专题06 比的认识（考点清单，知识导图+3个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题06 比的认识 （考点清单，知识导图+3个考点清单+6种题型解读） 清单01 生活中的比 比的意义：两个数相除，又叫作这两个数的比。如3÷2写作3:2，读作3比2。 比的组成：“：”是比号，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项，前项除以后项所得值为比值。 如在3:2中，3是这个比的前项，2是这个比的后项，1.5为这个比的比值。 清单02 比的化简 比的基本性质：比的前后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。 整数比化简方法：用比的前后项分别除以它们的最大公约数。 分数比化简方法：用比的前后项分数化为整数，然后应用整数比的化简方法进行化简。 清单03 比的应用 把一个量按照一定的比来进行分配的分配方法叫作按比分配。 在解决按比分配的问题时，首先要读懂题中量与量之间的比例关系，各部分数量与总数量之间的占比情况。可采用画图分析法或者解方程式的方法。 考点题型一 比的认识 1：大、小两个正方体棱长的比是3∶2，它们体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．9∶4 C．9∶8 D．27∶8 【1-1】学校电脑小组有女生20人，男生25人，男生人数是女生的( )，女生人数与男生人数的最简整数比是( )，女生人数比男生人数少( )，男生人数占总人数的( )。 【1-2】甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少，乙用的时间比甲多。甲、乙的速度之比是多少？ 【1-3】一个长方形，宽和长的比是，如果宽再增加6厘米，这时长方形就变成了正方形，求这个长方形的宽是多少厘米？ 考点题型二 比的基本性质 2：甲、乙、丙三个数，甲∶乙＝3∶2，乙∶丙＝3∶4，其中（    ）数最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【2-1】如果在4∶9的前项加上8，要使它的比值不变，后项应该（    ）。 A．加上8 B．加上18 C．减去8 D．增加3倍 【2-2】你的身高是多少厘米？脚长和头长呢？你父母的身高、脚长和头长分别是多少厘米？先量一量，再分别算出脚长与身高、头长与身高的比（前项都化成1，后项保留一位小数），看看有什么发现。 【2-3】同学们分成三个小组进行植树活动，第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。已知第一小组比第三小组少28人，这三个小组各有多少人？ 考点题型三 比与分数、除法的关系 3：在一个比中，前项是8，比值是，后项是（    ）。 A． B．6 C． D． 【3-1】一辆客车从甲地开往乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了400千米，这时已行的路程和总路程的比是5∶7。甲、乙两地相距多少千米？ 【3-2】下图反映的数量关系错误的是（    ）。 A．a∶b＝5∶6 B．a×（1＋）＝b C．b×＝a 考点题型四 按比分配 4：一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶2，这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 【4-1】学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3？ 【4-2】在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是180，减数与差的比是2∶1，减数是( )，差是( )。 【4-3】小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 考点题型五 求比值及化简比 5：把∶化简成最简单的整数比是( )，化简的依据是( )，比值是( )。 【5-1】0.5∶0.2的最简整数比是( )，比值是( )。 【5-2】化简比。 0.25∶0.45                20kg∶0.2t        3时20分∶50分 【5-3】把下面各比化成最简单的整数比，并求比值。                    