14.1.3 反证法课件2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

路边苦果 小明7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的果树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有小明站在原地不动.小明回答说:“树在道边而多果,此必苦果.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦果. 小明是怎样知道果子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 小故事 假设果子是甜的 那么果子会被过路人摘去解渴，树上的果子会很少。 事实上树上的果子很多,这与事实相矛盾。 造成矛盾的原因是：假设果子是甜的，这个假设是错误的，说明原来的结论：路边的果子是苦的是正确的。 §14.1-3 反证法 在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C.如何说明呢？ 方 法 迁 移 C B A 假设果子是甜的 假设∠B=∠C 那么AB=AC， 这与已知条件AB≠AC相矛盾 假设不正确，则∠B≠∠C 假设不正确，则果子是苦的。 那么果子会被过路人摘去解渴,则果子会很少，这与事实相矛盾。 方法迁移 问题： 探究： 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是先假设结论不成立(即结论的反面成立)，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，得出与已知条件、学过的概念、已证明的定理或性质、基本事实矛盾的结果，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 探究1:认识反证法 昨晚晚自习后，小华看见学校地面是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对小丽说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 思考：小华的理由： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 在我们的日常生活中也有类似的例子，比如： 探究： （1）假设它是一个直角三角形 （2）由勾股定理，有a2 +b2 = c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2 矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形。 A C B 　　 “在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, （ ）a2 +b2 ≠ c2，则这个三角形不是直角三角形，”请说明理由。 a b c 问题 探究2：深度挖掘——了解反证法 假设果子是甜的 假设∠B=∠C 那么AB=AC， 这与已知条件AB≠AC相矛盾 假设不正确， 则∠B≠∠C 假设不正确，则果子是苦的。 方法迁移 假设它是一个直角 三角形 由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾 因此假设不成立，即它不是一个直角三角形 那么果子会被过路人摘去解渴,则果子会很少，这与事实相矛盾。 用反证法证题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。 （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 假设结论反面成立 推理论证，得出矛盾 否定假设，肯定结论 归纳 证明：假设__________________________________ __ 因为 　 即 ， 这与______________矛盾_，假设不成立。 所以__________________________。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾. 例5 求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。 a b A ● A， ● 尝试解决问题——感受反证法 a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’ ， 两点确定一条直线 经过点A和A’的直线有且只有一条 已知两条直线 两条直线相交只有一个交点 小试身手——巩固反证法 1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）至多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是　　　　 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　。　 　a不是实数 　a不大于２ 　a不小于２ 至多有1个 至少有两个 两直线相交 假设a=b 假设这个三角形是等腰三角形 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至少有n个 大于 至多有一个 小于 至多有n个 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式. 不是 不都是 不大于 不小于 一个没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 不等于 某个 例6 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　。 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ∠A+∠B+∠C>180° 三角形的内角和为180度 △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 点拨：“至少”的反面是“没有”，“至多”的反面是“不止”！ 尝试解决问题——感受反证法 推理论证 得出结论 回顾与归纳 反证法 反设 归谬 结论 $$