第2章直线和圆的位置关系单元测试（培优提高卷）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

第2章直线和圆的位置关系单元测试（培优提高卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（2023·浙江台州·模拟预测）P为外一点，与相切于点T，，，则长为（    ） A． B．5 C．8 D．9 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 7．（2024·浙江·二模）如图，以为直径的与相切于点B，连结，分别交于点E，F，连结，记，，若，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 9．（2020九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知的半径是，若圆心O到直线的距离是，则直线与的位置关系是 ． 12．（2024·浙江嘉兴·三模）如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 18．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 19．（2023·江苏南通·一模）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，．    (1)求的度数； (2)若，计算图中阴影部分的面积． 20．（2024·浙江丽水·一模）小陈同学从市场上购买了如图的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形． (1)求正三角形一边的高线长； (2)这个托盘是否适用于该花盆?请判断并说明理由． 21．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）如图，以为直径作，过点作的切线，连接，交于点，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作. （1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）； （2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围. 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______． (2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为______ 24．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．    (1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章直线和圆的位置关系单元测试（培优提高卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．根据点到直线的距离与圆的半径大小作比较即可． 【详解】解：∵点到直线的距离为，且的半径为， ∴点到直线的距离等于的半径， ∴直线与的位置关系是相切， 故选：A． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内心及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形的内心是解题的关键；设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，然后可列方程组进行求解 【详解】解：设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，如图所示： 于是依题意有： ， 解得，即P为的内心， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据切线的判定即可得出位置关系． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形 为中点 是等腰的高 为的半径 是的切线 与直线的位置关系是相切． 故选：B． 5．（2023·浙江台州·模拟预测）P为外一点，与相切于点T，，，则长为（    ） A． B．5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键，方法一：根据含30度角的直角三角形的性质得到的值，根据勾股定理即可求解；方法二：在中，利用求解即可．． 【详解】解：根据切线的性质得到， 方法一：如图，∵与相切于点T， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 方法二：在中， ∵， ∴． 故选：A． 6．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【答案】A 【分析】连接，即可证得，即可证得是的切线，由此可得依据． 【详解】解：如图：连接， 作以为直径的圆，两圆交于点Q， ， 又是的半径， 是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练掌握和运用切线的判定定理是解决本题的关键． 7．（2024·浙江·二模）如图，以为直径的与相切于点B，连结，分别交于点E，F，连结，记，，若，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质等知识．连接，则，根据是直径，可得，再由切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：D． 8．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 9．（2020九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 10．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知的半径是，若圆心O到直线的距离是，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线与的位置关系即可解答，掌握判断直线与圆的位置关系的方法是解题关键． 【详解】解：已知的半径为，圆心O到直线的距离是， 即半径小于圆心到直线的距离， 故直线与的位置关系为相离， 故答案为：相离． 12．（2024·浙江嘉兴·三模）如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，进而根据点到圆的最小距离为，即可求解． 【详解】解：∵切于点 ， ∴， 在中， ∴ ∴点到的最小距离是， 故答案为：． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】此题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等边对等角， 根据切线的性质和等边对等角，逐项求解判断即可． 【详解】∵与相切于点 ∴只有当时，，故①不符合题意； ∵与相切于点 ∴，即 ∴， ∵ ∴ ∴，故②不符合题意； 如图所示，延长交于点D，连接 ∴是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故③符合题意． 综上所述，一定成立的是③． 故答案为：③． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了三角形的内心性质和分类讨论思想的运用．先确定点为的内心，则平分，，易得，利用三角形外角性质得，所以，然后分类讨论：当时，写出相等的对应角得到，，，于是在中，则可计算出，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得；当或时或时，利用同样的方法可判断为特殊的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如图， 、分别平分、， 点为的内心， 平分，， 是的外角的平分线， ， ， ， 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ； 当时，，，， 在中， ， ； 综上所述，的长为1或2或． 