0.15吨∶50千克        8公顷∶0.5平方千米 考点题型六 比的应用 6：李婕用制图软件在电脑上制图，她需要把图涂成土黄色，调制的方法是红、绿两种颜色按照6∶5的比混合调配。操作如图，则绿色应输入（    ）。 A．288 B．200 C．160 D．40 【6-1】甲、乙、丙三人共分4.5吨化肥，甲分得这批化肥的，乙、丙分得化肥的比是4∶5，甲、乙、丙各分得了多少吨化肥？ 【6-2】汽车站停有若干辆汽车，在上午7时开出去一些车辆后，开出车辆与未开出车辆的比是3∶5，到上午9时又开回5辆汽车，这时开出的车辆相当于汽车站原来车辆总数的。汽车站原来有汽车多少辆？ 【6-3】雯雯看一本书，第一天看了全书的，第二天看了120页，已看的页数与未看的页数之比是3∶2，这本书一共有多少页？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 比的认识 （考点清单，知识导图+3个考点清单+6种题型解读） 清单01 生活中的比 比的意义：两个数相除，又叫作这两个数的比。如3÷2写作3:2，读作3比2。 比的组成：“：”是比号，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项，前项除以后项所得值为比值。 如在3:2中，3是这个比的前项，2是这个比的后项，1.5为这个比的比值。 清单02 比的化简 比的基本性质：比的前后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。 整数比化简方法：用比的前后项分别除以它们的最大公约数。 分数比化简方法：用比的前后项分数化为整数，然后应用整数比的化简方法进行化简。 清单03 比的应用 把一个量按照一定的比来进行分配的分配方法叫作按比分配。 在解决按比分配的问题时，首先要读懂题中量与量之间的比例关系，各部分数量与总数量之间的占比情况。可采用画图分析法或者解方程式的方法。 考点题型一 比的认识 1：大、小两个正方体棱长的比是3∶2，它们体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．9∶4 C．9∶8 D．27∶8 答案：D 分析：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，大、小两个正方体棱长的比是3∶2，把大正方体的棱长看作3，小正方体的棱长看作2，再求出它们体积的比即可。 详解：大正方体体积： 小正方体体积： 所以它们体积的比是：27∶8。 故答案为：D 【1-1】学校电脑小组有女生20人，男生25人，男生人数是女生的( )，女生人数与男生人数的最简整数比是( )，女生人数比男生人数少( )，男生人数占总人数的( )。 答案： 4∶5 分析：用男生人数除以女生人数，即可求出男生是女生的几分之几；用女生人数比上男生人数，再化简即可；先求出女生人数比男生人数少多少，再除以男生人数即可；用男生人数除以总人数即可。 详解：25÷20＝ 20∶25 ＝（20÷5）∶（25÷5） ＝4∶5 （25－20）÷25 ＝5÷25 ＝ 25÷（20＋25） ＝25÷45 ＝ 则男生人数是女生的，女生人数与男生人数的最简整数比是4∶5，女生人数比男生人数少，男生人数占总人数的。 【1-2】甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少，乙用的时间比甲多。甲、乙的速度之比是多少？ 答案：3∶4 分析：根据题意可知，甲走的路程是乙的（1－），乙用的时间是甲的（1＋），根据分数和比的关系，可知甲乙走的路程比是（1－）∶1，化简后为2∶3，甲乙用的时间比是1∶（1＋），化简后为8∶9，根据路程÷时间＝速度，据此可知甲乙的速度比为（2÷8）∶（3÷9），再化简即可。 详解：甲乙走的路程比： （1－）∶1 ＝∶1 ＝（×3）∶（1×3） ＝2∶3 甲乙用的时间比： 1∶（1＋） ＝1∶ ＝（1×8）∶（×8） ＝8∶9 （2÷8）∶（3÷9） ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶4 答：甲、乙的速度之比是3∶4。 【1-3】一个长方形，宽和长的比是，如果宽再增加6厘米，这时长方形就变成了正方形，求这个长方形的宽是多少厘米？ 答案：24厘米 分析：已知长方形的宽和长的比是，把宽看作4份，长看作5份，宽比长少（5－4）份； 如果宽再增加6厘米，这时长方形就变成了正方形，说明原来宽比长少6厘米，用少的长度除以少的份数，求出一份数，再用一份数乘宽的份数，即可求出宽。 详解：一份数： 6÷（5－4） ＝6÷1 ＝6（厘米） 宽：6×4＝24（厘米） 答：这个长方形的宽是24厘米。 考点题型二 比的基本性质 2：甲、乙、丙三个数，甲∶乙＝3∶2，乙∶丙＝3∶4，其中（    ）数最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 答案：A 分析：先找出2和3的最小公倍数，然后根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。乙扩大到2和3的最小公倍数，甲和丙也分别扩大相应的倍数，再比较大小，即可得解。 详解：甲∶乙＝3∶2 乙∶丙＝3∶4 其中甲数最大。 故答案为：A 【2-1】如果在4∶9的前项加上8，要使它的比值不变，后项应该（    ）。 A．加上8 B．加上18 C．减去8 D．增加3倍 答案：B 分析：根据比的性质，比的前项、后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变。先判断出前项乘几，也就求出后项乘几，用变化后的后项减去变化前的后项，求出后项需要增加多少。 详解：如果4∶9的前项加上8，此时前项是4＋8＝12，相当于前项乘3，那么后项也要乘3，此时后项是9×3＝27，也就是增加27－9＝18。 故答案为：B 【2-2】你的身高是多少厘米？脚长和头长呢？你父母的身高、脚长和头长分别是多少厘米？先量一量，再分别算出脚长与身高、头长与身高的比（前项都化成1，后项保留一位小数），看看有什么发现。 答案：见详解 分析：首先利用卷尺测量自己，父亲以及母亲的身高，脚长，头长；然后求出比：脚长与身高的比就讲脚长作为前项、身高作为后项，头长与身高的比就将头长最为前项、身高作为后项；之后再根据比的性质，比的前项和后项同时除以前项即可将前项都化为1；最后再总结发现。 详解：我是身高是150厘米，脚长是20厘米，头长是30厘米， 脚长和身高的比是： 20∶150 ＝（20÷20）∶（150÷20） ＝1∶7.5 头长和身高的比是： 30∶150 ＝（30÷30）∶（150÷30） ＝1∶5.0 我父亲的身高是180厘米，脚长是26厘米，头长是36厘米， 脚长和身高的比是： 26∶180 ＝（26÷26）∶（180÷26） ＝1∶6.9 头长和身高的比是： 36∶180 ＝（36÷36）∶（180÷36） ＝1∶5.0 我母亲的身高是165厘米，脚长是23厘米，头长是32厘米， 脚长和身高的比是： 23∶165 ＝（23÷23）∶（165÷23） ＝1∶7.1 头长和身高的比是： 32∶165 ＝（32÷32）∶（165÷32） ＝1∶5.2 发现：脚和身高的比大约是1：7，头和身高的比大约是1：5（答案不唯一） 【2-3】同学们分成三个小组进行植树活动，第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组和第三小组人数的比是4∶5。已知第一小组比第三小组少28人，这三个小组各有多少人？ 答案：第一小组32人，第二小组48人，第三小组60人 分析：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。据此可将第一小组和第二小组的人数比写成8∶12，第二小组和第三小组的人数比写成12∶15，那么三个小组的人数比为8∶12∶15。所以，第一小组比第三小组少7份，少28人；用28人除以7，求出每份的人数；再将每份的人数分别乘8、12和15，求出这三个小组各有多少人。 详解：第一小组和第二小组人数的比：2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12 第二小组和第三小组人数的比：4∶5＝（4×3）∶（5×3）＝12∶15 三组人数之比：8∶12∶15 28÷（15－8） ＝28÷7 ＝4（人） 第一小组：4×8＝32（人） 第二小组：4×12＝48（人） 第三小组：4×15＝60（人） 答：第一小组32人，第二小组48人，第三小组60人。 考点题型三 比与分数、除法的关系 3：在一个比中，前项是8，比值是，后项是（    ）。 A． B．6 C． D． 答案：D 分析：根据比的后项＝前项÷比值，计算即可。 详解：8÷＝ 故答案为：D 【3-1】一辆客车从甲地开往乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了400千米，这时已行的路程和总路程的比是5∶7。甲、乙两地相距多少千米？ 答案：1050千米 分析：把甲、乙两地的距离看作单位“1”，第一天行驶了全程的，第二天行驶了400千米，这时已行的路程和总路程的比是5∶7，即已行的路程占全程的，那么第二天行驶的400千米占全程的（－），单位“1”未知，用第二天行驶的路程除以（－），即可求出甲、乙两地的距离。 