精品解析：重庆市清华中学校2024-2025学年高二上学期12月检测（期中）数学试题

重庆市清华中学校高2026届高二上期12月检测 数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 命题：王悦 审题：付伟 终审：谭小刚 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，由， 得到，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程化到一般方程，再作选择即可. 【详解】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为， 展开化为一般方程为． 故选：B． 3. 与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误. 故选：C. 4. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间中点满足，则三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，若，则共面 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：根据四点共面的结论分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点共线，故A正确； 对于选项B：由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于选项C：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故C错误； 对于选项D：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故D正确； 故选：C 6. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线方程，代入双曲线方程后应用韦达定理得，利用中点坐标得出的关系式，整理后求得离心率． 【详解】由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即， 故选：A. 7. 已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C 8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 焦点在轴上 B. 长轴长为10 C. 短轴长为4 D. 离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出椭圆的，的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】由知，，，椭圆的焦点在轴上，故A正确； ，长轴长为，故B正确； ，短轴长为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为，，由可得，分类讨论、、三种情况下，化简上式即可. 【详解】由题意，建立如图空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，， 则，由， 得，即①， 当时，①式化得：， 此时点的轨迹为抛物线； 当时，①式化得：， 即， 等式两边同时除以，得②， 当时，，则②式为双曲线方程，即点的轨迹为双曲线； 当时，，则②式为椭圆方程，即点的轨迹为椭圆. 故选：BCD 11. 已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得的关系，则离心率可求；设出的坐标，根据对称性写出的坐标，利用点差法可求得的表示，结合的关系可求解出的值. 【详解】设椭圆的右焦点， 连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形， 则，且由，可得， 所以，则，． 由余弦定理可得， 所以，所以椭圆的离心率． 设，，则，，， 所以，又，，相减可得． 因为，所以，所以． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值. 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即， 两边平方得，解得，所以. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 故答案为：. 14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可表示出，结合图象及球的性质求出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设点，所以，， 所以 ， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知a为实数，设直线：，：. （1）若，求a的值； （2）若，求与的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，若， 则，解得. 【小问2详解】 若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 16. 如图，在正方体中，分别为的中点． （1）求异面直线与的夹角的正弦值； （2）求点到线段的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别取异面直线的方向向量，利用夹角的余弦公式，再结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）根据（1）空间直角坐标系，利用空间点到直线的距离公式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， 取， 设异面直线与的夹角为， 则， 可得. 【小问2详解】 由（1）可知，取， 直线的单位方向向量， 点到线段的距离为. 17. 求下列曲线的方程 （1）若圆与轴相切，且圆心为关于直线的对称点，求圆的标准方程． （2）双曲线的焦点在轴上，焦点为，焦距为，双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求双曲线的标准方程； （3）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且，求拋物线的方程； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据对称得到圆心，圆与轴相切可知圆的半径等于圆心纵坐标的绝对值，即可求得结果； （2）根据焦距得到的值，再根据焦点到渐近线的距离得到的值，再根据得到的值，即可求出结果； （3）根据抛物线的性质设出抛物线方程，已知抛物线上一点横坐标可得到该点的纵坐标，再根据向量的数量积公式列出方程，可求得结果. 【小问1详解】 设关于直线的对称点， 所以，直线斜率为， 所以①， 又因为中点在直线上， 所以②， 联立①②可求得，即圆心为， 又圆与轴相切，所以半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为焦距为，所以，即，， 设双曲线方程为，右焦点为到其中一条渐近线（即）的距离为， 根据点到直线距离公式，又， 所以，解得，即， 所以， 所以双曲线的标准方程为； 【小问3详解】 因为抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为轴，抛物线上一点的横坐标为2， 所以抛物线开口向右，设抛物线方程为，焦点， 当时，， 不妨设点，所以， 因为，所以， 解得， 所以抛物线方程为. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 连接，因为为等边三角形，为中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设知四边形为菱形，且，所以为正三角形， 又因为为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面，即平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市清华中学校高2026届高二上期12月检测 数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 命题：王悦 审题：付伟 终审：谭小刚 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间中点满足，则三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，若，则共面 6. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 焦点在轴上 B. 长轴长为10 C. 短轴长为4 D. 离心率为 10. 在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 11. 已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是______． 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知a为实数，设直线：，：. （1）若，求a的值； （2）若，求与的距离. 16. 如图，在正方体中，分别为的中点． （1）求异面直线与的夹角的正弦值； （2）求点到线段的距离． 17. 求下列曲线的方程 （1）若圆与轴相切，且圆心为关于直线的对称点，求圆的标准方程． （2）双曲线的焦点在轴上，焦点为，焦距为，双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求双曲线的标准方程； （3）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且，求拋物线的方程； 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $