沪科版 期末真题必刷压轴60题（28个考点专练） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

期末真题必刷压轴60题（28个考点专练） 知识导图 一．坐标与图形性质（共1小题） 二．函数的图象（共1小题） 三．动点问题的函数图象（共1小题） 四．一次函数的性质（共1小题） 五．一次函数图象与几何变换（共1小题） 六．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 九．两条直线相交或平行问题（共3小题） 一十．一次函数的应用（共4小题） 一十一．一次函数综合题（共3小题） 一十二．三角形的面积（共1小题） 一十三．三角形三边关系（共2小题） 一十四．三角形内角和定理（共4小题） 一十五．三角形的外角性质（共3小题） 一十六．全等三角形的判定（共3小题） 一十七．全等三角形的判定与性质（共4小题） 一十八．全等三角形的应用（共2小题） 一十九．角平分线的性质（共2小题） 二十．线段垂直平分线的性质（共3小题） 二十一．等腰三角形的性质（共4小题） 二十二．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 二十三．等边三角形的性质（共2小题） 二十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 二十五．命题与定理（共2小题） 二十六．轴对称的性质（共1小题） 二十七．作图-轴对称变换（共3小题） 二十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 题型强化 一．坐标与图形性质（共1小题） 1．（埇桥区期末）在平面直角坐标系中（如图每格一个单位），描出下列各点，，，，，，，并依次将各点连接起来，观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段和轴有什么位置关系？点和点的坐标有什么特点？ 二．函数的图象（共1小题） 2．（潜山市期末）早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程（米与时间（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为50米分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题： （1）在坐标轴两处的括号内填入适当的数据； （2）求小欣早晨上学需要的时间． 三．动点问题的函数图象（共1小题） 3．（2020秋•瑶海区期末）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 四．一次函数的性质（共1小题） 4．（安庆期末）已知一次函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，求这个一次函数的解析式． 五．一次函数图象与几何变换（共1小题） 5．（马鞍山期末）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度． （1）实验操作： 在平面直角坐标系中描出点从点出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中： 从点出发平移次数 可能到达的点的坐标 1次 ， 2次 3次 （2）观察发现： 任一次平移，点可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数　　的图象上；平移2次后在函数　 　的图象上由此我们知道，平移次后在函数　 　的图象上．（请填写相应的解析式） （3）探索运用： 点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点的坐标． 六．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 6．（濉溪县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线． （1）求该一次函数的解析式； （2）若点在该直线上，且在轴的下方，求的取值范围． 7．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 8．（宿松县期末）如图，直线的解析式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线、交于点． （1）求； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出的解集． 八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 9．（安庆期末）用图象法解二元一次方程组： 九．两条直线相交或平行问题（共3小题） 10．（2022秋•迎江区校级期末）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． （1）求的值及点、的坐标； （2）求的面积； （3）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 11．（寿县期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点沿路线运动． （1）求点的坐标，并回答当取何值时？ （2）求的面积； （3）当的面积是的面积的一半时，求出这时点的坐标． 12．（2023春•阜阳期末）如图，函数与的图象交于． （1）求出、的值； （2）求出的面积． 一十．一次函数的应用（共4小题） 13．（2023秋•宁国市期末）如图，，两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在，之间的地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回地，甲继续往地前行．甲到达地后停止骑行，乙骑行到达地时也停止（乙在地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是　　 ①甲的速度为米分； ②乙的速度为240米分； ③图中点的坐标为； ④乙到达地时，甲与地相距900米． A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 14．（2023秋•寿县期末）甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离中点的路程（千米）与甲车出发时间（时的关系图象如图所示，则下列说法：（1）、两地之间的距离为180千米；（2）乙车的速度为36千米时；（3）的值为3.75；（4）当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；其中正确的说法是 　　（把正确答案的序号全部写出来）． 15．（2021秋•霍邱县期末）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为　　分钟，小聪返回学校的速度为　　千米分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）求线段的函数关系式； （4）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 16．（2021秋•大观区校级期末）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植，两种蔬菜，若种植20亩种蔬菜和30亩种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩种蔬菜和20亩种蔬菜，共需投入34万元． （1）种植，两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利万元．设种植种蔬菜亩，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求种蔬菜的种植面积不能少于种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 一十一．一次函数综合题（共3小题） 17．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，点是直线上的一个动点，直线与轴、轴分别交于，两点，其中． （1）求的值； （2）当点在第一象限内运动时，试求的面积与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）当点运动到什么位置时，的面积是2？ 18．