专题1.1锐角三角函数与几何的计算与证明（十一大类型提分练）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题1.1锐角三角函数与几何的计算与证明（十一大类型提分练） 目录 类型一、正弦与几何的有关计算与证明 1 类型二、已知正弦求线段的长 2 类型三、余弦与几何的有关计算与证明 2 类型四、已知余弦求线段的长 2 类型五、正切与几何的计算与证明 3 类型六、已知正切求线段的长 3 类型七、锐角三角函数的有关作图 4 类型八、锐角三角函数与圆的有关计算 4 类型九、锐角三角函数与几何动点问题 5 类型十、锐角三角函数与几何类比探究问题 6 类型十一、锐角三角函数与圆的综合压轴问题 7 压轴能力测评（浙江地区精选23道解答） 8 类型一、正弦与几何的有关计算与证明 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，已知.    (1)求证：； (2)求． 类型二、已知正弦求线段的长 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 类型三、余弦与几何的有关计算与证明 3．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接． (1)求证：； (2)若，则         ； (3)设，，求m与k满足的关系式． 类型四、已知余弦求线段的长 4．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°． (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)当EF＝2，cos∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长． 类型五、正切与几何的计算与证明 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形中，为上一点，过E作交于点F，连接． (1)求证：； (2)当时，求的值． 类型六、已知正切求线段的长 6．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是上的一点，延长至，使，连接、． (1)当时，求证：四边形是平行四边形． (2)在（1）的条件下，过作交于，连接，若，，，求的长． 类型七、锐角三角函数的有关作图 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的边上的中线． (2)在图②中的边上确定一点，使． (3)在图③中的边上确定一点，使． 类型八、锐角三角函数与圆的有关计算 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）四边形内接于，为的中点，交于点，于点．已知，． (1)求弦的长． (2)若，求四边形的面积． 类型九、锐角三角函数与几何动点问题 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 类型十、锐角三角函数与几何类比探究问题 10．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 类型十一、锐角三角函数与圆的综合压轴问题 11．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是半圆的直径，点，是半圆上的点，且，连结交于点． (1)若，求的长． (2)如图2，连接，，，若，求的正弦值． (3)如图3，连接，作交于点，连接．求证：． 压轴能力测评（浙江地区精选23道解答） 1．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若． (1)__________； (2)求菱形的面积； (3)当时，求的值； (4)当时，求的长． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，，D是边上一点，过点D作交于点F，E为上任意一点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，且平分，求的值． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 5．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．（2024·浙江丽水·二模）已知，点D为内一点， 【复习】如图1，于点B，于点C，直接写出和的数量关系； 【运用】将图1中的绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断和的数量关系并证明； 【拓展】改变图2中点D的位置，保持的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示并说明理由． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D，交于E，连接 (1)证明； (2)若，，求的值． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，， ，过点作于点．    (1)求的长； (2)若点是边的中点，连结，求的值． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D． (1)求证：； (2)已知半径为r，设，求x与y的关系式； (3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图在中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆分别交于点，连结． (1)求证：． (2)当时，求： ①； ②的值． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：等腰三角形中，，是锐角，且． (1)求； (2)若，求的长． 12．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，，相交于E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 13．（2015·山东潍坊·一模）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．    (1)若与相似，求t的值； (2)连接、，若，求t的值． 14．（2024·浙江宁波·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）    (1)请在图1中画出的高，计算得__________． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 15．（2023·广东河源·二模）如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． (1)求证：； (2)设，若，求的值． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 17．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线分别与，的延长线交于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ，，求的长． 18．（2023·浙江杭州·三模）如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的正弦值． 19．（2023·浙江湖州·一模）（1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值； （2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度（点E在的内部），如图2，连接，求的值； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，如图3，求的值． 20．（2023·浙江杭州·一模）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和． (1)求证：； (2)过点E作交于点M，垂足为点N． ①判断的形状，并说明理由； ②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证： 21．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 22．（22-23九年级上·上海·期中）在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的正弦值． 23．（2022·浙江衢州·一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是AB边上的动点，折叠纸片使点D与点E重合，折痕为FG，DC的对应边EC交BC于点H． (1)如图1，当点E是AB的中点时，求AF的长. (2)设AE的长为x，四边形CDFG面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最小值. (3)如图2，过点D作EC的垂线，垂足为M，DM交FG于点N，当△BHE与△MNE的周长之差为2时，求∠EHB的正弦． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1锐角三角函数与几何的计算与证明（十一大类型提分练） 目录 类型一、正弦与几何的有关计算与证明 1 类型二、已知正弦求线段的长 2 类型三、余弦与几何的有关计算与证明 3 类型四、已知余弦求线段的长 4 类型五、正切与几何的计算与证明 6 类型六、已知正切求线段的长 7 类型七、锐角三角函数的有关作图 8 类型八、锐角三角函数与圆的有关计算 9 类型九、锐角三角函数与几何动点问题 11 类型十、锐角三角函数与几何类比探究问题 14 类型十一、锐角三角函数与圆的综合压轴问题 16 压轴能力测评（浙江地区精选23道解答） 19 专题1.1锐角三角函数与几何的计算与证明（十一大类型提分练） 类型一、正弦与几何的有关计算与证明 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，已知.    (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，推出，再根据角平分线性质得出，推出，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）由平行线得出，由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD=DE是解题的关键． 类型二、已知正弦求线段的长 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键． 类型三、余弦与几何的有关计算与证明 3．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接． (1)求证：； (2)若，则         ； (3)设，，求m与k满足的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明； （2）根据矩形及折叠的性质，利用勾股定理求得，，再利用余弦的定义计算； （3）根据题意用表示出、，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得： ， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， 在中，，即， 得． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、锐角三角函数的定义，掌握翻折变换的性质是解题的关键． 类型四、已知余弦求线段的长 4．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°． (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)当EF＝2，cos∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE=CF，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义设BE=4x，AB=5x，可得，再证△CFE∽△BFC，得CF2=EF×BF，由EF=2，则BF=BE+EF=4x+2，所以（3x）2=2（4x+2），然后由全等三角形的性质得BE=DF，即可得出答案． 【详解】（1）∵∠AEB=∠CFD=90°， ∴AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）在Rt△ABE中，cos∠ABE=， 设BE=4x，AB=5x， ∴， 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴∠EAF=∠ECF，CF=AE=3x， ∵∠CBE=∠EAF， ∴∠ECF=∠CBE， ∵∠CFE=∠BFC， ∴△CFE∽△BFC， ∴， ∴CF2=EF×BF， ∵EF=2，则BF=BE+EF=4x+2， ∴（3x）2=2（4x+2）， 解得：或（舍去）， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴BE=DF=4x， ∴BD=BE+EF+DF=8x+2=． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 类型五、正切与几何的计算与证明 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形中，为上一点，过E作交于点F，连接． (1)求证：； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，根据“同角的余角相等”可得，由此可证； （2）根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ． 类型六、已知正切求线段的长 6．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是上的一点，延长至，使，连接、． (1)当时，求证：四边形是平行四边形． (2)在（1）的条件下，过作交于，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）根据证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得，则，再由锐角三角函数定义得，则，然后由平行四边形的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2），，， ，，， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键 类型七、锐角三角函数的有关作图 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的边上的中线． (2)在图②中的边上确定一点，使． (3)在图③中的边上确定一点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． （3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 类型八、锐角三角函数与圆的有关计算 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）四边形内接于，为的中点，交于点，于点．已知，． (1)求弦的长． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先确定半径，由垂径定理可得：，，最后由勾股定理可得的长，从而得的长； （2）如图，作直径，连接，根据三角函数可得的长，由勾股定理得的长，由圆周角定理得，，由等角的三角函数可得的长，由勾股定理可得的长，最后由三角形的面积和可得结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，， ， 为的中点， ，， ， ， ； （2）解：作直径，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、圆周角定理、三角函数等知识，综合性较强，根据题中所求准确地作出辅助线是解题的关键． 类型九、锐角三角函数与几何动点问题 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【详解】（1）在中，， 在中，． （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则，    ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2．    ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3．    设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 类型十、锐角三角函数与几何类比探究问题 10．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 类型十一、锐角三角函数与圆的综合压轴问题 11．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是半圆的直径，点，是半圆上的点，且，连结交于点． (1)若，求的长． (2)如图2，连接，，，若，求的正弦值． (3)如图3，连接，作交于点，连接．求证：． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，列出比例式，求解即可； （2）连接，根据平行线间的距离处处相等，得到，设，则：，三角形的中线平分面积，推出，进而得到，根据正弦的定义，即可得出结果； （3）连接，平行线的性质，得到，，垂径定理得到，进而得到，，推出，得到四点共圆，进而推出，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴设，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （3）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中线，弧，弦，角之间的关系，四点共圆，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理的添加辅助线，是解题的关键． 压轴能力测评（浙江地区精选23道解答） 一、解答题 1．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是： （1）利用翻折的性质，等边对等角以及三角形外角的性质可得出，然后利用平行线的判断即可得证； （2）利用平行线分线段成比例可求出，利用勾股定理可求出，利用正切的定义可求出，利用平行线分线段成比例可求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：沿翻折至，点是的中点， ，， ， 又， ， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ， ，且点是BC的中点， ， 点是AB的中点， ， ． 2．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若． (1)__________； (2)求菱形的面积； (3)当时，求的值； (4)当时，求的长． 【答案】(1)90 (2) (3) (4) 【分析】（1）由菱形的性质得，，可证明，得，而，所以； （2）过点作于，根据菱形性质得，再解直角三角形求得，再根据菱形的面积公式即可求解； （3）由菱形的性质可知，则，设，则，求得，利用角平分线的性质可得，即可求解； （4）由（2）可知，结合勾股定理可得，，则，由，可知，则，由（3）可知，，再证，得，求得，则，，由勾股定理得，根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，   ，， ， ， ， ∵平分交于点， ， ． 故答案为：90； （2）在菱形中，， 过点作于， ∴， ∴菱形的面积； （3）在形中，，， ∴， 则，设，则， ∴， 设点到，的距离分别为，，点到的距离为， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （4）由（2）可知，则， ∴，则， ∵， ∴，则， 由（3）可知，， ∵，则 ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，，D是边上一点，过点D作交于点F，E为上任意一点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，且平分，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义： （1）由相似三角形的性质得，，得出，从而可得结论； （2）证明，得，由（1），知，又得，从而可得结论 【详解】（1）证明：由，可得， ∴，     同理， ∴即． （2）解：由平分，可得． 由，可得， ∴， ∴．     由（1）知，． 由，可得． ∴． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于H，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于H，连接、，如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 5．（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用即可证明； （）由设，，则，由勾股定理得，进而得，再根据可得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 6．（2024·浙江丽水·二模）已知，点D为内一点， 【复习】如图1，于点B，于点C，直接写出和的数量关系； 【运用】将图1中的绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断和的数量关系并证明； 【拓展】改变图2中点D的位置，保持的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示并说明理由． 【答案】【复习】；【运用】．证明见解析；【拓展】，理由见解析 【分析】【复习】：根据角平分线的性质直接判断即可； 【运用】：过点D作角两边的垂线，垂足分别为E、F，证明≌即可； 【拓展】：类似（2）的辅助线作法，证明∽即可； 【详解】【复习】 ∵于点B，于点C， ∴； 【运用】：过点D作角两边的垂线，垂足分别为E、F， 由【复习】得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴≌， ∴； 【拓展】：， 过点D作角两边的垂线，垂足分别为M、N， 由运用得，， ∵， ∴∽， ∴， ，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和三角函数，解题关键是恰当作辅助线，利用全等三角形和相似三角形的性质进行推理证明． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D，交于E，连接 (1)证明； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值： （1）圆周角定理，得到，对顶角相等得到，即可得证； （2）三线合一，得到，勾股定理求出的长，根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵是的内接等腰三角形，其顶角的平分线交于D， ∴，， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，， ，过点作于点．    (1)求的长； (2)若点是边的中点，连结，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由，根据正弦函数定义列方程求解即可得到答案； （2）利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出相关线段长，在中，由正切函数定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在等腰中，， ，， 则， 解得， 由勾股定理可得； （2）解：在等腰中，，点是边的中点， ， 由（1）知，，则， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查三角函数综合，涉及正弦函数定义、等腰三角形性质、勾股定理及正切函数定义，熟记三角函数定义是解决问题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D． (1)求证：； (2)已知半径为r，设，求x与y的关系式； (3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了正弦的定义、圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得，最后根据弧长定义即可解答； （2）如图：连接，与交于点Q，先证可得，进而说明；再说明，最后运用勾股定理列式化简即可解答； （3）如图：连接，把，代入求得；再说明，最后运用勾股定理及正弦的定义即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接，与交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是半径，， ∴， 在和中， 由勾股定理得， ∵， ∴，即，整理得． （3）解：如图：连接， 把，代入，得，解得（不合题意，舍去），， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图在中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆分别交于点，连结． (1)求证：． (2)当时，求： ①； ②的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，则，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）①如图．过点作交于点，设，再证为等腰三角形，则；由勾股定理可得，然后根据正弦的定义即可解答；②先根据勾股定理可得，过点作交于点，可证可得，进而可得、，然后根据勾股定理可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ ． （2）解：①如图．过点作交于点， 当时，设， 在中，， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ． ②， 在中,． 过点作交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：等腰三角形中，，是锐角，且． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及解三角形，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，设，根据求出即可求解； （2）由（1）可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：作， ∵， ∴设 则 ∴ （2）解：由（1）得：， ∴ ∵，， ∴， 解得：（舍去） ∴ 12．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，，相交于E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对顶角性质，根据正弦值求边长． （1）直接根据有两角相等证明，再根据相似三角形的性质得出结论； （2）由正弦概念可得，再证明，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2015·山东潍坊·一模）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．    (1)若与相似，求t的值； (2)连接、，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可； （2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴根据勾股定理得：， ①当时，， ∵，，，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，t＝； ∴或时，与相似； （2）解：过P作于点M，，交于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 14．（2024·浙江宁波·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）    (1)请在图1中画出的高，计算得__________． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点； （2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点． 【详解】（1）就是所求作的高，如图所示，    ∵，，， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图所示，点E就是求作的点，    15．（2023·广东河源·二模）如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． (1)求证：； (2)设，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，，证明，根据，得出； （2）根据三角函数定义得出，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，即，得出，求出，得出． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴，，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 17．（22-23九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线分别与，的延长线交于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据即可证明结论； （2）先证明是菱形，得出，根据三角函数定义得出，得出，即，得出，求出，，根据勾股定理得出，，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴是菱形， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 18．（2023·浙江杭州·三模）如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的基本性质，利用“”证明全等即可； （2）利用（1）的结论，确定，即可求得结论． 【详解】（1）证：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及求角的正弦等，掌握等边三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的性质是解题关键． 19．（2023·浙江湖州·一模）（1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值； （2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度（点E在的内部），如图2，连接，求的值； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，如图3，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到； （2）先证明，再由，可证明，则； （3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．（2023·浙江杭州·一模）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和． (1)求证：； (2)过点E作交于点M，垂足为点N． ①判断的形状，并说明理由； ②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)①等腰三角形；证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）先证明，，结合可得结论； （2）①如图，过作于，则，四边形为矩形，可得，证明，可得，从而可得结论；②为等腰三角形，，则，而，可得，可得，即，证明，可得，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴． （2）①如图，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． ②∵为等腰三角形，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键． 21．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析，② (3)或 【分析】（1）连，直接求的长即可； （2）①设交于点，证明即可； ②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得． （3）分E在上方和E在下方两种情况，分别求得即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵在中，，，D是边上的中点， ∴，， ∴点C到的距离为， 故答案为：； （2）解：①设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵过点D作的垂线交射线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长和交于点，连接， ∵，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当E在上方时，过D作于H， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当E在下方时， 同理，，， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角函数定义等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形． 22．（22-23九年级上·上海·期中）在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）由，过A作于M，根据勾股定理求出、、的值即可根据求解． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）过A作于M， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正弦，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2022·浙江衢州·一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是AB边上的动点，折叠纸片使点D与点E重合，折痕为FG，DC的对应边EC交BC于点H． (1)如图1，当点E是AB的中点时，求AF的长. (2)设AE的长为x，四边形CDFG面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最小值. (3)如图2，过点D作EC的垂线，垂足为M，DM交FG于点N，当△BHE与△MNE的周长之差为2时，求∠EHB的正弦． 【答案】(1)3 (2)，最小值为 (3) 【分析】（1）当为的中点时，，设 ，则，在中，，建立方程解方程求解即可； （2）过点作，则四边形是矩形，连接，交于点，证明 ，设，则，，得，进而求得，根据题型面积求解即可； （3）由（2）可得， ，，则，证明△AEF∽△BHE，根据相似三角形的性质求得，求得△BHE的周长为16，当△BHE与△MNE的周长之差为2时，则△MNE的周长为14或18，连接，证明四边形是菱形，则，证明，根据相似三角形的性质可得或，由△AEF∽△BHE，或，建立方程求得，进而求得，根据即可求解． 【详解】（1）如图， 四边形是正方形 当为的中点时，，设 ，则 在中， 解得 （2）如图，过点作，则四边形是矩形，连接，交于点 关于对称， 设，则， 四边形CDFG面积为S ，最小值为24 （3）如图， 由（2）可得， ，，则 在正方形ABCD中由于对折， ∴∠ADD＝∠FEH＝90°， ∴∠1＋∠2＝90° 又∵∠A＝∠B＝90° ∴∠1＋∠3＝90° ∴∠2＝∠3 ∴△AEF∽△BHE， ∴ ， ∴△BHE的周长＝BH＋EH＋BE＝， ∴△BHE的周长为16， 当△BHE与△MNE的周长之差为2时，则△MNE的周长为14或18 连接， 折叠 ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形 △BHE的周长为16， 当△BHE与△MNE的周长之差为2时，则△MNE的周长为14或18 或 或 △AEF∽△BHE， ， 或 或 解得或 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正弦值，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$