专题06 相似三角形的常考模型（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题06 相似三角形的常考模型 A字型相似 1．（23-24 九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 2．（23-24 九年级上·上海金山·期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 3．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 4．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．6 8字型相似 5．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，在平行四边形中，是边上等分点，交于点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24 九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 7．（23-24 九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． AX字型相似 8．（23-24 九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 9．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 母子型相似 10．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24 九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 12．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 双垂直型相似 13．（23-24 九年级上·广东汕头·期末）如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（23-24 九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，是边上的高． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 一线三等角型相似 16．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    17．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（23-24 九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 手拉手型相似 19．（23-24 九年级上·广西北海·期末）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．易知______； 【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，． 则______； 【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值： （2）延长交于点，交于点．若，，求的长． 20．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边于点，． (1)求证：①：②若，求的值． (2)若，，请直接写出长 三角形内接矩形型相似 21．（23-24 九年级上·上海金山·期末）在锐角中，是边上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在边上，那么矩形的周长是 ． 22．（23-24 九年级上·安徽滁州·期末）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 23．（23-24 九年级上·上海·期末）如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 1．（23-24 九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在正方形中，点为中点，连接，在上取点，作，使得，，且点、分别在边、上，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（    ） A．21 B．28 C．36 D．42 4．（23-24 九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ． 5．（23-24 九年级上·河南焦作·期末）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 6．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 7．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，E是上的点，且，连接并延长，交于点F，，分别交于点M，N． (1)求的长； (2)求的长． 8．（23-24 九年级上·河南焦作·期末）如图，为线段的中点，，，． (1)求的长； (2)求证：． 9．（23-24 九年级上·广东珠海·期末）如图，点D，E分别是边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，， (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 10．（23-24 九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 11．（23-24 九年级上·四川峨眉·期末）如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 12．（23-24 九年级上·重庆·期末）已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． (3)如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形的常考模型 A字型相似 1．（23-24 九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 【答案】3 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 2．（23-24 九年级上·上海金山·期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．（23-24 九年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【答案】A 【详解】解：∵AE=2，EC=3， ∴AC=AE+EC=5， ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【详解】解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1， ∵DB平分∠ABC， ∴∠PBD＝∠CBD， ∵PD∥BC， ∴∠PDB＝∠DBC， ∴∠PBD＝∠PDB， ∴PB＝PD， 同理，DQ＝CQ， ∵∠APQ＝∠ABC， ∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝， ∴设AP＝4x，AQ＝3x， ∴PQ＝5x， ∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x， ∴8﹣4x+6﹣3x＝5x， ∴x＝， ∴PQ＝5x＝； 当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°， ∴BC＝10， 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB•AC， ∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形， ∴DF∥AP， ∴∠EPD＝∠FDQ， 同理∠EDP＝∠FQD， ∴△PED∽△DFQ∽△CAB， ∴＝＝＝， ∴PE＝，FQ＝， ∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝， ∴PQ＝PD+DQ＝+＝， 综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8字型相似 5．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，在平行四边形中，是边上等分点，交于点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形，且是上的等分点， ，，， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键． 6．（23-24 九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 7．（23-24 九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，． （1）若BD=20，求BG的长； （2）求的值． 【答案】(1)8;(2) 【详解】(1)    ∵GF∥BC， ∴， ∵BD=20，， ∴ ； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. AX字型相似 8．（23-24 九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， 由相似三角形的传递性，得； 故有4对相似三角形． 故选：C． 9．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当，时， 由（1）可得 ，，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似． 母子型相似 10．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 11．（23-24 九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 【答案】经过2秒或秒时，与相似． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 12．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 双垂直型相似 13．（23-24 九年级上·广东汕头·期末）如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 14．（23-24 九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ． 【答案】 【详解】∵， ∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a， ∴AC=a， ∵BF⊥AC， ∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC， ∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC ∴a2=CE•a，2a2=AE•a， ∴CE=，AE=， ∴， ∵△CEF∽△AEB， ∴ 故答案为 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，是边上的高． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）∵在中，，是边上的高． ∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴ ，即， 解得：AD= 4， 故答案为：4； （2）由（1）知△ADC∽△ACB， ∴ ，即， 解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去）， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=， 故答案为：； （3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4， 由勾股定理得：AD= ， 由（1）中△ADC∽△ACB， ∴ ，即， 解得：BC= ， 经检验，BC= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 一线三等角型相似 16．（23-24 九年级上·广东深圳·期末）如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    【答案】7：8 【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x 连接DE、DF，如图所示    ∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60° 由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60° ∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120° ∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120° ∴∠ADE=∠DFB ∴△ADE∽△BFD ∴ 即CE：CF=7：8 故答案为：7：8 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键． 17．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24 九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 手拉手型相似 19．（23-24 九年级上·广西北海·期末）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．易知______； 【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，． 则______； 【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值： （2）延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】问题呈现：1；类比探究：；拓展提升：（1）；（2） 【详解】问题呈现： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1； 类比探究： 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：； 拓展提升： 解：（1）∵，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； （2）∵，，则， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握全等三角形的性质和相似三角形的性质是解题关键． 20．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形和四边形都是矩形，三点在一直线上，连接并延长交边于点，． (1)求证：①：②若，求的值． (2)若，，请直接写出长 【答案】(1)①证明见解析；②； (2) 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 三角形内接矩形型相似 21．（23-24 九年级上·上海金山·期末）在锐角中，是边上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在边上，那么矩形的周长是 ． 【答案】24 【详解】解：如下图， ∵矩形内接于中， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 矩形的周长为． 故答案为：24． 22．（23-24 九年级上·安徽滁州·期末）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 23．（23-24 九年级上·上海·期末）如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为H， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（23-24 九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在正方形中，点为中点，连接，在上取点，作，使得，，且点、分别在边、上，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点F作、垂足分别为M、N，连接， ∴， ∵在正方形中， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴，平分，即， ∴点在正方形对角线上， ∵，， ∴，即 ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24 九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 3．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（    ） A．21 B．28 C．36 D．42 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 4．（23-24 九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设 ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， 在中，， 过点F作于点M，则 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点，且 ∴ ∴ 在中， 即 整理得，， ∵ ∴， ∴ ∴（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 5．（23-24 九年级上·河南焦作·期末）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接 ∵ ∴设，则 ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵是的中点， ∴， ∴ ∵点G是中点 ∴是中位线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形中位线的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键正确作出辅助线． 6．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 7．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，E是上的点，且，连接并延长，交于点F，，分别交于点M，N． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 8．（23-24 九年级上·河南焦作·期末）如图，为线段的中点，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：为线段的中点，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ； （2）证明：，，， ， ，，， ， ，， ， ， ． 9．（23-24 九年级上·广东珠海·期末）如图，点D，E分别是边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，， (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）∵点D在线段的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 10．（23-24 九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②5 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （2）①解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴ ∴   ∴ 解得：(舍去负值)     ∴ ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．（23-24 九年级上·四川峨眉·期末）如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴， ∴． 12．（23-24 九年级上·重庆·期末）已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． (3)如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，延长至，使，延长至，使，连接、、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ； （3）解：在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于， ∵，， 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当点与点重合时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$