（岳西县期末）如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，如果线段两端点在坐标轴上滑动点在轴上，点在轴上），且． （1）当和全等时，求、两点的坐标； （2）是否存在经过第一、二、三象限的直线，使？如果存在，请求出直线的解析式；如果不存在，请说明理由． 19．（五河县期末）如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． （1）说明是的平分线； （2）求直线解析式． 一十二．三角形的面积（共1小题） 20．（裕安区校级期末）如图，已知：，，，求的面积． 一十三．三角形三边关系（共2小题） 21．（舒城县期末）若三个互不相等的数：5、3、能作为一个三角形的三边长，求的取值范围． 22．（马鞍山期末）如图所示，是内一点，连接、，试比较与的大小． 一十四．三角形内角和定理（共4小题） 23．（2021秋•巢湖市期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 24．（淮上区期末）如图，，点、分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）当（图，试求． （2）当、在射线、上任意移动时（不与点重合）（图，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出． 25．（肥西县期末）在中，，， （1）求、、的度数； （2）按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 26．（谯城区期末）已知：如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系　　； （2）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，利用（1）的结论，试求的度数； （3）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． 一十五．三角形的外角性质（共3小题） 27．（2022秋•东至县期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． 28．（瑶海区期末）如图所示，为内一点． （1）求证：； （2）若，平分，平分，求的度数． 29．（淮南期末）如图，在中，，外角，的平分线、相交于点，求的度数． 一十六．全等三角形的判定（共3小题） 30．（滁州期末）如图，，，．求证：． 31．（滁州期末）如图，，，点为的中点，点在边上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在边上由点向点匀速运动． （1）当点的运动速度与点的运动速度相同，经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 32．（淮南期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，为什么？ 一十七．全等三角形的判定与性质（共4小题） 33．（2022秋•凤阳县期末）如图，在△中，点，分别是，上一点，，，若，，则的长度可以是　　 A．2 B．7 C．16 D．17 34．（2023秋•瑶海区期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点， 求证：（1）； （2）． 35．（2021秋•弋江区期末）已知：如图，在中，，在中，，且，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 36．（2021秋•利辛县期末）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，△与△是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得△与△全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 一十八．全等三角形的应用（共2小题） 37．（桐城市期末）如图所示，传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确地落在河对岸的敌军阵地，将军站在河这岸，将帽檐压低，使视线沿着帽檐恰好落在河对岸的边线上，然后他向后退（保证、、在一条直线上），一直退到视线落在河这岸的边线上为止，这时，他后退的距离就等于河宽，这是为什么？请给予证明． 38．（宿松县期末）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且 ，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 39．（涡阳县期末）已知：如图，的角平分线、相交于点．求证：点在的平分线上． 40．（淮北期末）已知点到的两边、所在直线的距离相等，且 （1）如图1，若点在上，求证：． （2）如图2，若点在内部，求证：． （3）猜想，若点在的外部，成立吗？ 二十．线段垂直平分线的性质（共3小题） 41．（2020秋•霍邱县期末）如图，在中，线段、的垂直平分线与的交点分别为、． （1）若的周长是15，求的长； （2）若，求的度数． 42．（庐阳区期末）如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，点在上，点在的延长线上，，连接，．线段和在数量和位置上有什么关系？并说明理由． 43．（谯城区期末）在中，，垂直平分斜边，分别交、于、．若，求． 二十一．等腰三角形的性质（共4小题） 44．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形内，，，，，则　　． 45．（颍上县期末）如图，是等腰三角形，，分别是腰及延长线上的一点，且，连接交底于．求证． 46．（肥东县校级期末）如图，已知是等腰三角形底边上的一点，它到两腰、的距离分别为、，请指出当在什么位置时，，并加以证明． 47．（2021秋•思明区校级期末）（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 二十二．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 48．（淮南期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，证明：是等腰三角形． 49．（南陵县校级期末）如图，已知在中，，是边上的高线，交于点，试找出图中所有的等腰三角形除外），并对其中的一个等腰三角形加以说明． 解：等腰三角形有　　 我选择说明的等腰三角形是　 　 理由： 二十三．等边三角形的性质（共2小题） 50．（全椒县期末）如图，已知等边，、分别在、上，且，连接、交于点．求证：． 51．（马鞍山期末）如图，是等边三角形，，，相交于，与，求证：． 二十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 52．（桐城市期末）如图，已知是的边上的一点，，，是的中线． （1）若，求的值； （2）求证：是的平分线． 53．（五河县期末）如图，过等边△的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于． （1）求证：； （2）若△的边长为1，求的长． 二十五．命题与定理（共2小题） 54．（埇桥区期末）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 55．（瑶海区期末）如图，、、三点在同一直线上，（1），（2），（3）平分． 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明． 已知：　　 求证：　 　 证明： 二十六．轴对称的性质（共1小题） 56．（2022秋•寿县校级期末）如图，设点是内一个定点，分别画点关于、的对称点、，连接交于点，交于点，若，则的周长为多少？ 二十七．作图-轴对称变换（共3小题） 57．（2023秋•大通区期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 58．（长丰县期末）（1）请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：　　，　 　，　 　． （3）计算的面积． 59．（2021秋•镜湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）关于轴对称的（其中点，，分别对应点，，，不写画法） （2）将向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，则平移后点、、的对应的坐标分别是　　、　 　、　 　； （3）若在轴上存在点，使的值最大，则点的坐标为　 　． 二十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 60．（蚌埠期末）已知图中，分别表示正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别记为，（网格中最小的正方形的面积为一个单位面积），请你观察并回答问题． （1）求和的值； （2）请你在图中的网格上画一个面积为8个平方单位的轴对称图形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴60题（28个考点专练） 知识导图 一．坐标与图形性质（共1小题） 二．函数的图象（共1小题） 三．动点问题的函数图象（共1小题） 四．一次函数的性质（共1小题） 五．一次函数图象与几何变换（共1小题） 六．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 九．两条直线相交或平行问题（共3小题） 一十．一次函数的应用（共4小题） 一十一．一次函数综合题（共3小题） 一十二．三角形的面积（共1小题） 一十三．三角形三边关系（共2小题） 一十四．三角形内角和定理（共4小题） 一十五．三角形的外角性质（共3小题） 一十六．全等三角形的判定（共3小题） 一十七．全等三角形的判定与性质（共4小题） 一十八．全等三角形的应用（共2小题） 一十九．角平分线的性质（共2小题） 二十．线段垂直平分线的性质（共3小题） 二十一．等腰三角形的性质（共4小题） 二十二．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 二十三．等边三角形的性质（共2小题） 二十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 二十五．命题与定理（共2小题） 二十六．轴对称的性质（共1小题） 二十七．作图-轴对称变换（共3小题） 二十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 题型强化 一．坐标与图形性质（共1小题） 1．（埇桥区期末）在平面直角坐标系中（如图每格一个单位），描出下列各点，，，，，，，并依次将各点连接起来，观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段和轴有什么位置关系？点和点的坐标有什么特点？ 【分析】（1）在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个房子的图案，结合图案得出点在轴上，横坐标等于0； （2）根据图形可得平行于轴的两点、的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 【解答】解：（1）如图所示，图形像一个房子的图案， 由图可知点在轴上，横坐标等于0； （2）线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形． 二．函数的图象（共1小题） 2．（潜山市期末）早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程（米与时间（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为50米分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题： （1）在坐标轴两处的括号内填入适当的数据； （2）求小欣早晨上学需要的时间． 【分析】根据函数的图象就可以得到妈妈10分钟走了2500米，就可以得到妈妈的速度．妈妈以原速度返回并前往学校，因而回去的时间也是10分钟，因而与轴的括号内应填入20．根据小欣所走的路程等于妈妈在所用时间减去20分钟，这段时间所走的路程．根据这个相等关系列出方程，就可以求出时间． 【解答】解：（1）轴处填20，轴处填1250（4分）； （2）由图象可知，点的坐标为，说明妈妈骑车速度为250米分钟，并返回到家的时间为20分钟， 设小欣早晨上学时间为分钟，则妈妈到家后在处追到小欣的时间为分钟， 根据题意得：，（7分） 解得：，（9分） 答：小欣早晨上学时间为25分钟．（10分） 【点评】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 三．动点问题的函数图象（共1小题） 3．（2020秋•瑶海区期末）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，由题可知，当点从点运动到点，即从小变大时，也是先变小再变长，而的面积不变，又，即是先变大再变小，结合选项可得结论． 【解答】解：过点作于点，如图， 由题可知，当点从点运动到点，即从小变大时，也是先变小再变长， 而的面积不变，又，即是先变大再变小， 结合选项可知，选项是正确的； 故选：． 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，题中没有给任何的数据，需要通过变化趋势进行判断． 四．一次函数的性质（共1小题） 4．（安庆期末）已知一次函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，求这个一次函数的解析式． 【分析】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当时，随的增大而增大，把，；，代入一次函数的解析式，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当时，随的增大而减小，把，；，代入一次函数的解析式，运用待定系数法即可求出函数的解析式． 【解答】解：分两种情况： ①当时，把，；，代入一次函数的解析式， 得， 解得， 则这个函数的解析式是； ②当时，把，；，代入一次函数的解析式， 得， 解得， 则这个函数的解析式是． 故这个函数的解析式是或者． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，注意要分情况讨论． 五．一次函数图象与几何变换（共1小题） 5．（马鞍山期末）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度． （1）实验操作： 在平面直角坐标系中描出点从点出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中： 从点出发平移次数 可能到达的点的坐标 1次 ， 2次 3次 （2）观察发现： 任一次平移，点可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数　　的图象上；平移2次后在函数　 　的图象上由此我们知道，平移次后在函数　 　的图象上．（请填写相应的解析式） （3）探索运用： 点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点的坐标． 【分析】（1）根据点的平移特点描出每次平移后点的位置即可； （2）先根据点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可； （3）设点的坐标为，求出点的坐标，得出的取值范围，再根据点的坐标为正整数即可进行解答． 【解答】解：（1）如图所示： 从点出发平移次数 可能到达的点 的坐标 1次 2次 ，， 3次 ，，， （2）设过，点的函数解析式为：， 则， 解得， 故第一次平移后的函数解析式为：； 答案依次为：；；． （3）设点的坐标为，依题意，． 解这个方程组，得到点的坐标为． 平移的路径长为， ． ． 点的坐标为正整数， 是3的倍数，可以取39、42， 点的坐标为，． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 六．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 6．（濉溪县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线． （1）求该一次函数的解析式； （2）若点在该直线上，且在轴的下方，求的取值范围． 【分析】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率，设出解析式，将点坐标代入可得； （2）根据直线上的点在轴下方可得，解不等式可得的范围． 【解答】解：（1）一次函数的图象平行于直线，可设该一次函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 故一次函数解析式为：； （2）点在轴下方， ， 解得：． 