得：； 当在上时，如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵关于对称， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即 ∵， ∴的轨迹是以为圆心为半径的圆， ∴当在内部时， （4）由（2）可得当是的中点时， ∴ ∵关于对称， ∴，此时， 当在上时，如图所示， ∵， 则 ∴， 同理可得， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， 解得： 综上所述，当时，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 5．梯形中， ，点是边的中点，点是边上的动点． (1)如图①，求梯形的周长； (2)如图②，连接，设，求关于的关系式及定义域； (3)如果直线与直线交于点，当时，求的长． 【答案】(1)116 (2)，定义域为 (3)或 【分析】（1）过点C作交于点F，得到平行四边形和直角三角形，求出，即可； （2）过点N作，垂足为Q，求出以及，即可得解； （3）分别延长，，相交于E，连接，分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点C作交于点F，如图 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：过点N作，垂足为Q，如图2 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴定义域为； （3）解：分别延长，，相交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ， ①当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【经典例题八 锐角三角函数的旋转模型】 1．如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 【答案】（1）3（2）①；②（3）2 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， 则 ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：3； （2）①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ， ∴ ②如图3，过作于，交于． ∵折叠 ∴ ∵旋转 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （3）如图4，连接， 则， 当、、三点共线时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 故答案为：2． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 2．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长交于点G． (1)试判断四边形BCGE的形状，并说明理由； (2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）先证明四边形的形状为矩形，再由得到即可证明四边形的形状为正方形； （2）①由已知得到，再由等积，再结合已知即可证明；②设的交点为，过点作于点，证明点是的中点，利用三角函数知识求出的长，进而求出的长，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：结论：四边形的形状为正方形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形的形状为矩形， ， ， 四边形的形状为正方形； （2）①． 理由：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ②设的交点为，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 3．（1）【问题发现】 如图1所示，和均为正三角形，三点共线，猜想线段之间的数量关系为____________，____________． （2）【类比探究】 如图2所示，和均为等腰直角三角形，，三点共线，线段交于点．此时，线段之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； （3）【拓展延伸】 如图3所示，在中，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长． 【答案】（1）线段得数量关系为，；（2），证明见解析；；（3）或 【分析】（1）先证明，得到，进一步求得，即可得到答案； （2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案； （3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵和均为正三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵B，D，E三点共线， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段得数量关系为，； （2），证明如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当在内部时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵未旋转前，为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 解得：（舍去）或， 即； 当在外部时，如图， 同理， ∴， 设，则， 在中，， 解得：（舍去）或， 即； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 4．如图，为等腰直角三角形，其中．，在射线取点D，使得，以为斜边在右边构造等腰直角三角形．将绕点A逆时针旋转． (1)求证：； (2)在旋转的过程中，与边交于F，G两点，请问的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由； (3)以为直角边在右上方构造直角三角形，其中，过点M作的垂线交的延长线于点N，发现在旋转的过程中，当点D落在上时，点E恰好落在上，此时停止旋转．求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)是，定值是8 (3)2 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及勾股定理得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用相似三角形的判定和性质即可证明； （3）连接，根据题意得出．再由全等三角形的性质及三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：∵． ∵， ∴， ∴； （2）解：在（1）中，， ∴在图2中，， ∴， 又 即为定值； （3）如图．连接． ∵， ∴，则， ∴． ∵． 又 又， ∴． ∴， ． 5．如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，当平分四边形的面积时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，再根据，可得即可； （）要证，也就是证明，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明即可； （）设，利用建立方程求解； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，平分四边形的面积， ∴， ∴，整理得：， ∴，（舍）， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$