清单04 三角形及其性质（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单04 三角形及其性质（10个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】三角形三边的关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【清单02】三角形的分类 【清单03】三角形的重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【清单04】三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【清单05】三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单06】三角形的外角 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【考点题型一】三角形及相关概念 【例1】用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【变式1 -1】如图所示，以BC为边的三角形共有 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【变式1 -2】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 对． 【考点题型二】三角形的分类 【例2】如图所示，图中小椭圆圈里的表示（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2 -1】若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【考点题型三】三角形三边关系 【例3】现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式3 -1】如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3 -2】已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3 -3】为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O，测得，那么A、B间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -4】已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．20或16 B．20 C．16 D．18 【变式3 -5】下列各组线段能组成三角形的是（    ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，3cm，6cm D．3cm，4cm，9cm 【变式3 -6】已知三角形的三边分别为2，x，3，那么x的取值范围是 ． 【变式3 -7】等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 【考点题型四】三角形的稳定性 【例4】如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【变式4 -1】下列图形具有稳定性的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式4 -2】在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆(如图所示)，这样做的数学原理是 ． 【变式4 -3】我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ． 【考点题型五】三角形内角和定理 【例5】如图，，直线交于点O，过O作，交于点G，，则 °． 【变式5 -1】如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5 -2】如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式5 -3】如图，将一副三角板按如图方式摆放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式5 -4】如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是 . 【变式5 -5】密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数． 【考点题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例6】如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 ． 【变式6 -1】如图，直线ab，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50 C．55° D．65° 【变式6 -2】如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是 A． B． C． D． 【变式6 -3】如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 . 【考点题型七】三角形外角性质 【例7】与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 【变式7 -1】图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -3】如图，把纸△ABC的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则,与A 的关系是（  ） A． B． C． D． 【变式7 -4】如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 【变式7 -5】如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    【变式7 -6】如图，在中，，，则 ． 【变式7 -7】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处． 【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ． 【考点题型八】三角形的高 【例8】在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式8 -1】如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是(   ) A．   B．   C．   D．   【变式8 -2】如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 【变式8 -3】如图所示，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式8 -4】如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式8 -5】如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 【变式8 -6】如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 【考点题型九】三角形的中线 【例9】如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【变式9 -1】如图所示，有一条线段是（）的中线，该线段是（    ）. A．线段GH B．线段AD C．线段AE D．线段AF 【变式9 -2】如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9 -3】如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【变式9 -4】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【考点题型十】三角形的角平分线 【例10】如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 【变式10 -1】如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式10 -2】如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式10 -3】如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °． 【变式10 -4】如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 三角形及其性质（10个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】三角形三边的关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【清单02】三角形的分类 【清单03】三角形的重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【清单04】三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【清单05】三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单06】三角形的外角 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【考点题型一】三角形及相关概念 【例1】用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 【变式1 -1】如图所示，以BC为边的三角形共有 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 【变式1 -2】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 对． 【答案】3 【分析】找到以为边的三角形，即可得解． 【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键． 【考点题型二】三角形的分类 【例2】如图所示，图中小椭圆圈里的表示（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴A表示的是等边三角形， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法． 【变式2 -1】若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算． 【详解】解：∵△ABC有一个外角为锐角， ∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角， 故此角应大于90°， 故△ABC是钝角三角形． 