精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2024年11月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 过点且与直线垂直的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设所求的直线方程为：，把点代入解得即可得出． 【详解】因为所求直线与直线垂直，故设所求的直线方程为：， 把点代入可得：，解得， 故所求的直线方程为：， 故选：B ． 2. 若直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 3. 如图正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义作出异面直线与所成的角，将该角放在三角形中分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，连接、， ∵在正方体中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，又∵， ∴（或其补角）就是异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则在正方形中对角线， 在正方形中对角线，在正方形中对角线， ∴是等边三角形， ∴. .故选：C. 4. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 5. 过点的直线被圆所截弦长最短时的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直，先求出过点的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直， 圆的圆心为，所以过点的直径的斜率为， 故所求直线为，所求直线方程为，即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题. 6. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】椭圆对应的， 所以对于双曲线，有， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 7. 椭圆的右焦点到直线的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求得右焦点的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，则， 所以椭圆的右焦点为， 则右焦点为到直线的距离为. 故选：C. 8. 一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆位置关系分析可得，结合椭圆的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 因为，可知圆与圆内切于点， 显然圆心不能与点重合，设圆的半径为， 由题意可知：，则， 可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外）， 且，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为， ， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确． 故选：ACD． 10. 已知双曲线焦距长为6，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的渐近线为 D. 直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项. 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为，且两圆相交，则，解得. 故答案为： 13. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 【答案】30° 【解析】 【分析】根据题意，结合二面角的定义，可知为二面角的平面角，解直角三角形PCA即可得解. 【详解】由题可得，即， 如图： 平面ABC，平面ABC，， 又，，PC，平面PAC， 平面PAC， 而平面PAC，， 即为二面角的平面角， 在直角三角形PCA中，， 可得 故答案为： 14. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】法一：设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.法二：利用焦点三角形的面积公式快速求解. 【详解】 解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 解法二：如图，的面积为. 故答案为：2. 四、解答题本题共 5 小题，共 77 分. 15. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的标准方程是或. （2）依题意，双曲线的渐近线方程为，， 若双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 所以双曲线的标准方程为或. 16. 已知两圆和．求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可； （2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可. 【小问1详解】 由已知化简两圆的方程为标准方程分别为： ， 则圆心分别为，半径分别为和， 当两圆外切时，满足； 【小问2详解】 当时，有，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长． 17. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2 （2）x＝0或3x+4y﹣4＝0 【解析】 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. 【小问2详解】 k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得或，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年11月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 过点且与直线垂直的直线方程为( ) A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图正方体中，异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 5. 过点的直线被圆所截弦长最短时的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的右焦点到直线的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 10. 已知双曲线焦距长为6，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的渐近线为 D. 直线与相交所得弦长为 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 13. 三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为__________. 14. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 四、解答题本题共 5 小题，共 77 分. 15. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 16. 已知两圆和．求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 17. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $