串讲03 圆锥曲线与方程（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

高二数学上学期·期末复习大串讲 串讲03 圆锥曲线与方程 苏教版（2019） 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 十二大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的 . 常数 焦点 焦距 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 2.椭圆的简单几何性质 知识梳理 范围 _____________________ ______________________ 顶点 ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ 轴长 短轴长为___，长轴长为____ 焦点 _____________________ ___________________ 焦距 |F1F2|＝____ 对称性 对称轴：_________，对称中心：_____ 离心率 _____________ a，b，c的关系 __________ －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c x轴和y轴 原点 a2＝b2＋c2 知识梳理 3.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 绝对值 小于 焦点 焦距 知识梳理 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形     性质 焦点 ___________________ ____________________ 焦距 __________ 范围 _______或_____，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：_______；对称中心：_____ 4.双曲线的标准方程和简单几何性质 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a x≥a 坐标轴 原点 知识梳理 性质 顶点 ____________________ ____________________ 轴 实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B1B2，长：___，实半轴长：___，虚半轴长：___ 离心率 e＝ ∈_________ 渐近线 ________ _________  a，b，c的关系 c2＝______(c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b (1，＋∞) a2＋b2 知识梳理 5.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 相等 焦点 准线 知识梳理 6.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 _______ ________ _______  _______  知识梳理 准线方程 _______ ________ _______  _______  对称轴 _____ ____ 顶点 ______ 离心率 e＝__ x轴 y轴 (0,0) 1 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 (1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大. 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. 常用结论+技巧点拨 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其 长为 . 双曲线线常用结论 常用结论+技巧点拨 (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为 双曲线的左、右焦点，则 ＝ ，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为 (t≠0). 常用结论+技巧点拨 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2； 常用结论+技巧点拨 (3) ； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 03 题型剖析 十二大题型典例剖析+变式训练 【例1】（2024·高二·江西赣州·期末）若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2， 由，得， 则椭圆的标准方程为：． 故答案为：． 题型一：椭圆的标准方程与定义 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·北京石景山·期末）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 ． 【答案】 椭圆 【解析】方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以半短轴长， 所以其标准方程为． 故答案为：椭圆；． 题型一：椭圆的标准方程与定义 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·上海黄浦·期末）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设椭圆C的标准方程为（），右焦点为，连接． 由已知，得．又，所以． 在中，． 由椭圆的定义，可知，所以， 所以， 故椭圆C的标准方程为． 故答案为：． 题型一：椭圆的标准方程与定义 典型例题 【例2】（2024·高二·甘肃白银·期末）已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 即，则，所以； 则， 设，所以， 由余弦定理知，解得， 因为，所以，即双曲线的方程为． 题型二：双曲线的标准方程与定义 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为 ，标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是， 所以设双曲线的标准方程为， 又因为双曲线经过点，则有，又因为， 所以或，因为，所以， 双曲线方程为， 所以双曲线的实轴长为；标准方程为， 题型二：双曲线的标准方程与定义 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·河南南阳·期末）已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为离心率为，， 所以的标准方程为（答案不唯一）， 与对应分母的比值为3或都对． 故答案为：（答案不唯一） 题型二：双曲线的标准方程与定义 典型例题 【例3】（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）以直线 为准线的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的准线为，则，解得， 所以由抛物线的定义可知所求抛物线方程为， 故答案为： 题型三：抛物线的标准方程与定义 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】抛物线的焦点到准线的距离为2，即，， 当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为， 当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为， 故答案为：． 题型三：抛物线的标准方程与定义 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·天津河北·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是， 所以，解得， 所以抛物线方程为． 故答案为： 题型三：抛物线的标准方程与定义 典型例题 【例4】（2024·高二·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 ． 【答案】14 【解析】因为，，所以， 故的周长为． 故答案为：14 题型四：焦点三角形面积、周长问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 ． 【答案】4 【解析】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为． 故答案为：4 题型四：焦点三角形面积、周长问题 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由题意，， 不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，． 故答案为：． 题型四：焦点三角形面积、周长问题 典型例题 【例5】（2024·高二·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为． 故选：C． 题型五：焦半径问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·广东清远·期末）椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【解析】椭圆中，所以， 由椭圆的定义可得， 又，所以，即点到另一个焦点的距离是16． 故选：D． 题型五：焦半径问题 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·黑龙江大庆·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【解析】设，，，，，，抛物线焦点坐标，准线方程：， ，点是重心， 则，． 而，， ， 故选：D． 题型五：焦半径问题 典型例题 【例6】（2024·高二·云南德宏·期末）当取何值时，直线与椭圆相切、相交、相离． 