故选A 考点：三角形的外角性质． 【考点题型三】三角形三边关系 【例3】现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6； 根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6；共2组能组成三角形． 故选：B 【变式3 -1】如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则， a的值不可能是1， 故选：A． 【变式3 -2】已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、∵， ∴， 即， 故A能形成三角形 B 、∵， ∴， 故B能形成三角形 C、∵ 不确定，故不能确定与的关系． 故，，不一定能组成三角形．符合题意， D、∵ ∴，， ∵ 故D能形成三角形． 故选C． 【变式3 -3】为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O，测得，那么A、B间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 即， ∴A、B间的距离不可能是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边两边之差小于第三边是解题的关键． 【变式3 -4】已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．20或16 B．20 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论． 【详解】由题意可知：x-4=0，y-8=0， ∴x=4，y=8， 当腰长为4，底边长为8时， ∵4+4=8， ∴不能围成三角形， 当腰长为8，底边长为4时， ∵4+8＞8， ∴能围成三角形， ∴周长为：8+8+4=20， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型． 【变式3 -5】下列各组线段能组成三角形的是（    ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，3cm，6cm D．3cm，4cm，9cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案． 【详解】A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意， B．，能构成三角形，故该选项符合题意， C．，不能构成三角形，故该选项符合题意， D．，不能构成三角形，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 【变式3 -6】已知三角形的三边分别为2，x，3，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到答案． 【详解】解：三角形的三边分别为2，x，3，那么x的取值范围是，即． 故答案为：． 【变式3 -7】等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：底边的取值范围是， 故答案为：． 【考点题型四】三角形的稳定性 【例4】如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式4 -1】下列图形具有稳定性的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得． 【详解】A.具有稳定性，符合题意； B.不具有稳定性，故不符合题意； C.不具有稳定性，故不符合题意； D.不具有稳定性，故不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键． 【变式4 -2】在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆(如图所示)，这样做的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性. 【详解】结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性. 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形稳定性原理是解决本题的关键. 【变式4 -3】我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ． 【答案】不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性，即可求解． 【详解】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性 【点睛】本题主要考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键． 【考点题型五】三角形内角和定理 【例5】如图，，直线交于点O，过O作，交于点G，，则 °． 【答案】48 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记“两直线平行，内错角相等”的性质是解题的关键．根据平行线的性质推知，则由垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余的性质来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48． 【变式5 -1】如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【变式5 -2】如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图，记和相交于点O， 在与中， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是是解答的关键． 【变式5 -3】如图，将一副三角板按如图方式摆放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和为即可得出结合，，即可求出的度数． 【详解】解：给图标上字母，如图所示， ∵，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为求出的度数． 【变式5 -4】如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是 . 【答案】30° 【详解】试题分析：先根据平行四边形的性质求得∠B的度数，再由根据三角形的内角和定理求解即可. 解：∵平行四边形， ∴∠B=60° ∵ ∴=180°-90°-60°=30°. 考点：平行四边形的性质，三角形的内角和定理 点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的清单，一般难度不大，需熟练掌握. 【变式5 -5】密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数． 【答案】80° 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可计算． 【详解】解：解：∵B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向， ∴，， ∴． 答：从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数是80°． 【点睛】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义． 【考点题型六】直角三角形的两个锐角互余 【例6】如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。 【详解】解：在中，，， 则， 是的外角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。 【变式6 -1】如图，直线ab，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50 C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，求得,求的余角，根据对顶角相等即可求解． 【详解】ab AB⊥BC，∠1＝35° ． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，对顶角相等，熟悉以上清单是解题的关键． 【变式6 -2】如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得出∠EAC=90°-∠C，由角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°， ∴∠EAC=90°-∠C， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAB=∠BAC． ∵∠BAC=180°-∠B-∠C， ∴∠DAB=（180°-∠B-∠C）， ∴∠DAE=∠DAB-∠BAC =（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B） =（∠B-∠C）． 即 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式6 -3】如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 . 【答案】270°/270度 【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数． 【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC， ∴∠GCF+∠DBE=90°， ∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°， ∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°， ∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°， 故答案为：270°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【考点题型七】三角形外角性质 【例7】与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7 -1】图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了三角形外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角和是解题的关键． 【变式7 -2】如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，进而可求出的度数，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理． 