专题1.2锐角三角函数的应用大题培优（六大类型提分练）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题1.2锐角三角函数的应用大题培优（六大类型提分练） 目录 类型一、锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 1 类型二、锐角三角函数的应用：方向角问题 2 类型三、锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 2 类型四、锐角三角函数与生活应用 3 类型五、锐角三角函数的应用探究问题 4 类型六、锐角三角函数与项目化设计问题 5 压轴能力测评（精选浙江地区大题24道） 6 类型一、锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 1．（2024·浙江杭州·二模）始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 2．（2024·浙江温州·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点 A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为6，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在 P 处时离地面的高度．（参考数据：，） 类型二、锐角三角函数的应用：方向角问题 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，一艘船沿正东方向航行，在点A处测得岛C在北偏东方向，行驶海里后，船行到点B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，有无触礁的危险？（参考数据：，，） 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？ (2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号） 类型三、锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 5．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为的斜坡走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为，建筑物顶部A的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）． (1)求点F到山脚C的水平距离； (2)求建筑物的的高度；（精确到，参考数据，，，，） 类型四、锐角三角函数与生活应用 7．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 8．（2024九年级上·浙江·专题练习）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 类型五、锐角三角函数的应用探究问题 9．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． （1）计算C，D两点的垂直高度差． （2）求顶点A到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为． （3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 类型六、锐角三角函数与项目化设计问题 10．（2024九年级下·浙江宁波·专题练习） 教学实践活动：901班测量天封塔高度实践的相关数据 活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为，则 ． 活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为 ．（参考数据：，，，，精确到个位） 总结与优化 老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高． 11．（22-23八年级下·浙江温州·期中） 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 压轴能力测评（精选浙江地区大题24道） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，求： (1)的长度（结果精确到米）． (2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，） 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，从点看向点，测得仰角为，求隧道长．，，． 3．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图①是一种智能洗地机的示意图，其结构可以抽象成图②的实线部分，线段表示滚刷盒，线段表示手柄，，．工作时，滚刷盒贴地清洗吸尘，手柄可绕点上下转动，但根据使用说明要求，当时，才能正常工作． (1)当时，求手柄顶端离地面的高度．（保留准确值） (2)当时，求手柄顶端离地面的高度（精确到）．小甬妈平日使用时，手柄顶端离地面高，问是否符合正常使用要求？ (3)一长方形餐桌高为，宽为，餐桌下地面需清洗，洗地机垂直于桌面长边进入桌面下地面，如图③．按使用说明要求，洗地机能否完全清扫桌面正下方的区域（），即滚刷盒的点能否到达点处？请通过计算说明（精确到）． （参考数据：，，） 5．（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 6．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图①，已知“欢迎光临”两个固定扣之间的距离 ，将该门挂偏斜放置时，测得挂绳的一段 ，另一段 . 如图②，将该门挂扶“正”（即 ），求图②中 的度数． （参考数据：） 7．（2024·浙江台州·模拟预测）在某次春日研学活动中，学校组织同学们参观了一颗千年古树，小明站在与树相距远的C处测得在此处观测树顶A的仰角为，若小明同学的眼睛距离地面，请帮助小明估开该树的高度？（参考：） 8．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如表是小天填写的实践活动报告的部分内容：根据表格条件，求出树高，（结果精确到米）（参考数据：，，） 题目 测量树顶端到地面的高度 测量目标 相关数据 ， 9．（2024·浙江·模拟预测）如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）某城市准备制作一批新的公交车候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后，设计师画了一幅侧面示意图，为水平线段，于点，米，，． (1)求，． (2)求的长． 11．（2024·浙江·模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．思思买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点，，在同一条直线上，且．      (1)求下管的长； (2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到，参考数据，，） 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，道路旁的一处测速仪A 到道路BC的距离为，检测角，线段为监测范围． 