【点评】本题主要考查一次函数解析式及图象上的点的坐标，待定系数法求出解析式是前提，根据点的位置确定函数值小于0． 7．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 【分析】（1）设直线的解析式为，将点、点分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的解析式； （2）设点的坐标为，根据三角形面积公式以及求出的横坐标，再代入直线即可求出的值，从而得到其坐标． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， 直线过点、点， ， 解得， 直线的解析式为． （2）设点的坐标为， ， ， 解得， ， 点的坐标是． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式． 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 8．（宿松县期末）如图，直线的解析式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线、交于点． （1）求； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出的解集． 【分析】（1）把点的坐标代入直线的解析式求出的值，即可得解； （2）根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）根据图象解答即可． 【解答】解：（1）点在直线上， ，， 点的坐标为； （2）点、在直线上， ， 解之得：， 直线的解析式为； （3）由图象可得的解集为． 【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与二元一次方程组的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用． 八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 9．（安庆期末）用图象法解二元一次方程组： 【分析】方程组的解实际就是方程中两个一次函数的交点，用作图法来求解方程的解，可先分别作出方程组中两个一次函数的图形，然后在坐标系中找出交点的坐标，横坐标就是的值，纵坐标就是的值． 【解答】解：可化为； 可化为； 在同一坐标系中画出一次函数的图象如图所示： 由图可知，两个图象的交点坐标为，所以方程组的解为． 【点评】本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与方程组之间的关系． 九．两条直线相交或平行问题（共3小题） 10．（2022秋•迎江区校级期末）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． （1）求的值及点、的坐标； （2）求的面积； （3）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【解答】解：（1）一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； （2）把点，一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； （3）点是轴上的一个动点，设， ， ， ， 或0， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键． 11．（寿县期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点沿路线运动． （1）求点的坐标，并回答当取何值时？ （2）求的面积； （3）当的面积是的面积的一半时，求出这时点的坐标． 【分析】（1）当函数图象相交时，，即，再解即可得到的值，再求出的值，进而可得点的坐标；当时，图象在直线的右侧，进而可得答案； （2）由直线求得的坐标，然后根据三角形面积即可求得； （3）根据题意求得的纵坐标，代入两直线解析式求得横坐标，即为符合题意的点的坐标． 【解答】解：（1）直线与直线相交于点， ，即，解得， ， 点的坐标为； 观察图象可得，当时，； （2）由直线可知，当时，， ， ； （3）的面积是的面积的一半， 的纵坐标为1， 点沿路线运动， 或，． 【点评】此题主要考查了两直线相交，一次函数与不等式的关系以及三角形面积等，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 12．（2023春•阜阳期末）如图，函数与的图象交于． （1）求出、的值； （2）求出的面积． 【分析】（1）先把代入即可得到的值，从而得到点坐标为，，然后把点坐标代入可计算出的值； （2）解方程确定，点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）与的图象交于． ， ， ，， ， ； （2）在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， 的面积． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线与直线平行，则；若直线与直线相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标． 一十．一次函数的应用（共4小题） 13．（2023秋•宁国市期末）如图，，两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在，之间的地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回地，甲继续往地前行．甲到达地后停止骑行，乙骑行到达地时也停止（乙在地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是　　 ①甲的速度为米分； ②乙的速度为240米分； ③图中点的坐标为； ④乙到达地时，甲与地相距900米． A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】根据题意和函数图象可以得到甲、乙的速度，从而可以求得点的坐标，乙到达地时，甲与地相距的路程． 【解答】解：由图象可得， 甲的速度为：（米分）， 乙的速度为：（米分）， 乙骑行到地时，甲骑车用的时间为：（米分）， 乙骑行到达地时，甲乙两人相距的路程（米，故点的坐标为； 故乙到达地时，甲与地相距的路程是：（米， 综上所述，①③④说法正确． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 14．（2023秋•寿县期末）甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离中点的路程（千米）与甲车出发时间（时的关系图象如图所示，则下列说法：（1）、两地之间的距离为180千米；（2）乙车的速度为36千米时；（3）的值为3.75；（4）当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；其中正确的说法是 　（1）（2）（3）　（把正确答案的序号全部写出来）． 【分析】根据相遇时甲、乙所走路程的比为，可设甲走了千米，那么乙走了千米，图中交点的坐标为，由图象可得：出发3小时，两车相遇．此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米，那么乙车所走路程甲车所走的路程，列出方程求解即可得到的值，进而算出的值即可得到（1）是否正确； 易得乙车的速度，计算后可得（2）是否正确； 易得甲车的速度，所求的表示甲车走完一半路程的时间，让90除以甲车的速度即可求得的值，即可判断出（3）是否正确； 让总路程180除以乙的速度可得乙走完全程的时间，根据甲的速度判断出此时甲走的路程，让总路程180减去甲走的路程即为离终点的路程，即可判断出（4）是否正确． 【解答】解：设相遇时甲走了千米，那么乙走了千米． 交点的坐标为， 出发3小时，两车相遇．此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米； ， 解得：． ． 、两地之间的距离为180千米． （1）正确； 乙车3小时走了千米， 乙车的速度（千米时）． （2）正确； 甲车3小时走了千米， 甲车的速度（千米时）． 甲车到达中点时的时间（小时）． ． （3）正确； 乙走完全程的时间（小时）， 甲此时走的路程为：（千米）． 此时距离终点（千米）． （4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据图象及题意得到交点的意义是解决本题的关键． 