第五章 一元一次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（北师大版2024，辽宁专用）

第五章 一元一次方程 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是  （   ） A．x2-4x=3 B．3x-1- C．x+2y=1 D．xy-3=5 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义回答即可． 【详解】A、未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程； B、是一元一次方程，故B正确； C、含有两个未知数，故不是一元一次方程； D、含未知数的项的次数为2次，并且含有两个未知数，不是一元一次方程. 故选B. 【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题关键． 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值以及等式的性质，根据绝对值的性质判断A选项，根据等式的性质逐个进行判断B，C，D选项，即可作答． 【详解】解：A、若，则，故该选项是不符合题意； B、若，则，故该选项是不符合题意； C、若，则，故该选项是不符合题意； D、若，则（两边同时乘上c，等式仍成立），故该选项是符合题意； 故选：D 3．方程，去分母后正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质方程两边都乘以12去分母即可． 【详解】解： +1=， 去分母得：3（x+2）+12=4x， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的变形，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 4．已知（k-1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|k|=1和k-1≠0，解之，代入原方程，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： |k|=1， 即k=1或k=-1， k-1≠0， k≠1， 综上可知：k=-1， 把k=-1代入原方程得： -2x+3=0， 解得：x=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 5．如图，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为（    ）    A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得： ， ①×2-②×5，得： ， 即2个球体相等质量的正方体的个数为5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，本题通过建立二元一次方程组，求得球体与正方体的关系，等量关系是天平两边的质量相等． 6．某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设售货员可以打x折出售此商品，根据：标价×-进价=进价×5%即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设售货员可以打x折出售此商品， 根据题意得：750×﹣500=500×5%， 解得：x=7，即售货员可以打7折出售此商品． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，知道：商品的实际售价=商品标价×，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程得出，求出，根据方程的解总是得出，再求出a即可． 【详解】解：把代入方程得： ， ， ∵a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是， ∴， ∴． 故选：D． 8．某食品厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒有2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，制作1块小月饼要用面粉，若现有面粉，设可以生产x盒盒装月饼，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，设可以生产x盒盒装月饼，则每盒中2块大月饼要用面粉，每盒中4块小月饼要用面粉，根据共有面，列出方程即可． 【详解】解：设可以生产x盒盒装月饼，则每盒中2块大月饼要用面粉， 每盒中4块小月饼要用面粉， 根据题意有：． 故选：B 9．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先分别求出顺流航行和逆流航行的速度，再根据往返的时间和等于5小时结合时间路程速度，列方程即可． 【详解】解：由题意得，顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， ∴， 故选：D． 10．古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒？”意思是：“朱世杰携带一壶酒游春，经过酒店就把壶里的酒添加一倍，碰到朋友就饮酒1斗，途中先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，最后壶中无酒，问酒壶中原来有多少斗酒？设酒壶中原来有x斗酒，则符合题意的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于正确列出方程． 设酒壶中原来有x斗酒， 第一次遇店添一倍，则为，逢友饮一斗，则为； 第二次遇店添一倍，则为，第二次逢友饮一斗，则为； 第三次遇店添一倍，则为，第三次逢友饮一斗，则为； 此时没了壶中酒，则建立方程：． 【详解】解：根据题意可列方程：． 故选：A． 二、填空题 11．按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 【答案】或或5 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，弄清题中的程序框图是解本题的关键． 根据程序计算，即可得到满足题意得a的值． 【详解】解：若直接输出结果为16，则，解得； 若一次循环后输出结果为16，则，解得； 若两次循环后输出结果为16，则，解得； 若三次循环后输出结果为16，则，解得不符合题意； 综上，满足条件的正数a为或或5． 故答案为：或或5 12．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 13．一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【答案】63 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 14．点A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，称点C是的三倍点．若点M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2，点P所表示的数为x．