详解：400÷（－） ＝400÷（－） ＝400÷ ＝400× ＝1050（千米） 答：甲、乙两地相距1050千米。 【3-2】下图反映的数量关系错误的是（    ）。 A．a∶b＝5∶6 B．a×（1＋）＝b C．b×＝a 答案：C 分析：从图形中可知，以为单位“1”，b比多，就是b是的（1＋），则b是的，则一个数的几分之几多少用乘法，已知一个数的几分之几是多少用除法。 详解：A．1＋＝，则∶b＝5∶6； B．1＋＝，×（1＋）＝b； C．b÷（1＋）＝； 故答案为：C 考点题型四 按比分配 4：一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶2，这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 答案：C 分析：三角形的内角和是180°，按比分配，得出最大的角占了180°的，求一个数的几分之几用乘法，得出最大的角的度数。小于90°则是锐角三角形，等于90°是直角三角形，大于90°小于180°是钝角三角形。 详解： 72°＜90°，则这个三角形是锐角三角形。 故答案为：C 【4-1】学校合唱团A组有120人，B组有95人。从A组调出多少名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3？ 答案：34名 分析：根据题目分析，学校合唱队的总人数是不变的，即是A组和B组的人数和为215名。再根据比的分配，调出后A组人数占总人数的，求一个数的几分之几用乘法得出A组现在的人数是86名，即用原来的人数－调出后的人数得出调出的人数。 详解：120＋95＝215（人） （人） 120－86＝34（名） 答：从A组调出34名同学到B组，才能使A组与B组的人数比是2∶3。 【4-2】在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是180，减数与差的比是2∶1，减数是( )，差是( )。 答案： 60 30 分析：被减数＝减数＋差，减数与差的比是2∶1，减数看作2份，差看作1份，则被减数看作2＋1＝3份，被减数、减数与差的和看作3＋2＋1＝6份，则减数占被减数、减数与差的和的，差占被减数、减数与差的和的，用乘法计算出减数和差是多少即可。 详解：减数： 差： 所以减数是60，差是30。 【4-3】小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 答案：小红家应分摊200元，小明家应分摊250元 分析：根据比的意义，可知餐费按人口比来分配，也就是按4∶5来分配，把小红家分摊的餐费看作4份，小明家分摊的餐费看作5份，据此用总餐费除以总份数，即可求出每份是多少，进而用乘法分别求出两家分摊的餐费。 详解：450÷（4＋5） ＝450÷9 ＝50（元） 50×4＝200（元） 50×5＝250（元） 答：小红家应分摊200元，小明家应分摊250元。 考点题型五 求比值及化简比 5：把∶化简成最简单的整数比是( )，化简的依据是( )，比值是( )。 答案： 64∶81 比的基本性质 分析：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变，据此化简比即可；用比的前项除以比的后项所得结果即为比值，据此解答。 详解： 所以化简成最简单的整数比是64∶81，化简的依据是比的基本性质，比值是。 【5-1】0.5∶0.2的最简整数比是( )，比值是( )。 答案： 5∶2 //2.5 分析：小数比的化简方法：先根据比的基本性质移动小数点的位置，把小数比化为整数比，再按照整数比的化简方法，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此计算；比的前项除以比的后项所得的商即为比值。 详解： （或或2.5） 0.5∶0.2的最简整数比是5∶2，比值是（或或2.5）。 【5-2】化简比。 0.25∶0.45                20kg∶0.2t        3时20分∶50分 答案：5∶9；2∶1；1∶10；4∶1 分析：化成最简整数比，利用比的基本性质，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。 