已知与道路的夹角为． (1)求监测范围的长． (2)如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过段的时间为秒，请你判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据： 13．（2022·江苏泰州·二模）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 14．（2024·浙江·模拟预测）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝．图2是其示意图，已知两条侧翼的长均为，夹角为，平分，求两点间的距离．（参考数据：，，） 15．（2024·浙江·模拟预测）如图是水槽水龙头（图1）的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中．测得，． (1)求点F离水槽底的高度． (2)若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在下面），水不会溅出．当手与水柱交点P离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：） 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 17．（2024·浙江·模拟预测）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 18．（2024·浙江杭州·模拟预测）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高为，始终与平台l垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点B，C是转动点，与始终在同一平面内．    图1                       图2 (1)转动连杆，机械臂，当张角且时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离是多少？ 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）浙江旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图（1）景区内修建观光索道．设计示意图如图（2）所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，A，B两处的水平距离为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 20．（2024·浙江嘉兴·三模）引体向上是同学们熟知的体育项目．如图，是曹同学在拉引体向上前的准备姿势，手臂自然伸直，，为两个手握单杠点，肩宽 ，，手臂长 ，手臂与单杠夹角． (1)求手握单杠点的距离（即线段的长）； (2)曹同学调整手握单杠点的距离，此时手臂与单杠夹角为，求调整前后肩宽竖直移动的距离． （结果精确到0.1，参考数据，，，，，） 21．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 22．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度 【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小． 【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小． 【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的字母表示）． 【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 23．（2024·山西吕梁·模拟预测）我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）：    课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示鹳雀楼，测角仪的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 的度数 的度数 A，B之间的距离 (1)任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是________m． (2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 24．（2024·浙江台州·模拟预测）根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1    素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端A到的距离为3米，与水平面的夹角为．    解决问题 任务1 确定材料宽度 求的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为2米，求遮阳篷靠墙端离地高的长． （结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2锐角三角函数的应用大题培优（六大类型提分练） 目录 压轴题讲练 1 类型一、锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 1 类型二、锐角三角函数的应用：方向角问题 3 类型三、锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 6 类型四、锐角三角函数与生活应用 9 类型五、锐角三角函数的应用探究问题 12 类型六、锐角三角函数与项目化设计问题 14 压轴题能力测评 18 压轴能力测评（精选浙江地区大题24道） 18 类型一、锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 1．（2024·浙江杭州·二模）始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点E，设，在中，求出，在中，得出，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， 由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴铁塔的高度约为． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点 A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为6，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在 P 处时离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】P 离地面米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的性质和判定，设P 离地面米，延长于点，延长于点，易得四边形为矩形，根据题意可得，再代入数据求解即可． 【详解】解：设P离地面米， 如图，延长于点，延长于点， ∴四边形为矩形， ， ，，， 则有：， 即， 解得：， P 离地面米． 类型二、锐角三角函数的应用：方向角问题 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，一艘船沿正东方向航行，在点A处测得岛C在北偏东方向，行驶海里后，船行到点B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围海里内有暗礁． (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，有无触礁的危险？