15．（2021秋•霍邱县期末）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为　15　分钟，小聪返回学校的速度为　　千米分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）求线段的函数关系式； （4）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解； （2）由图象可知，是的正比例函数，设所求函数的解析式为，把代入解析式利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可． 【解答】解：（1）（分钟），（千米分钟）， 小聪在图书馆查阅资料的时间为15分钟，小聪返回学校的速度为千米分钟． 故答案为：15；； （2）由图象可知，是的正比例函数， 设所求函数的解析式为， 代入， 得， 解得， 与的函数关系式； （3）设线段的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 线段的函数关系式为； （4）令， 解得， 当时，， 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（3）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式． 16．（2021秋•大观区校级期末）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植，两种蔬菜，若种植20亩种蔬菜和30亩种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩种蔬菜和20亩种蔬菜，共需投入34万元． （1）种植，两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利万元．设种植种蔬菜亩，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求种蔬菜的种植面积不能少于种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组问题可解； （2）用表示种植两种蔬菜的利润即可得到与之间函数关系式； （3）根据种蔬菜的种植面积不能少于种蔬菜种植面积的2倍得到的取值范围，讨论最大值． 【解答】解：（1）设种植，两种蔬菜，每亩各需分别投入，万元 根据题意得 解得 答：种植，两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6，0.8万元 （2）由题意得 （3）由（2） 解得 随的增大而减小 当时， 当种蔬菜100亩，种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元． 【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了二元二次方程组、不等式组、列一次函数关系式和根据自变量取值范围讨论函数最值． 一十一．一次函数综合题（共3小题） 17．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，点是直线上的一个动点，直线与轴、轴分别交于，两点，其中． （1）求的值； （2）当点在第一象限内运动时，试求的面积与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）当点运动到什么位置时，的面积是2？ 【分析】（1）先确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出； （2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式； （3）分两种情况考虑，利用三角形的面积求出点坐标． 【解答】解：（1）， ， 点在直线上， ， ； （2）由（1）知，， 直线解析式为， 点是第一象限内的直线上的一个动点， ， ； （3）如图， 由（2）知，， 的面积是2； ， ， 当点在轴下方时， ， ，此时， 即； 综上，点的位置为或． 【点评】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解本题的关键是求出点的坐标． 18．（岳西县期末）如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，如果线段两端点在坐标轴上滑动点在轴上，点在轴上），且． （1）当和全等时，求、两点的坐标； （2）是否存在经过第一、二、三象限的直线，使？如果存在，请求出直线的解析式；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）三角形和都是直角三角形，因此两直角边相等，那么两三角形就全等了，由此可知，，的值应该和，的值相等．由于可以在不同的象限，因此可分情况进行讨论； （2）那么线段应该在第二象限，只要让，，即，时，（可通过三角形全等得出角相等，然后根据相等角的转换得出垂直）．那么根据这两点的坐标用待定系数法即可得出函数的解析式． 【解答】解：（1）由题意，得，， 即，． ①当线段在第一象限时， 点，或，． ②当线段在第二象限时， 点，或，． ③当线段在第三象限时， 点，或，． ④当线段在第四象限时， 点，或， （2），． 直线的解析式为． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，熟练应用全等三角形的判定的知识是解答本题的关键． 19．（五河县期末）如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． （1）说明是的平分线； （2）求直线解析式． 【分析】（1）由，，为公共边，利用得出三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得证； （2）由（1）得到为角平分线，且为直角，得到，求出直线的斜率，即可确定出直线解析式． 【解答】解：（1）在和中， ， ， ， ，即为的平分线． （2），为平分线， ，即直线斜率为， 则直线解析式为． 【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，角平分线定义，直线斜率与倾斜角的关系，弄清题意是解本题的关键． 一十二．三角形的面积（共1小题） 20．（裕安区校级期末）如图，已知：，，，求的面积． 【分析】的面积无法直接求出，可由和的面积差间接得出． 【解答】解：由题意，得： ． 【点评】本题主要考查了点的坐标的意义和三角形面积的求法． 一十三．三角形三边关系（共2小题） 21．（舒城县期末）若三个互不相等的数：5、3、能作为一个三角形的三边长，求的取值范围． 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围． 【解答】解：三个互不相等的数：5、3、能作为一个三角形的三边长， ，且，，即且，． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 22．（马鞍山期末）如图所示，是内一点，连接、，试比较与的大小． 【分析】首先需要作辅助线（延长交于点，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在中，；在中，，即可得：． 【解答】解：如图， 延长交于点， 在中，； 在中，， ， ． 【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是作辅助线，将所求线段联系起来． 一十四．三角形内角和定理（共4小题） 23．（2021秋•巢湖市期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：是边上的高，， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 24．（淮上区期末）如图，，点、分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）当（图，试求． （2）当、在射线、上任意移动时（不与点重合）（图，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出． 【分析】（1）根据三角形的内角和是，可求，所以，又由平角定义，可求，所以，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求，度． （2）同理可证，度． 【解答】解：（1），， ． 是的平分线，是的平分线， ，． ， ． （2）不变化，． ， ，． 是的平分线，是的平分线， ，． ， ． 【点评】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题． 25．（肥西县期末）在中，，， （1）求、、的度数； （2）按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 【分析】（1）根据三角形的内角和定理列方程组，直接求、、的度数即可； （2）根据三角形按边分类属于不等边三角形，由于有一个直角，所以按角分类，属于直角三角形． 【解答】解：（1）根据题意得 解得：，，； （2）按边分类，属于不等边三角形； 按角分类，属于直角三角形． 【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想； ②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件． 26．（谯城区期末）已知：如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系　；　； （2）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，利用（1）的结论，试求的度数； （3）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）、、、所在的两个三角形中，有一对对顶角相等，根据三角形的内角和定理得出数量关系； （2）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数； （3）根据（2）中的方法，即可求得与、之间存在的数量关系． 【解答】解：（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：； 故答案为：； （2）由（1）可知，，① ，② 和的平分线和相交于点， ，， 由①②得：， 即， 又，， ， ； （3）与、之间存在的关系为． ，① ，② 和的平分线和相交于点， ，， 由①②得：， 即． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，考核了学生的阅读理解与知识的迁移能力．解决问题的关键是根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律，以及直接运用“8字形”中的角的规律解题． 一十五．三角形的外角性质（共3小题） 27．（2022秋•东至县期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． 【分析】（1）分是“邻三分线”、 是“邻三分线”两种情况，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【解答】解：（1）当是“邻三分线”时，， 则， 当是“邻三分线”时，， 则， 综上所述，的度数为或； （2）在中，， 则， 、分别是邻三分线和邻三分线， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． 28．（瑶海区期末）如图所示，为内一点． （1）求证：； （2）若，平分，平分，求的度数． 【分析】（1）根据延长交于，根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角解答即可； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）证明：延长交于， ，， ； （2）平分，平分， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和三角形内角和定理，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 29．（淮南期末）如图，在中，，外角，的平分线、相交于点，求的度数． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义表示出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：根据三角形的外角性质，，， 、分别是，的平分线， ， ， ， ， 在中，． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会利用整体思想解决问题，属于中考常考题型． 一十六．全等三角形的判定（共3小题） 30．（滁州期末）如图，，，．求证：． 【分析】求出，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：， ， ， 在和中 ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，． 31．（滁州期末）如图，，，点为的中点，点在边上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在边上由点向点匀速运动． （1）当点的运动速度与点的运动速度相同，经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【分析】（1）与全等，根据即可判断； （2）利用全等三角形的性质可知，，推出，推出点的运动速度； 【解答】解：（1）结论：，与全等 理由：时，，，，， ， ， 在和中， ， ． （2）由题意与全等， ， ，， ， 点的运动速度． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、行程问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 32．（淮南期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，为什么？ 【分析】证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，寻找这两个三角形全等的条件，利用全等三角形的性质，对应角相等． 【解答】解：由题意可知，，， ， ． ， 即平分． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；解答本题的关键是把要证明相等的两个角放到两个三角形中，怎么这两个三角形全等，借助两个三角形全等的性质． 一十七．全等三角形的判定与性质（共4小题） 33．（2022秋•凤阳县期末）如图，在△中，点，分别是，上一点，，，若，，则的长度可以是　　 A．2 B．7 C．16 D．17 【分析】通过构造等边△和等边△，得到△△ ，再证明△△ ，即可将线段、和集中到同一△中，根据三角形三边关系即可判断的长度取值范围． 【解答】解：如图，作等边△和等边△，连接，， 在等边△和等边△中，， ， ， 又，， △△， ，， ， 在△中，，， ， 在△中，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△中，， ， ， 选项，符合题意， 方法2：过点作，且，连接， ， △△， ， △是等腰三角形， ， ， ， △是等边三角形， ，， △中，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段、和通过全等转化在同一三角形中，再根据三角形三边关系即可判断的长度取值范围、 34．（2023秋•瑶海区期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点， 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）根据已知，利用判定，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到； （2）已知，，则，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到． 【解答】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． ． ，， ，， ， ． ． ②证明：，， ． ， 又平分， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 35．（2021秋•弋江区期末）已知：如图，在中，，在中，，且，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 【分析】（1）根据证明结论即可； （2）作于，作于．由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【解答】证明：（1）， ， 即， 在和中， ， ； （2）如图，作于，作于． 由， ，， ， ， 点在平分线上， 平分． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型． 36．（2021秋•利辛县期末）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，△与△是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得△与△全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用证得△△，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由△△，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可． 【解答】解：（1）当时，，， 又， 在△和△中， △△． ， ． ， 即线段与线段垂直． （2）①若△△， 则，， ， 解得 ； ②若△△， 则，， ， 解得 ； 综上所述，存在 或 使得△与△全等． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透． 一十八．全等三角形的应用（共2小题） 37．（桐城市期末）如图所示，传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确地落在河对岸的敌军阵地，将军站在河这岸，将帽檐压低，使视线沿着帽檐恰好落在河对岸的边线上，然后他向后退（保证、、在一条直线上），一直退到视线落在河这岸的边线上为止，这时，他后退的距离就等于河宽，这是为什么？请给予证明． 【分析】由题意知、、，据此证△可得答案． 【解答】解：根据题意， 在和△中 △ 他后退的距离就等于河宽 【点评】本题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 38．（宿松县期末）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且 ，探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【分析】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长、相交于点，然后与（2）同理可证． 【解答】解：（1），证明如下： 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点， ，， ， 又，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 39．（涡阳县期末）已知：如图，的角平分线、相交于点．求证：点在的平分线上． 【分析】过点作、、垂足分别为、、，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，同理可得，从而得到，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． 【解答】证明：如图，过点作、、垂足分别为、、， 平分，点在上， ， 同理，， ， 点在的平分线上． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 40．（淮北期末）已知点到的两边、所在直线的距离相等，且 （1）如图1，若点在上，求证：． （2）如图2，若点在内部，求证：． （3）猜想，若点在的外部，成立吗？ 【分析】（1）首先过点作于，作于，易证得，即可得，根据等角对等边的性质，即可证得； （2）首先过点作于，作于，易证得，然后又由，根据等边对等角的性质，易证得，根据等角对等边的性质，； （3）首先过点作于，作的延长线于点，易证得，然后又由，根据等边对等角的性质，易证得，根据等角对等边的性质，． 【解答】证明：（1）过点作于，作于， 则，， 在和中， ， ， ， （2）过点作于，于， 则，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）不一定成立． 证明：如图3，过点作于，作的延长线于点， 则，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图4，可知． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 二十．线段垂直平分线的性质（共3小题） 41．（2020秋•霍邱县期末）如图，在中，线段、的垂直平分线与的交点分别为、． （1）若的周长是15，求的长； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，即可得到，，再根据，即可得到； （2）根据三角形内角和定理，即可得到，再根据，，即可得出，进而得到． 【解答】解：（1）线段、的垂直平分线与的交点分别为、， ，， 的周长是15， ， ，即； （2）， 中，， 又，， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 42．（庐阳区期末）如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，点在上，点在的延长线上，，连接，．线段和在数量和位置上有什么关系？并说明理由． 【分析】连接，延长交于点，根据线段的垂直平分线的性质得到，求出，证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：，．理由如下： 连接，延长交于点． 点在线段的垂直平分线上， ， ． 在中，，， ， ， 为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ，即． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 43．（谯城区期末）在中，，垂直平分斜边，分别交、于、．若，求． 【分析】已知垂直平分斜边可求得，．易求出． 【解答】解：垂直平分斜边， ， ． ， ， ． ， ． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，注意角与角之间的转换． 二十一．等腰三角形的性质（共4小题） 44．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形内，，，，，则　　． 【分析】延长到连从而可证是等边三角形，就可解决问题． 【解答】解：延长到使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形． 45．（颍上县期末）如图，是等腰三角形，，分别是腰及延长线上的一点，且，连接交底于．求证． 【分析】过作交延长线于，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出，从而可得到，再根据判定，根据全等三角形的性质即可证得结论． 【解答】证明：过作交延长线于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中，， ， ． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 46．（肥东县校级期末）如图，已知是等腰三角形底边上的一点，它到两腰、的距离分别为、，请指出当在什么位置时，，并加以证明． 【分析】要判断符合条件的点的位置，可以先猜测是的中点，然后根据三线合一的性质或三角形全等来证明． 【解答】解：当点在的中点时，． 证明： 当时， ， ． 【点评】主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用三角形全等是证明线段相等的常用方法之一，要熟练掌握． 47．（2021秋•思明区校级期末）（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上． （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系． 【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）． （2）设，，过点的直线交边于．在中， ①若是顶角，如图1，则，． 而，此时只能有，即 即，即； ②若是底角， 第一种情况：如图2，当时，则，中，，． 由，得，此时有，即． 由，得，此时，即． 由，得，此时，即，为小于等于的任意锐角． 第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有， 从而，这与题设是最小角矛盾． 当是底角时，不成立． 综上，与之间的关系是：或或或，是小于的任意角 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求． 