若点P是的三倍点，则点P表示的数 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查数轴的概念，两点间的距离，一元一次方程的应用，根据三倍点的概念列出关于x的方程，求出x即可得出答案． 【详解】解：若点P在点M和N的左侧，则， 则点P到M的距离为，点P到点N的距离为， ， 解得：（舍）， 若点P在点M和N之间，则， 则点P到M的距离为，点P到点N的距离为， ， 解得：， 若点P在点M和N的右侧，则， 则点P到M的距离为，点P到点N的距离为， ， 解得：， 故答案为：或． 15．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，t时后两车相距50千米，则t的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“t时后两车相距50千米”列方程求解即可． 【详解】解：相遇前， 根据题意，得， 解得， 相遇后， 根据题意，得， 解得， ∴t的值为2或， 故答案为：2或． 三、解答题 16．解方程: (1)5x-3(20-2x)=7x-6(8-x);                      (2) - =1. (3) - =0.5 【答案】（1）x＝－6；（2）；（3）. 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）将方程变形，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可. 【详解】解：（1）去括号得：5x-60+6x=7x-48+6x， 移项得：5x+6x-7x-6x=-48+60， 合并同类项得：-2x=12， 解得：x＝－6； （2）去分母得：2(2x-1)-(2x+3)=6， 去括号得：4x-2-2x-3=6， 移项得：4x-2x=6+2+3， 合并同类项得：2x=11 解得：； （3）方程变形得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 解得：. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键. 17．聪聪在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是． (1)求m的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【解析】略 18．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （Ⅰ）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （Ⅱ）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． （Ⅲ）若关于的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式+的值． 【答案】（Ⅰ）不是；（Ⅱ）时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）． 【分析】（Ⅰ）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程； （Ⅱ）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可； （Ⅲ）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解． 【详解】（Ⅰ）：∵， ∴， ∵， ， ∴不是奇异方程； 故答案为：不是； （Ⅱ）∵， ∴3x=b，解得，x= 若方程3x=b有符合要求的“奇异方程” ∴， ∴， ∴， 即时有符合要求的“奇异方程”； （Ⅲ）关于的一元一次方程和都是“奇异方程”，则有： ， 整理得：，， 两式相减得，， ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键． 19．现在是互联网的时代，微商小古一次购进了一种时令水果250kg，开始两天他以每千克高于进价的价格卖出180kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打折全部售出．最后他卖该种水果获得元的利润．问： (1)这批水果的进价为多少元？ (2)计算小古打折卖出剩余的水果比购进这些水果亏了多少元？ 【答案】(1)15元/千克 (2)亏了462元 【分析】（1）先设进价为元千克，根据前后一共获利元，列出方程，求出的值； （2）根据总额进货总价来计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元． 【详解】（1）解：设进价为元千克， 依题意得：， 解得， 答：这批水果的进价为元千克； （2）解：（元）． 答：亏了元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程并解答． 20．数学与生活! 【答案】买一盒饼干需要元，一袋牛奶需要元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设买一袋牛奶需要元，则买一盒饼干需元，根据题意列方程，即可求解． 【详解】解：设买一袋牛奶需要元，则买一盒饼干需元， ， 解得：， 饼干单价为：（元）， 答：买一盒饼干需要元，一袋牛奶需要元． 21．两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本书的厚度为　 　cm，课桌的高度为　 　cm； (2)当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离　 　（用含x的代数式表示）； (3)桌面上有55本与题中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有25名同学各从中取走一本，求余下的数学课本高出地面的距离． 【答案】(1)0.6； 84.4； (2)(84.4 + 0.6x) cm； (3)余下的数学课本高出地面的距离是102.4cm． 【分析】(1)设每本书的厚度为mcm，根据6本书的高度减去3本书的高度= 88一86.2列方程求解即可求出一本课本的厚度，进而得出课桌的高度； (2)高出地面的距离=课桌的高度+x本书的厚度，把相关数值代入即可； (3)把x= 55- 18代入(2) 得到的代数式求值即可． 【详解】（1）设每本书的厚度为mcm，根据题意得， 6m- 3m= 88- 86.2， 解得：m= 0.6， 每本书的厚度，0.6cm； 课桌的高度为： 88-6× 0.6 = 84.4 (cm)． 故答案为： 0.6； 84.4； （2）∵x本书的厚度为0.6xcm，课桌的高度为84.4cm， ∴高出地面的距离为(84.4 + 0.6x) cm； 故答案为：(84.4 + 0.6x) cm； （3）当x= 55- 25 = 30时， 84.4 + 0.6x = 102.4 (cm)． 故余下的数学课本高出地面的距离是102.4cm． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点，也是解题的关键． 22．