函数的奇偶性、对称性与周期性限时训练--2025届高三数学二轮复习

函数的奇偶性、对称性与周期性 一、单项选择题 1．(★)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－1，若f(lg m)＝，则f 等于(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 2．(★)(2023·襄阳模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x－1)>0的解集为(　　) A．(－3,3) B．(－∞，－2)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,2) D．(－∞，－3)∪(0,3) 3．(★★)(2023·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，设a＝f(2)，b＝f ，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 4．(★★)(2024·宜春模拟)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　) A．直线x＝－e对称 B．点(－e,0)对称 C．直线x＝－2对称 D．点(－2,0)对称 5．(★★)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x－1，则f(2 024)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 6．(★★)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则使不等式f(x＋1)<f(2x)成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 二、多项选择题 7．(★)下列函数中，为奇函数的是(　　) A．y＝2x－2－x B．y＝ln(x＋1)＋ln(x－1) C．y＝ D．y＝ln 8．(★★)(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|，则下列结论正确的有(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增 C．f(1)＝0 D．f(2 023.5)＝0 9．(★★)(2023·石家庄模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 B．函数f(x)的周期为1 C．f(2 021)＝0 D．f(2 022)＝0 10．(★★★)(2023·泉州模拟)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．现已知函数f(x)＝ax＋＋a，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x＋1)－2a为奇函数 B．当a>0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．若方程f(x)＝0有实根，则a∈(－∞，0)∪[1，＋∞) D．设定义域为R的函数g(x)关于点(1,1)中心对称，若a＝，且f(x)与g(x)的图象共有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)的值为4 048 三、填空题 11．(★★)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 12．(★★★)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的奇偶性、对称性与周期性 一、单项选择题 1．(★)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－1，若f(lg m)＝，则f 等于(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　由f(x)＝x3＋x－1，可得f(－x)＋f(x)＝－2， 又f(lg m)＝， 所以f ＝f(－lg m)＝－2－＝－. 2．(★)(2023·襄阳模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x－1)>0的解集为(　　) A．(－3,3) B．(－∞，－2)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,2) D．(－∞，－3)∪(0,3) 答案　B 解析　根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 则f(x)在(－∞，0)上单调递减， 又由f(－3)＝0，则f(3)＝0，则函数f(x)的草图如图所示， 若f(x－1)>0，则有x－1<－3或0<x－1<3，解得x<－2或1<x<4， 即不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，－2)∪(1,4)． 3．(★★)(2023·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，设a＝f(2)，b＝f ，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 答案　D 解析　由f(2－x)＝f(x)，可知f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝f(2)＝f(0)， 又因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，1]上单调递增， 所以f(－1)<f(0)<f ，即c<a<b. 4．(★★)(2024·宜春模拟)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　) A．直线x＝－e对称 B．点(－e,0)对称 C．直线x＝－2对称 D．点(－2,0)对称 答案　D 解析　由题意f(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e－(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e2e＋x，它与f(x)之间没有恒等关系，相加也不为0，A，B均错， 而f(－4－x)＝e－4－x＋4－e－(－4－x)＝e－x－e4＋x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称． 5．(★★)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x－1，则f(2 024)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案　B 解析　根据题意，函数f(x－1)是偶函数， 则函数f(x)的对称轴为x＝－1， 又由函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称， 则有f(－x)＝f(－2＋x)，f(－x)＝－f(x＋2)， 联立得f(x＋2)＝－f(－2＋x)，则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， 则函数是周期为8的周期函数， 所以f(2 024)＝f(253×8)＝f(0)＝－1. 6．(★★)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则使不等式f(x＋1)<f(2x)成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　由|x|－1>0得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， f(－x)＝lg(|x|－1)＋2－x＋2x＝f(x)，故f(x)为偶函数， 而y＝lg(|x|－1)，y＝2x＋在(1，＋∞)上单调递增， 故f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 则f(x＋1)<f(2x)可化为 解得x>1或x<－2. 二、多项选择题 7．(★)下列函数中，为奇函数的是(　　) A．y＝2x－2－x B．y＝ln(x＋1)＋ln(x－1) C．y＝ D．y＝ln 答案　ACD 解析　对于A，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数； 对于B，y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)，定义域为(1，＋∞)，所以为非奇非偶函数； 对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示， 根据图象可知，为奇函数； 对于D，设f(x)＝ln，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln 1＝0， 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 8．(★★)(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|，则下列结论正确的有(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增 C．f(1)＝0 D．f(2 023.5)＝0 答案　ACD 解析　因为函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 故函数f(x)是周期函数，周期为2，故A选项正确； 由奇函数性质得，函数f(x)在区间(－1,0)与(0,1)上的单调性相同，由函数的周期性得函数f(x)在(0,1)上的单调性与在(2,3)上的单调性相同，因为x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|＝易知f(x)在(2,3)上不单调，故B选项错误； 由函数f(x)在R上的奇偶性、周期性可得f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)，联立解得f(－1)＝f(1)＝0，故C选项正确； 由函数的周期性得，f(2 023.5)＝f(1.5)＝－f(0.5)＝－f(0.5＋2)＝－f(2.5)＝0，故D选项正确． 9．(★★)(2023·石家庄模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 B．函数f(x)的周期为1 C．f(2 021)＝0 D．f(2 022)＝0 答案　AC 解析　∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数， ∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确； ∵函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B错误； ∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数， ∴ f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正确； f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误． 10．(★★★)(2023·泉州模拟)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．现已知函数f(x)＝ax＋＋a，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x＋1)－2a为奇函数 B．当a>0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．若方程f(x)＝0有实根，则a∈(－∞，0)∪[1，＋∞) D．设定义域为R的函数g(x)关于点(1,1)中心对称，若a＝，且f(x)与g(x)的图象共有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)的值为4 048 答案　ACD 解析　对于A，因为f(x＋1)－2a＝a(x＋1)＋＋a－2a＝ax＋，所以y＝ax＋是奇函数，故A正确； 对于B，因为f ＝a＋2，f(2)＝3a＋1，所以f －f(2)＝1－，当0<a<2时，f(x)在(1，＋∞)上不单调递增，故B错误； 对于C，令f(x)＝ax＋＋a＝0，显然x≠－1，所以a＝，因为1－x2∈(－∞，0)∪(0,1]，所以∈(－∞，0)∪[1，＋∞)，故C正确； 对于D，由A可知，当a＝时，f(x)关于点(1,1)中心对称，且g(x)关于点(1,1)中心对称，所以这2 024个交点关于点(1,1)对称，故(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)＝(x1＋x2＋…＋x2 024)＋(y1＋y2＋…＋y2 024)＝2 024＋2 024＝4 048，故D正确． 三、填空题 11．(★★)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 答案　2 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数f(x)为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意． 12．(★★★)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________. 答案　0 解析　函数f(x＋1)是奇函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)，函数f(x＋2)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(4－x)＝f(x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)，从而f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， 由已知f(2)＝1，f(3)＝0，则f(1)＝f(3)＝0，f(0)＝－f(2)＝－1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋…＋[f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)]＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$