专题08锐角三角函数（考点串讲，3大考点+9大题型突破+4大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题08 锐角三角函数 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 四大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 A B 专题强化一　三角函数在实际生活中的应用 题型剖析 B 专题强化二　锐角三角函数在四边形中的应用 D 专题强化三　锐角三角函数在圆中的应用 15°或105° 易混易错 1.（2023秋•富锦市校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为( ____ ) A. B. C. D. B 押题预测 【解析】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴tanA= = ． 故选：B． 39 2.（2023秋•裕华区校级期末）如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为( ____ )米． A. B. C.200cos20° D.200sin20° D 【解析】解：∵ ， ∴AB=AC•sin∠C=200sin20°， 故选：D． 40 3.（2023秋•福山区期末）若∠A是锐角，且sinA= ，则( ____ ) A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA= ＜ =sin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． A 4.（2023秋•太谷区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanA=　　． 【解析】解：由sinA= = 知，可设a=3x,则c=5x,b=4x. ∴tanA= = = ． 41 5.（2023秋•市中区期末） 如图大楼AB的高度为37m,小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG=37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内(结果精确到0.1m) (1)求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD． (2)求旗杆的AC高度． (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75， ≈1.73) 42 【解析】解：(1)在Rt△DEG中，∠EDG=37°，DE=20m, ∴EG=DE•sin37°≈20×0.60=12.0(m)， DG=DE•cos37°≈20×0.80=16.0(m)， ∴斜坡ED的铅直高度EG约为12.0m,水平宽度GD约为16.0m； (2)过点E作EH⊥BC，垂足为H， 由题意得：DB=32m, ∴EH=GB=GD+DB=16+32=48(m)， 在Rt△CEH中，∠CEH=30°， ∴CH=EH•tan30°=48× =16 (m)， ∴AC=CH+BH-AB=16 +12-37≈2.7(m)， ∴旗杆的AC高度约为2.7m. 43 求三角函数的值 1. (滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( ) A．2＋eq \r(3)　　 B．2eq \r(3)　　 C．3＋eq \r(3)　　 D．3eq \r(3) 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接MD、ME.若∠EMD＝90°，则cosB的值为　 　. eq \f(\r(3)－1,2) 3. (株洲中考)如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN. (1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND； (2)线段MN与线段AD相交于T，若AT＝eq \f(1,4)AD，求tan∠ABM的值． (1)证明：∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL)；　(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得，∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∵∠BAM＋∠DAM＝ 90°，∠DAN＋∠ADN＝ 90°，∴∠DAM＝∠AND，∴ND∥AM，∴△DNT∽△AMT，∴eq \f(AM,DN)＝eq \f(AT,DT)，∵AT＝eq \f(1,4)AD，∴ eq \f(AM,DN)＝eq \f(1,3)，∴tan∠ABM＝eq \f(AM,BM)＝eq \f(AM,DN)＝eq \f(1,3). 锐角三角函数在几何图形中的应用 4. (泰安中考)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝eq \f(3,4)，点D是AC边上的动点 (不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为　 　. S＝－eq \f(3,25)x2＋eq \f(3,2)x 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝eq \f(5,13)，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 　 . eq \f(156,25)或eq \f(102,13)　 6．如图，点O是△ABC的边AB上的一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF. (1)求证：∠C＝90° (2)当BC＝3时，sinA＝eq \f(3,5)时，求AF的长． (1)证明：连接OE、BE.∵DE＝EF，∴，∴∠OBE＝∠DBE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC.∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC.∴BC⊥AC，∴∠C＝90°；　 (2)解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝eq \f(3,5)，∴AB＝5.设⊙O的半径为r，则AO＝5－r，在Rt△AOE中，sinA＝eq \f(OE,OA)＝eq \f(r,5－r)＝eq \f(3,5)，∴r＝eq \f(15,8)，∴AF＝5－2×eq \f(15,8)＝eq \f(5,4). 三角函数在实际中应用 7. (舟山中考)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台 (矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80° )，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15cm (点D、C、G、K在同一直线上)． (1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？ (2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，eq \r(2)≈1.41，结果精确到 0.1) 解：(1)过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M.∵EF＋FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100·sin80°≈98，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，∴FM＝66·cos45°＝33eq \r(2)≈46.53，∴MN＝FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm；　 (2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.∵AB＝48，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66·sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN＝100·cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56，OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm. 8. (黔东南中考) 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？ (结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24) 解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)米，CE＝CD·cos60°＝12×eq \f(1,2)＝6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6eq \r(3)米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝eq \f(D′E′,tan39°)≈eq \f(6\r(3),0.81)≈12.8，∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全． 1．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 (结果保留小数点后两位)(参考数据： eq \r(3)≈1.732, eq \r(2)≈1.414)( ) A．4.64海里　　　　　　 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里 2．