故答案为：1或2或 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，，连接交于点O，点O即为所求； （2）根据切线的定义，即可解答； （3）取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：取格点，，连接交于点O，点O即为所求， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O为圆心； （2）解：如图所示，即为所求， ∵， ∴为圆的切线； （3）解：取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求； ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， 即平分． 18．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【答案】(1)5 (2)115 【分析】本题考查了圆的切线长定理，切线的性质定理，圆内接四边形的性质，四边形的内角和定理 （1）根据切线长定理，得，结合的周长为10，得到，计算即可． （2）连接，在上取一点F，连接，利用圆周角定理，圆内解四边形的性质，切线的性质计算即可． 【详解】（1）根据切线长定理，得， ∵的周长为10， ∴，解得， 故答案为：5． （2）连接，在上取一点F，连接， ∵，分别和切于A，B两点； ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 故答案是：115． 19．（2023·江苏南通·一模）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，．    (1)求的度数； (2)若，计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题主要考查了切线的性质定理、切线长定理、不规则图形面积的计算等知识，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理是解题的关键． （1）连接，由切线的性质定理和切线长定理得到，，证明是等边三角形，即可得到答案； （2）求出的面积和扇形的面积，根据阴影的面积的面积扇形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵是的切线，A，B为切点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积=， ∴阴影的面积的面积扇形的面积． 20．（2024·浙江丽水·一模）小陈同学从市场上购买了如图的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形． (1)求正三角形一边的高线长； (2)这个托盘是否适用于该花盆?请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)这个托盘不适用该花盆，理由见解析． 【分析】（）过点作于，根据等边三线的性质及勾股定理即可求解； （）这个托盘不适用该花盆．设点为的内切圆的圆心，求出的内切圆的直径，跟花盆底部横截面的直径比较即可判断求解； 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等边三角形的内切圆，根据等边三角形的性质求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵为正三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴正三角形一边的高线长为； （2）解：这个托盘不适用该花盆，理由如下： 设点为的内切圆的圆心， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴内切圆的半径为， ∴内切圆的直径为 ∵花盆底部横截面的直径为， 又∵， ∴这个托盘不适用该花盆． 21．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）如图，以为直径作，过点作的切线，连接，交于点，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由切线的性质可得，再由直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵点是边的中点， ∴． ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，，， ∴，， 连接． ∵为直径作， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴．， ∵点是边的中点， ∴． ∴． 22．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作. （1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）； （2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r=． 【分析】（1）根据勾股定理得，从而得r=,进而即可得到答案； （2）分两种情况：①当与直线相切时，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，分别求出r的范围，即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∵的中点为点， ∴r=CM==, ∵2＜＜4， ∴点在内，在外， 故答案是：内，外； （2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB， ∵在Rt中，， ∴r=， ②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4． 综上所述：的取值范围：2＜r≤4或r=． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握当r=d时，点在圆上，当r＜d时，点在圆外，当r＞d时，点在圆内，是解题的关键． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______． (2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为______ 【答案】(1)2 (2)①见解析 ② 【分析】（1）本题利用勾股定理，求出的长度，即可解题． （2）①本题因为的外接圆圆心在，且过的顶点，要证的外接圆是的边上的伴随圆， 即证与的外接圆相切，连接、，通过证明，结合题干的条件得到，推出，利用全等的性质得到，即可解题． ②本题通过相似三角形和勾股定理求得，结合，其锐角三角函数也相等，得出线段、，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， 为圆的直径． 边上的伴随圆的半径为2． 故答案为：2． （2）①证明：如图连接、， 为直角三角形， 的外接圆圆心在中点上， 设的半径为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， 是的切线． 的外接圆是某一条边上的伴随圆； ②如图设圆的半径为， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查题干概念伴随圆的理解、勾股定理的运用、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数和切线的判定，解题的关键在于对概念的理解和对性质的灵活运用． 24．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．    (1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，求得，于是得到结论； （2）①连接，作于M，于N．证明，，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）①如图2，连接，作于M，于N．    ∵于点， ∴ ∵是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$