先将两个小数同时乘100，将两个小数转化为整数，再算出两个数的最大公因数，再用这两个整除除以最大公因数； 先得出两个分数分母的最小公倍数，再将比的前项和后项同时乘这个最小公倍数； 先将0.2t换算成以kg为单位的数，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，1t＝1000kg，再将得出两个整数的最大公因数，最后将比的前项和后项同时除以这个最大公因数； 先将3时20分转化为以分为单位的数，1时＝60分，则3时20分＝3×60＋20＝200分，再将得出两个整数的最大公因数，最后将比的前项和后项同时除以这个最大公因数； 详解：0.25∶0.45 ＝（0.25×100）∶（0.45×100） ＝25∶45 ＝（25÷5）∶（45÷5） ＝5∶9 ＝2∶1 20kg∶0.2t ＝20kg∶200kg ＝（20÷20）∶（200÷20） ＝1∶10 3时20分∶50分 ＝200分∶50分 ＝（200÷50）∶（50÷50） ＝4∶1 【5-3】把下面各比化成最简单的整数比，并求比值。                    0.15吨∶50千克        8公顷∶0.5平方千米 答案：1∶5；；7∶12；；3∶1；3；4∶25； 分析：（1）比的前项和后项同时乘以两个分母的最小公倍数。求比值就是用比的前项除以比的后项。 （2）先把0.75转化为分数形式，再根据比的基本性质进行化简。求比值同样是前项除以后项。 （3）1吨＝1000千克，首先要统一单位，把吨转化为千克，然后再进行化简和求比值。 （4）1平方千米＝100公顷，首先根据进率统一单位，再进行化简和求比值操作。 详解：（1） 化简：∶＝（×20）∶（×20）＝1∶5 比值：÷＝×4＝ （2） 把0.75转化为 化简：∶＝（×16）∶（×16）＝7∶12 比值：÷＝×＝ （3）0.15吨∶50千克 因为1吨＝1000千克，所以0.15吨＝150千克 化简：150∶50＝（150÷50）∶（50÷50）＝3∶1 求比值：150÷50＝3 （4）8公顷∶0.5平方千米 因为1平方千米＝100公顷，所以0.5平方千米＝50公顷 化简：8∶50＝（8÷2）∶（50÷2）＝4∶25 比值：8÷50＝ 考点题型六 比的应用 6：李婕用制图软件在电脑上制图，她需要把图涂成土黄色，调制的方法是红、绿两种颜色按照6∶5的比混合调配。操作如图，则绿色应输入（    ）。 A．288 B．200 C．160 D．40 答案：B 分析：根据比可知，红色是绿色的。将绿色看作单位“1”，单位“1”未知，将红色除以对应的分率，求出绿色。 详解：240÷＝240×＝200 所以，绿色应输入200。 故答案为：B 【6-1】甲、乙、丙三人共分4.5吨化肥，甲分得这批化肥的，乙、丙分得化肥的比是4∶5，甲、乙、丙各分得了多少吨化肥？ 答案：甲1.8吨；乙1.2吨；丙1.5吨 分析：把化肥的总吨数看作单位“1”，甲分得这批化肥的，单位“1”已知，用总吨数乘，求出甲分得的化肥吨数； 再用总吨数减去甲分得的化肥吨数，即是乙、丙分得化肥的吨数之和；已知乙、丙分得化肥的比是4∶5，即乙、丙分得的化肥吨数分别占两人化肥吨数之和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出乙、丙各分得的化肥吨数。 详解：甲：4.5×＝1.8（吨）      乙、丙之和：4.5－1.8＝2.7（吨） 乙：2.7× ＝2.7× ＝1.2（吨）    丙：2.7× ＝2.7× ＝1.5（吨） 答：甲分得1.8吨，乙分得1.2吨，丙分得1.5吨。 【6-2】汽车站停有若干辆汽车，在上午7时开出去一些车辆后，开出车辆与未开出车辆的比是3∶5，到上午9时又开回5辆汽车，这时开出的车辆相当于汽车站原来车辆总数的。汽车站原来有汽车多少辆？ 答案：40辆 分析：由题意知：上午7时停在汽车站的车占全部车辆的，上午9时开回5辆汽车后，此时停在车站的车占全部车辆的，停在站里的车的分率由变为，就是因为增加了开回的5辆车，用5除以对应的分率，即可求得汽车站原来有的汽车数量。 详解： ＝ ＝5×8 ＝40（辆） 答：汽车站原来40辆汽车。 【6-3】雯雯看一本书，第一天看了全书的，第二天看了120页，已看的页数与未看的页数之比是3∶2，这本书一共有多少页？ 答案：300页 分析：将全书的页数看成单位“1”，则第一天看了全书的，求一个数的几分之几用乘法。设全书的页数为x页，则第一天看了。第二天看完120页以后已看的页数与未看的页数之比是3∶2，即已看的页数占了全书页数的，即已看的页数是，根据数量关系式：已看的页数－第一天看的页数＝第二天的页数列出方程得出全书的页数。注意：除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 详解：解：设这本书一共有x页。 x＝300 答：这本书一共有300页。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$