第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题． 二十二．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 48．（淮南期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，证明：是等腰三角形． 【分析】依题意可得，根据线段垂直平分线的性质可得，从而证得为等腰三角形． 【解答】证明：，， ． 垂直平分， ，，． ． ． 是等腰三角形． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定的有关知识，难度一般． 49．（南陵县校级期末）如图，已知在中，，是边上的高线，交于点，试找出图中所有的等腰三角形除外），并对其中的一个等腰三角形加以说明． 解：等腰三角形有　和　 我选择说明的等腰三角形是　 　 理由： 【分析】由是等腰三角形的底边上的高，，易得是等腰三角形，又由，易得是等腰三角形． 【解答】解：和， 理由：是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； ， ，， ， ， 是等腰三角形． 故答案为：和； 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 二十三．等边三角形的性质（共2小题） 50．（全椒县期末）如图，已知等边，、分别在、上，且，连接、交于点．求证：． 【分析】因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可； 【解答】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ； ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等． 51．（马鞍山期末）如图，是等边三角形，，，相交于，与，求证：． 【分析】根据等边三角形性质推出，，证，推出，根据三角形外角性质求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能运用性质求出的度数是解此题的关键． 二十四．等边三角形的判定与性质（共2小题） 52．（桐城市期末）如图，已知是的边上的一点，，，是的中线． （1）若，求的值； （2）求证：是的平分线． 【分析】（1）根据已知条件得到，于是得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）证明：延长到，使，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到于是得到结论． 【解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， 在与，， ， ， 是的平分线． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 53．（五河县期末）如图，过等边△的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于． （1）求证：； （2）若△的边长为1，求的长． 【分析】（1）过做的平行线至于，易证△是等边三角形，再证明△与△全等，得出结论； （2）利用△是等边三角形，，得出，再由△△，得出，由此得出与的关系解决问题． 【解答】（1）证明： 如图， 过做交于点， ，， △为等边三角形， ， ， △是等边三角形； ，， △△， ． （2）△是等边三角形， ， ， △△， ， ， ， ． 【点评】此题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点． 二十五．命题与定理（共2小题） 54．（埇桥区期末）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】已知：， 求证： 证明： 又 又 【点评】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明． 55．（瑶海区期末）如图，、、三点在同一直线上，（1），（2），（3）平分． 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明． 已知：　，　 求证：　 　 证明： 【分析】本题答案不唯一，可以用（1）和（2）作为已知条件，（3）作为结论，构造命题．再结合图形说明命题的真假． 【解答】解：命题：已知：，， 求证：平分． 证明：， ，． 又， ． 即平分． 故是真命题． 故答案为：，，平分． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 二十六．轴对称的性质（共1小题） 56．（2022秋•寿县校级期末）如图，设点是内一个定点，分别画点关于、的对称点、，连接交于点，交于点，若，则的周长为多少？ 【分析】因为点关于、的对称点、，所以：，，以此解答． 【解答】解：的周长为的长， 根据题意得：，， 的周长为：． 【点评】解答此题要明确轴对称的性质：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 二十七．作图-轴对称变换（共3小题） 57．（2023秋•大通区期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于轴的 对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△如图所示； （2），，； （3）的面积， ， ． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 58．（长丰县期末）（1）请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：　2，3　，　 　，　 　． （3）计算的面积． 【分析】（1）分别找出点、、关于轴的对应点、、，然后顺次连接即可得到△； （2）利用平面直角坐标系写出点的坐标即可； （3）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可． 【解答】解：（1）如图； （2），，；（3分） （3）， ， ． （2分） 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，找出对应点的位置是正确作图的关键，网格题求三角形的面积是通常都是利用三角形所在的矩形的面积减去四周小三角形的面积进行求解，需要熟练掌握． 59．（2021秋•镜湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）关于轴对称的（其中点，，分别对应点，，，不写画法） （2）将向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，则平移后点、、的对应的坐标分别是　　、　 　、　 　； （3）若在轴上存在点，使的值最大，则点的坐标为　 　． 【分析】（1）分别画出、、三点关于轴的对称点、、即可； （2）根据右加左减，上加下减的规律即可解决问题； （3）延长交轴于，点即为所求的点； 【解答】解：（1）如图所示； 将向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，则平移后点、、的对应的坐标分别是，， 故答案为，，． （3）延长交轴于，点即为所求的点，． 故答案为． 【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短问题、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二十八．利用轴对称设计图案（共1小题） 60．（蚌埠期末）已知图中，分别表示正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别记为，（网格中最小的正方形的面积为一个单位面积），请你观察并回答问题． （1）求和的值； （2）请你在图中的网格上画一个面积为8个平方单位的轴对称图形． 【分析】根据图形特点，数出格的个数即可． 【解答】解：（1）因为每个小方格的面积为1，，图形中的图形分别占18个格，22个格，故，； （2）提示：如果没有规律性认识，要找出具有“美感”的图案是比较困难的，适当的方法是：选择一些图形作为基本图形，通过基本图形的组合，找出解答，所列的7个图形可认为是基本图形． 【点评】此题考查的是面积一定求轴对称图形的方法，先确定图形应占的格数，再根据作轴对称图形的方法找出关键点连线即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$