（参考数据：，，） 【答案】(1)渔船继续向东航行，有触礁危险 (2)如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，过点C作交延长线于D，设海里，先解得到海里，再解得到海里，进而建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点C作于E，解，得到海里，再解，得到海里，由，则如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D， 由题意得，海里， 设海里， ∴中，海里， 中，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴渔船继续向东航行，有触礁危险； （2）解：如图所示，过点C作于E， 在中，海里， 在中，， ∴海里， ∵， ∴如果渔船在B处改为东偏南方向航行，无触礁的危险． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？ (2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号） 【答案】(1)小时 (2) 【分析】（1）过作于点，作交于点，结合题意和三角形的内角和定理求得，，，根据直角三角形中两锐角互余和等角对等边可得，根据甲船的速度和勾股定理求得千米，根据含角的直角三角形的性质可求得的长，根据乙船的速度即可求解； （2）根据勾股定理求得和的长，根据（1）中的结果即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点，作交于点，    ∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处， ∴（千米）； 在中，， ∴（千米）， ∴（千米）， ∵，， ∴（千米）， 且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进， 故甲船从处追赶上乙船的时间是：（小时）． （2）解：在中，， ∴（千米）， 故甲船追赶乙船的速度是（千米/小时）． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形中两锐角互余，等角对等边，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型三、锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 5．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 6．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为的斜坡走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为，建筑物顶部A的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）． (1)求点F到山脚C的水平距离； (2)求建筑物的的高度；（精确到，参考数据，，，，） 【答案】(1)55米 (2)米 【分析】（1）过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F，根据题意可得米，，先由斜坡的坡度为，设米，米，从而利用勾股定理求出，再根据米，求出x的值，从而求出，的长，进行计算即可解答； （2）延长交的延长线于点M，延长交的延长线于点N，根据题意可得米，，先米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义，列出关于x的方程，即可求出x的值，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F， 则米，， ∵斜坡DE的坡度为， ∴， ∴设米，米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴（米），（米）， ∵米， ∴米）， ∴点F到山脚C的水平距离为55米； （2）延长交的延长线于点M，延长交的延长线于点N， 则米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴建筑物的的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 类型四、锐角三角函数与生活应用 7．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 8．（2024九年级上·浙江·专题练习）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答； （2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图； 在中，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ； （2）解：轿车不能驶入小区，理由如下： 当时，，， ， ， 在中，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形，长3米， ∴， ， ， 轿车不能驶入小区． 类型五、锐角三角函数的应用探究问题 9．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． （1）计算C，D两点的垂直高度差． （2）求顶点A到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为． （3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】（1）C，D两点的垂直高度差；（2）顶点A到水平地面的垂直高度；（3）若选择小组一：旗杆的高度为；若选择小组二：旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义． （1）作交于点H，根据斜坡的坡比为，，求出，即可； （2）延长DG交于M，延长交延长线于N，根据的正切值为2，仰角的正切值为，得出，，设，则，，，得出，求出a的值即可得出答案； （3）根据测出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可． 【详解】解：（1）作交于点H， 斜坡的坡比为， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 解得： ，， C，D两点的垂直高度差； （2）延长DG交于M，延长交延长线于N， ∵的正切值为2，仰角的正切值为， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，，， ， 解得， ，，， 顶点A到水平地面的垂直高度； （3）小组一：∵的正切值为， ∴， ∵， ， ； 小组二：∵的正切值为， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 类型六、锐角三角函数与项目化设计问题 10．（2024九年级下·浙江宁波·专题练习） 教学实践活动：901班测量天封塔高度实践的相关数据 活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为，则 ． 活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为 ．（参考数据：，，，，精确到个位） 总结与优化 老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高． 【答案】活动1：；活动2：塔的高度大约为50米；总结与优化：天封塔的高度为52米 【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质， 活动1：过点作于点，则．结合题意得，即有，那么； 活动2：设塔的高度为米，在中，利用得，则．在中，利用即可求得塔的高度； 总结与优化：可证，有，解得．求得．进一步证明，有，即可求得． 【详解】解：活动1：过点作于点，如图， ， ． ， ． ， ， ， ． 活动2：设塔的高度为米， 在中，， ， ． ， ． 在中，， ， ， 解得，即塔的高度大约为50米． 总结与优化：，， ． ， ， ． ，，， ，解得：． ， ． ，， ． ， ， ， 即，解得：， 天封塔的高度为52米． 11．（22-23八年级下·浙江温州·期中） 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 【答案】任务一：米，米 任务二：1平方米，平方米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形和三角形的面积计算公式，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡比的概念． 任务一：①根据坡比的概念和勾股定理即可求解；②作于点，根据坡比的概念和勾股定理即可求解； 任务二：过作于点，于点，交延长线于点，交于点，求出等腰梯形的上底即可得出结论；将土撑梯形转化为即可． 【详解】[任务一] ①由题意得，，， ， （米）； ②如图，作于点， 由题意得，， ， （米）． [任务二] 如图，过作于点，过E作于点M，于点，交延长线于点，交于点， 由题意得，，，， 点落在BC上， ， ，， ， （）， 在梯形中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， （）． 压轴能力测评（精选浙江地区大题24道） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，求： (1)的长度（结果精确到米）． (2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，） 【答案】(1)的长度约为米； (2)铁架垂直管的长度约为米． 【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出； （）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ∴米， 在中，米，， 则（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：在中，米，， 则（米）， 在中，米，， 则（米）， ∴（米， 答：铁架垂直管的长度约为米． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，从点看向点，测得仰角为，求隧道长．，，． 【答案】隧道长为350米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．作于，在中，解直角三角形求得，得到，据此计算即可得到结论． 【详解】解：由题意，在中，， ∴米， 作于，则四边形是矩形， 则米，， 在中，， 米， （米）， ∴（米）， 答：隧道长为350米． 3．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． (1)如图，当，时，求视线距离的长； (2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 【答案】(1)视线距离的长为； (2)需要将支架调整到． 【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解； （）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解； 本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，连接，延长交于点， 根据题意可得四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴视线距离的长为； （2）如图，连接，延长交于点， 由题意可得：，，，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴需要将支架调整到． 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图①是一种智能洗地机的示意图，其结构可以抽象成图②的实线部分，线段表示滚刷盒，线段表示手柄，，．工作时，滚刷盒贴地清洗吸尘，手柄可绕点上下转动，但根据使用说明要求，当时，才能正常工作． (1)当时，求手柄顶端离地面的高度．（保留准确值） (2)当时，求手柄顶端离地面的高度（精确到）．小甬妈平日使用时，手柄顶端离地面高，问是否符合正常使用要求？ (3)一长方形餐桌高为，宽为，餐桌下地面需清洗，洗地机垂直于桌面长边进入桌面下地面，如图③．按使用说明要求，洗地机能否完全清扫桌面正下方的区域（），即滚刷盒的点能否到达点处？请通过计算说明（精确到）． （参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)符合正常使用要求； (3)洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域（） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用， （1）根据题意可知，则； （2）根据题意可知，则，结合，即可判定符合正常使用要求． （3）根据题意可知，，则，求得，即可判定洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域． 【详解】（1）解：当时，， 则． （2）解：如图， 当时，， 则． ， 符合正常使用要求． （3）解：如图， 当时，，， 此时，， 则， 所以洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域（）． 5．（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距 的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 6．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图①，已知“欢迎光临”两个固定扣之间的距离 ，将该门挂偏斜放置时，测得挂绳的一段 ，另一段 . 如图②，将该门挂扶“正”（即 ），求图②中 的度数． （参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法；过点 作 于点 ，在 中，根据即可求解． 【详解】解：由题意，得 图②中的 过点 作 于点 ，则 在 中， 7．（2024·浙江台州·模拟预测）在某次春日研学活动中，学校组织同学们参观了一颗千年古树，小明站在与树相距远的C处测得在此处观测树顶A的仰角为，若小明同学的眼睛距离地面，请帮助小明估开该树的高度？（参考：） 【答案】该树的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过小明同学的眼睛点E作， 由题意得，，． 在直角三角形中， ． 答：该树的高度约为． 8．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如表是小天填写的实践活动报告的部分内容：根据表格条件，求出树高，（结果精确到米）（参考数据：，，） 题目 测量树顶端到地面的高度 测量目标 相关数据 ， 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解分式方程，解题的关键是利用方程求出的值，属于中考常考题型． 设，先根据，求出的值，再代入即可． 【详解】设 ，在中， ， ， ， 在中，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 9．