【解析】将代入中， 得． ， 故当即时，直线和椭圆相交． 当即时，直线和椭圆相切． 当即或时，直线和椭圆相离． 题型六：直线与圆锥曲线的位置关系 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·云南文山·期末）已知抛物线和直线． （1）求抛物线焦点到准线的距离； （2）若直线与抛物线有两个不同的交点，求的取值范围； 【解析】（1）由抛物线可得：焦点坐标为，准线为直线：， 所以抛物线焦点到准线的距离为． （2）联立方程组，消去得：， 由题意知：直线与抛物线有两个不同的交点， 则，解得且 所以的取值范围是：． 题型六：直线与圆锥曲线的位置关系 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在上，证明：直线与相切． 【解析】（1）因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为． （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 题型六：直线与圆锥曲线的位置关系 典型例题 【例7】（2024·高二·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 ． 【答案】10 【解析】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为，，即， 的最大值为， 如图，当四点共线时，“=”成立， ，，， 所以的最大值为． 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以， 即的最小值为， 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】抛物线的准线为， 设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4． 故答案为：4． 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【例8】（2024·高二·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率． 故选：B 题型八：离心率问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故，故选：B． 题型八：离心率问题 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，．故选：C 题型八：离心率问题 典型例题 【例9】（2024·高二·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知， 所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为， 即． 故答案为： 题型九：中点弦问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·河南南阳·期末）已知点为动直线：所过的定点，若椭圆截直线所得的弦被点平分，则 ． 【答案】 【解析】即，所以． 设直线与椭圆的两个交点为，，则 ①②得， 又，， 所以， 即． 题型九：中点弦问题 典型例题 【变式9-2】（2024·高二·上海杨浦·期末）若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】设过点的弦的端点为、， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，则， 两式作差可得， 因此，直线的斜率为． 故答案为：． 题型九：中点弦问题 典型例题 【例10】（2024·高二·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 题型十：轨迹问题 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·贵州黔南·期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为． 故选：A． 题型十：轨迹问题 典型例题 【变式10-2】（2024·高二·甘肃兰州·期末）已知圆：和圆：， 动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 题型十：轨迹问题 典型例题 【例11】（2024·高二·江苏南京·期中）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 【解析】（1）将四个点代入抛物线方程解得，，，， ∴，在抛物线上， 故抛物线方程为 故，为椭圆上的点 ∴解得 ∴椭圆C方程 （2）设，， 则∴∴ 为定值． 题型十一：定点定值问题 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为．若0，试判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以解得 所以椭圆的方程为． （2）如下图所示： 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 直线的方程为，即， 题型十一：定点定值问题 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为．若0，试判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 联立方程组消去，得． 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得，所以． 因为， 所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值1． 题型十一：定点定值问题 典型例题 【例12】（2024·高二·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值． 【解析】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为． （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称． 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即． 又，直线的方程为， 令，得，即． 题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题 典型例题 【例12】（2024·高二·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值． 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，． 所以四边形面积的最小值为． 题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题 典型例题 【变式12-1】（2024·高二·江苏无锡·期中）已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程． 【解析】（1）设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为． （2）由题可设． 将代入，消去，得． 当，即时，有． 题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题 典型例题 【变式12-1】（2024·高二·江苏无锡·期中）已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程． 所以 又点到直线的距离， 所以的面积． 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足． 所以的面积最大值为，此时直线的方程为或． 题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 1.（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 2.（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【解析】圆C：的圆心，半径， 由，得， 则点到直线的距离为1， 双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为： 3.（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【解析】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 4.（23-24高二下·云南临沧·期末）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【解析】直线OD的斜率为，而， 则直线AB的方程为，即， 由消去x并整理得：， 设，则， 则，则，解得， 所以抛物线C的方程为. 5.（23-24高二下·云南保山·期末）已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因分别位于轴的两侧且都在抛物线上 则可设，，且，如图所示： 由得， 则有的面积， 的面积， 所以，当且仅当时，取等号． 6.（23-24高二下·安徽安庆·期末）双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】设双曲线的半焦距为c，可得， 即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，， 即有，可得， 即. ＋＝1 (a>b>0)  ＋＝1 (a>b>0) e＝(0<e<1) －＝1 －＝1 y＝±x y＝±x x＝－ x＝ y＝－ y＝ (2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. －＝t (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； ＋＝ $$