成都某网络约车公司的收费标准是：起步价8 元，不超过3 千米时不加价，行程在3 千米到5 千米时，超过3 千米但不超过5 千米的部分按每千米1.8 元收费（不足1 千米按1 千米计算），当超过5 千米时，超过5 千米的部分按每千米2 元收费（不足1 千米按1 千米计算）． （1）若李老师乘坐了2.5 千米的路程，则他应支付费用为多少元；若乘坐的5 千米的路程，则应支付的费用为多少元；若乘坐了10 千米的路程，则应支付的费用为多少元； （2）若李老师乘坐了x（x＞5 且为整数）千米的路程，则应支付的费用为多少元（用含x的代数式表示）； （3）李老师周一从家到学校乘坐出租车付了19.6元的车费（且他所乘路程的千米数为整数），若李老师改骑电动自行车从家到学校与乘坐出租车所走路程相等，李老师骑电动自行车的费用为每千米0.1元，不考虑其他因素，问李老师可以节约多少元钱？ 【答案】（1）李老师乘坐了2.5千米的路程，他应支付的费用为8元；乘坐了5千米的路程，应支付的费用为11.6元，乘坐了10千米的路程，应支付的费用为21.6元；（2）2x+1.6；（3）李老师可以节约18.7元钱． 【分析】①分别利用乘车收费标准求出不同路程的乘车费用；②利用李老师乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，进而利用乘车收费标准得出答案；③首先求出李老师乘车的路程超过5千米，再求出电动车的费用，求差即可. 【详解】（1）由题意可得：李老师乘坐了2.5千米的路程，他应支付的费用为：8元； 乘坐了5千米的路程，应支付的费用为：8+（5﹣3）×1.8=11.6（元）， 乘坐了10千米的路程，应支付的费用为：8+2×1.8+5×2=21.6（元）， （2）由题意可得：8+1.8×2+2（x﹣5）=2x+1.6； 故答案为2x+1.6． （3）若走5千米，则应付车费：10+1.3×2=12.6（元）， ∵12.6＜19.6， ∴李老师乘车的路程超过5千米，设李老师乘坐了x千米的路程， 因此，由（Ⅱ）得2x+1.6=19.6， 解得：x=9， 19.6﹣9×0.1=18.7 答：李老师可以节约18.7元钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出超过5km乘车费用的关系式是解题的关键． 23．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是  （   ） A．x2-4x=3 B．3x-1- C．x+2y=1 D．xy-3=5 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．方程，去分母后正确的是（    ）. A． B． C． D． 4．已知（k-1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．如图，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为（    ）    A．2 B．5 C．4 D．3 6．某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程的解总是，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．某食品厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒有2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，制作1块小月饼要用面粉，若现有面粉，设可以生产x盒盒装月饼，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒？”意思是：“朱世杰携带一壶酒游春，经过酒店就把壶里的酒添加一倍，碰到朋友就饮酒1斗，途中先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，最后壶中无酒，问酒壶中原来有多少斗酒？设酒壶中原来有x斗酒，则符合题意的方程是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 12．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 13．一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 14．点A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，称点C是的三倍点．若点M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2，点P所表示的数为x．若点P是的三倍点，则点P表示的数 ． 15．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，t时后两车相距50千米，则t的值为 ． 三、解答题 16．解方程: (1)5x-3(20-2x)=7x-6(8-x);                      (2) - =1. (3) - =0.5 17．聪聪在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是． (1)求m的值； (2)求原方程的解． 18．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （Ⅰ）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （Ⅱ）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． （Ⅲ）若关于的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式+的值． 19．现在是互联网的时代，微商小古一次购进了一种时令水果250kg，开始两天他以每千克高于进价的价格卖出180kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打折全部售出．最后他卖该种水果获得元的利润．问： (1)这批水果的进价为多少元？ (2)计算小古打折卖出剩余的水果比购进这些水果亏了多少元？ 20．数学与生活! 21．两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本书的厚度为　 　cm，课桌的高度为　 　cm； (2)当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离　 　（用含x的代数式表示）； (3)桌面上有55本与题中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有25名同学各从中取走一本，求余下的数学课本高出地面的距离． 22．成都某网络约车公司的收费标准是：起步价8 元，不超过3 千米时不加价，行程在3 千米到5 千米时，超过3 千米但不超过5 千米的部分按每千米1.8 元收费（不足1 千米按1 千米计算），当超过5 千米时，超过5 千米的部分按每千米2 元收费（不足1 千米按1 千米计算）． （1）若李老师乘坐了2.5 千米的路程，则他应支付费用为多少元；若乘坐的5 千米的路程，则应支付的费用为多少元；若乘坐了10 千米的路程，则应支付的费用为多少元； （2）若李老师乘坐了x（x＞5 且为整数）千米的路程，则应支付的费用为多少元（用含x的代数式表示）； （3）李老师周一从家到学校乘坐出租车付了19.6元的车费（且他所乘路程的千米数为整数），若李老师改骑电动自行车从家到学校与乘坐出租车所走路程相等，李老师骑电动自行车的费用为每千米0.1元，不考虑其他因素，问李老师可以节约多少元钱？ 23．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$