【变式7 -3】如图，把纸△ABC的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则,与A 的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，分别延长CE、BD交于A'点，然后利用三角形的外角与内角的关系可以得到∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，而根据折叠可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，然后利用等式的性质即可求解． 【详解】如图：分别延长CE、BD交于A'点，∴∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'， 而根据折叠可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，∴∠2﹣∠1=2（∠EAA'﹣∠DAA'）=2∠EAD． 故选A． 【点睛】本题考查了图形的折叠与拼接，同时考查了三角形外角的性质等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大． 【变式7 -4】如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 【答案】75 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， ， 故答案为：75． 【变式7 -5】如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、垂线的定义，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即可判断①；无法证明平分，即可判断②；求出，，即可判断③；计算出，即可判断④；熟练掌握以上清单并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①， ， 是的角平分线， ，故①错误，不符合题意； ②无法证明平分，故②错误，不符合题意； ③， ， 平分， ， ， ，且， ，即， ，故③正确，符合题意； ④的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，说法正确的是③④， 故答案为：③④． 【变式7 -6】如图，在中，，，则 ． 【答案】25 【分析】根据三角形的外角得出，代入即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，得出是解题的关键． 【变式7 -7】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处． 【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； （2）根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； （3）根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，． 理由如下：由折叠可得：； ， ， 故答案为：； （2）如图②，． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； （3）如图③， ，， 由折叠可得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 【考点题型八】三角形的高 【例8】在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【变式8 -1】如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意； B．不是三角形的高，故此选项不合题意； C．不是三角形的高，故此选项不合题意； D．是的边上的高，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式8 -2】如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：由已知图形可得于E， 因此是边上的高线， 故选B． 【变式8 -3】如图所示，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义即可进行解答． 【详解】解：的边上的高是线段， 故选：C． 【点睛】从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高． 【变式8 -4】如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 【变式8 -5】如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则 °． 【答案】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 【变式8 -6】如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，． 【详解】解：∵AD是的高 ∴ ∵ ∴ ∵CE是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴在中，． 【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系． 【考点题型九】三角形的中线 【例9】如图，在中，点，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，进而得，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， 故答案为：． 【变式9 -1】如图所示，有一条线段是（）的中线，该线段是（    ）. A．线段GH B．线段AD C．线段AE D．线段AF 【答案】B 【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 【详解】根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【变式9 -2】如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与相交于点O，连接，根据三角形的中线性质可得，，从而可得，再根据已知可得，从而可得，然后根据图形面积的和差关系进行计算，即可解答， 本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：设与相交于点O，连接 ∵点D是边的中点，的面积是4， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴，故C不正确，不符合题意， ∵，， ∴，故A不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 【变式9 -3】如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 【变式9 -4】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关清单是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十】三角形的角平分线 【例10】如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 【答案】B 【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键． 【变式10 -1】如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DC，故①正确； 又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确； ∴BE=BC，故②正确； ∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD， ∴AD=DC不成立，故③错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【变式10 -2】如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)， =180°-2(∠DBC+∠BCD) ∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)， ∴∠A=180°-2(180°-∠BDC) ∴∠BDC=90°+ ∠A， ∴∠A=2(110°-90°)=40°． 故答案为：A． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 【变式10 -3】如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °． 【答案】12 【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB=100°，再由角平分线定义得∠ACE=50°，利用三角形外角的性质得∠CED=78°，再利用角的和差关系得出答案． 【详解】解：∵∠A=28°，∠B=52°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-28°-52 °=100°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=50°， ∴∠CED=∠A+∠ACE=28°+50°=78°， ∵CD是高， ∴∠CDE=90°， ∴∠DCE=90°−∠CED=90°−78°=12°， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式10 -4】如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 【答案】(1)120° (2)∠BPC= 【分析】（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可； （2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可． 【详解】（1）解：如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB= ， ∵∠A=60°， ∴=120°， ∴∠PBC+∠PCB==60°， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°． （2）如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB=， ∵∠A=α°， ∴=180°-α°， ∴∠PBC+∠PCB=， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°． ∴∠BPC=． 【点睛】本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$