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°(参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732)． (1)求车架档AD的长； (2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm)． 解：(1)∵在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，∴AD＝eq \r(452＋602)＝75(cm)，∴车架档AD的长是75cm；　 (2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵AE＝AC＋CE＝(45＋20)cm，∴EF＝AEsin75°＝(45＋20)sin75°≈62.7835≈63(cm)，∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm. 3．如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm. (1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径 (结果精确到0.01cm)； (2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度 (结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)． (1)作OC⊥AB于点C，如图③所示，由题意可得，OA＝OB＝10cm，∠OCB＝90°，∠AOB＝18°，∴∠BOC＝9°∴AB＝2BC＝2OB·sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；　 (2)作AD⊥OB于点D，作AE＝AB，如图④所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与③中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB＝18°，OA＝OB，∠ODA＝90°，∴∠OAB＝81°，∠OAD＝72°，∴∠BAD＝9°，∴BE＝2BD＝2AB·sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm. 强化角度1　在一般四边形中应用 1．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于( ) A.eq \f(3,4)　　　　　　 　 B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5) 强化角度2　在平行四边形中应用 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝eq \f(7,8)，求线段OE的长． 解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD；　 (2)在Rt△AOB中，cos∠OAB＝eq \f(AO,AB)＝eq \f(7,8)，AB＝14，∴AO＝14×eq \f(7,8)＝eq \f(49,4)，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(7,8)，AB＝14，∴AE＝eq \f(8,7)AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－eq \f(49,4)＝eq \f(15,4). 强化角度3　在菱形中应用 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是　 　. 4. (温州中考)如图，直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋4与 x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为　 　. y＝－eq \f(\r(3),3)x＋4 2eq \r(3) 强化角度4　在矩形中应用 5．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处，如果eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3).求tan∠DCF的值． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F处．∴CF＝BC.又∵eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(CD,CF)＝eq \f(2,3).设CD＝2x(x＞0)，CF＝3x，∴DF＝eq \r(CF2－CD2)＝eq \r(5)x.∴tan∠DCF＝eq \f(DF,CD)＝eq \f(\r(5)x,2x)＝eq \f(\r(5),2). 强化角度5　在正方形中应用 6. (南充中考)如图，正方形ABCD的边长为2, P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF.下列结论正确的是( ) A．CE＝eq \r(5) B．EF＝eq \f(\r(2),2) C．cos∠CEP＝eq \f(\r(5),5) D．HF2＝EF·CF 解：(1)OB＝2eq \r(5)； (2)sinA＝eq \f(OC,OA)＝eq \f(\r(5),5). 强化角度1　在圆中求三角函数值 1．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD，若AC＝2，则cosD＝　 　. eq \f(1,3) 2．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为4，AB＝8. (1)求OB的长； (2)求sinA的值． 强化角度2　在圆中利用三角函数求角 3. (襄阳中考)在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和eq \r(2)，则∠BAC的度数为　 　. 4. (襄阳中考)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线， E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE. (1)求证：DA＝DE； (2)若AB＝6，CD＝4eq \r(3)，求图中阴影部分的面积． (1)证明：连接OE、OC.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC.∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE；　 (2)如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，DF＝AB＝6，∴DC＝BC＋AD＝4eq \r(3).∵FC＝eq \r(DC2－DF2)＝2eq \r(3)，∴BC－AD＝2eq \r(3)，∴BC＝3eq \r(3).在Rt△OBC中，tan∠BOC＝eq \f(BC,BO)＝eq \r(3)，∴∠BOC＝60°.在△OEC与△OBC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(OE＝OB,OC＝OC,CE＝CB))，∴△OEC≌△OBC(SSS)，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°.∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×eq \f(1,2)BC·OB－eq \f(120×π×OB2,360)＝9eq \r(3) －3π. (2)连接DC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE，∵∠CAE是公共角，∴△EAC∽△CAD，∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(AE,AC)，∴AD·AE＝AC2＝10. 强化角度3　在圆中利用三角函数求线段长 5. (深圳中考)如图，在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cosB＝eq \f(\r(10),10) . (1)求AB的长度； (2)求AD·AE的值． 解：(1)作AM⊥BC, ∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，∴BM＝eq \f(1,2)BC＝1，∵cosB＝eq \f(BM,AB)＝eq \f(\r(10),10) ，在Rt△AMB，BM＝1，∴AB＝eq \f(BM,cosB)＝eq \r(10)；　 6. (荆门中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB、BC. (1)求证：AC平分∠DAE； (2)若cosM＝eq \f(4,5)，BE＝1，①求⊙O的半径；②求FN的长． (1)证明：连接OC，如图，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，又∵AD⊥DE，∴OC∥AD.∴∠1＝∠3∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAE；　 (2)解：连接BF.①∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，而DE⊥AD，∴BF∥DE， ∴OC⊥BF，∴，∴∠COE＝∠FAB，而∠FAB＝∠M， ∴∠COE＝∠M，设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos∠COE＝eq \f(OC,OE)＝eq \f(4,5)， 即eq \f(r,r＋1)＝eq \f(4,5)，解得r＝4，即⊙O的半径为4；　 ②在Rt△AFB中，cos∠FAB＝eq \f(AF,AB)，∴AF＝8×eq \f(4,5)＝eq \f(32,5). 在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3，∵AB⊥FM，∴，， ∴∠5＝∠4，∵FB∥DE，∴∠5＝∠E＝∠4，又∵∠1＝∠2， ∴△AFN∽△AEC，∴eq \f(FN,CE)＝eq \f(AF,AE)，即eq \f(FN,3)＝eq \f(\f(32,5),9)，∴FN＝eq \f(32,15). $$