（2024·浙江·模拟预测）如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点E，解，得到，故； （2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ∵在中，， ∴， ， 由题意得，， ∴点D距离地面的距离与相等，即为； （2）解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设， 由题意得，四边形，为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 由题意得，, ∴， ∴， 解得， 答：的长约为． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）某城市准备制作一批新的公交车候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后，设计师画了一幅侧面示意图，为水平线段，于点，米，，． (1)求，． (2)求的长． 【答案】(1)， (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出的长，进而利用锐角三角函数的定义可求出的值，同理可求出的值，即可解答； （2）设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 在中，， 设，则， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ，； （2）解：设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， 解得：， （米， 的长为米． 11．（2024·浙江·模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．思思买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点，，在同一条直线上，且．      (1)求下管的长； (2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1)下管的长为； (2)座垫离地面的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ， 下管的长为； （2）解：过点作，垂足为，   ，， ， 在中，， ， 座垫离地面的距离， 座垫离地面的距离约为． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，道路旁的一处测速仪A 到道路BC的距离为，检测角，线段为监测范围． 已知与道路的夹角为． (1)求监测范围的长． (2)如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过段的时间为秒，请你判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据： 【答案】(1) (2)该汽车没有超速．理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点A作于点D，则，则，由得到，则，得到； （2）计算出该车在此段的速度比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：过点A作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ （2）解：该汽车没有超速．理由如下： 由题意得，（米/秒）（千米/时）， ∵， ∴该汽车没有超速． 13．（2022·江苏泰州·二模）图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高．（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得到答案； （2）利用求出，根据分别求出和，即可得到答案 【详解】（1）解：在中，， 则 ， 答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， 答：此运动员的身高约为． 14．（2024·浙江·模拟预测）某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝．图2是其示意图，已知两条侧翼的长均为，夹角为，平分，求两点间的距离．（参考数据：，，） 【答案】两点间的距离约为 【分析】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”，解直角三角形的运用，根据，平分，可得，，在中，根据，可得的值，由此即可求解，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点． ，平分，， ，，， 在中，， ， ． 答：两点间的距离约为． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图是水槽水龙头（图1）的侧面平面示意图，矩形为水槽侧面，有，在水槽边上方安装水管，水龙头，其中．测得，． (1)求点F离水槽底的高度． (2)若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在下面），水不会溅出．当手与水柱交点P离水槽壁的距离为，洗手时水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：） 【答案】(1) (2)水不会溅出,见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，（1）过点E作，证明四边形是矩形，可得，，利用锐角三角函数求得，再利用求解即可； （2）求得，，作交于点L，，则，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：水不会溅出 由（1）可得，，， 在中，， ∴， 作交于点L，， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴水不会溅出． 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】任务1：点离底板的距离约为；任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形的外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1：过作于，过作于，过作于，在中，解直角三角形得出的长，在中，解直角三角形得出的长，从而得出的长，即可得出答案； 任务2：延长交于，过作于，利用正弦的定义得出的度数，结合平行线的性质以及三角形外角的定义及性质得出的度数，即可得解． 【详解】解：任务1：如图①，过作于，过作于，过作于， 在中，． 在中，， ， 即点离底板的距离约为． 任务2：如图②，延长交于，过作于， 在中，，． ， ， ， 不符合陈老师的工作习惯． 17．（2024·浙江·模拟预测）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 【答案】(1)①；② (2)雨棚AB外沿需要加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内 【分析】（1）①根据“挡雨板（曲面的面积可以近似为线段与线段长的乘积”确定出的长即可； ②利用扇形的弧长公式求出的弧长，进而计算即可； （2）根据，，可得，根据，可以判断出下雨时，雨滴会打进窗内，设雨棚外沿加长m，若使雨滴不会打进窗内，即：，从而列出含的不等式解答即可． 【详解】（1）解：①，， 是直角三角形， ， 挡雨板的面积为：； ②由题意得：扇形的圆心角为， 的弧长为：， 挡雨板的面积为：； （2）解：如图，雨滴按照下落，与相交于点， ，， ， ， 下雨时，雨滴会打进窗内， 设雨棚外沿加长m，即：， 若使雨滴不会打进窗内，即：， ， ， 雨棚外沿加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，直角三角形的判定，弧长公式，角的直角三角形的性质，熟练掌握模型思想是解答本题的关键． 18．（2024·浙江杭州·模拟预测）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高为，始终与平台l垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点B，C是转动点，与始终在同一平面内．    图1                       图2 (1)转动连杆，机械臂，当张角且时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作，垂足为F，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，计算即可解答． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交l于点E，如图，    则， ∵， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， ∴机械臂臂端D到操作台l的距离为； （2）解：当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，如图：    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴物体M离底座A的最远距离为 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）浙江旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图（1）景区内修建观光索道．设计示意图如图（2）所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，A，B两处的水平距离为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）过E作于F，在中解直角三角形即可； （2）延长交于H，证明四边形是矩形得到，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中，，，， ∴； （2）解：延长交于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴ ∴， 则． 20．（2024·浙江嘉兴·三模）引体向上是同学们熟知的体育项目．如图，是曹同学在拉引体向上前的准备姿势，手臂自然伸直，，为两个手握单杠点，肩宽 ，，手臂长 ，手臂与单杠夹角． (1)求手握单杠点的距离（即线段的长）； (2)曹同学调整手握单杠点的距离，此时手臂与单杠夹角为，求调整前后肩宽竖直移动的距离． （结果精确到0.1，参考数据，，，，，） 【答案】(1)60.5 (2)1.8 【分析】本题主要考查了解三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）分别过点，作的垂线，交于，，可证明，进而可得，，在中，利用三角函数解得的值，易知 ，然后由即可求解； （2）在中，先解得 ，调整后，再利用三角形函数计算出的值，然后由求解即可． 【详解】（1）解：如图1，分别过点，作的垂线，交于，，     图1 ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ，， ∴， ∴，， 在中， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图1，在中， ， 调整后，如图2，     图2 ∴ ， ∴肩宽向下移动距离为 ． 21．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 22．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度 【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小． 【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小． 【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的字母表示）． 【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】【数学证明】见解析；【理论设计】；【实践操作】旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数进行线段的转换是解题的关键． （1）利用矩形的性质，进行角度的转换，即可解答； （2）利用三角函数表示出，可得，即可解答； （3）设，利用三角函数，列方程，即可求得，即可解答． 【详解】解：（1）由题意可得， 四边形是矩形， ， 由题意可得， ； （2）， ， ， 四边形是矩形 ； （3）设， ， ， ， ，即 解得 ， 答：旗杆的高度约为． 23．（2024·山西吕梁·模拟预测）我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）：    课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示鹳雀楼，测角仪的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 的度数 的度数 A，B之间的距离 (1)任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是________m． (2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）由平均数的计算方法可求解； （2）由锐角三角函数可求，，由列出方程并解方程即可求解． 【详解】（1）任务一：三次测量A，B之间的距离的平均值是， 故答案为：； （2）由题意可得四边形和四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 同理：， ∵， ∴， 又∵，，，，， ∴， ∴， ∴（m）， 答：鹳雀楼的高度约为． 24．（2024·浙江台州·模拟预测）根据以下素材解决问题． 如何安装遮阳棚？ 素材1 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图1    素材2 在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，计划安装遮阳篷的外端A到的距离为3米，与水平面的夹角为．    解决问题 任务1 确定材料宽度 求的长； 任务2 探究安装高度 当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为2米，求遮阳篷靠墙端离地高的长． （结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，） 【答案】任务1：米；任务2：米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 任务1：作于，根据余弦的定义求出即可； 任务2：如图，作于，则四边形为矩形，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：任务1：如图，作于， 在中，米，， ∵， ∴（米）； 任务2：如图，作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， 在中，米，， ∵， ∴（米）， ∴（米）， ∴遮阳篷靠墙端离地高的长约为米． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$