精品解析：四川省南充道鑫双语学校高一2024-2025学年11月28日数学限时训练

道鑫双语学校高2024级（高一）11月28日限时训练 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下关于数的大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________. 13. 已知函数，则的单调递减区间为______． 14. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 17. 美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的、两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为（与都为常数），其图象如图所示． （1）试分别求出生产、两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式； （2）现在公司准备投入亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金） 18. 设，函数为常数，. （1）若函数为的奇函数，求的值； （2）若. ①判断并证明函数的单调性； ②若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. （1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； （2）若函数，求的值； （3）若函数，求，的取值范围.（用表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 道鑫双语学校高2024级（高一）11月28日限时训练 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果. 【详解】， 又，所以. 故选：B. 2. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 4. 已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数是幂函数，再验证即可. 【详解】解：因为函数是幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：D 5. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到方程，求出，，求出函数解析式，代入计算出答案. 【详解】由题意得，，解得， 因为为偶函数， 所以，即， 所以，解得， 所以， 所以． 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数的单调性求解. 【详解】解：当时，，在R上单调递增，故C正确； 当时，，在R上单调递增，在R上单调递减，故B正确； 故选：BC 7. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：A. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下关于数的大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得选项A，B正确；根据可得选项C错误；计算两个数的12次方即可得到选项D错误. 【详解】因为在上是增函数，所以，选项A正确. 因为在上是减函数，所以，选项B正确. 因为，，所以，选项C错误. 因为，，且在上是增函数,所以，选项D错误. 故选：AB. 10. 已知，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果. 【详解】根据题意，由指数函数性质可知 当时，函数单调递减，且， 若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D； 当时，函数，图象可能是C； 当时，函数单调递增，且， 此时交轴正半轴，函数图象可以为B； 故选：BCD 11. 已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解. 【详解】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）. 则解得. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算的值，利用奇函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵是定义在上的奇函数， ∴. 故答案为：. 13. 已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据单调性即可解出不等式. 【详解】不妨设，由条件可得， 即，令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以由得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，按照并集定义，求出，再利用补集的定义，即可求解； （2）当时，对集合是否为空集分类讨论，确定集合的端点位置，即可求出结论. 【小问1详解】 时，集合， 则； 又，所以或. 【小问2详解】 若， 当，即，即； 当时，应满足，解得； 综上知，实数a的取值范围是. 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意可知，所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 17. 美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的、两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为（与都为常数），其图象如图所示． （1）试分别求出生产、两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式； （2）现在公司准备投入亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金） 【答案】（1）生产、两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式分别为、； （2）当时，利润最大，最大利润为千万元. 【解析】 【分析】 （1）由题意得出生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式，将点、的坐标代入函数的解析式，求出、的值，可得出生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式； （2）由题意可得出，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）由题意可知，生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式为， 将点、的坐标代入函数的解析式，得，解得， 因此，生产种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）函数关系式为； （2）由题意可得， ，当时，即当时，函数取得最大值， 即. 因此，当时，利润最大，且最大利润为千万元. 【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数基本性质的应用，解题的关键就是求出函数模型的解析式，考查运算求解能力，属于中等题. 18. 设，函数为常数，. （1）若函数为的奇函数，求的值； （2）若. ①判断并证明函数的单调性； ②若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，再代入检验即可； （2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断； ②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以，即， 即，对比系数可求得. 当时，函数，因为，则， 所以定义域为不合题意舍； 当时，函数，因为，所以定义域为， ，所以是奇函数，所以. 【小问2详解】 ①当时，为上的单调增函数，证明如下： 证明：时，恒成立，故函数定义域为， 任取，，且，则， 因为， 所以为上的单调增函数. ②设命题：存在，使得成立， 下面研究命题的否定： ，恒成立， 若为真命题，由①，为上的单调增函数， 故，恒成立． 设，， 则，解得， 因为为真，则为假命题， 所以实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用单调性解决不等式恒成立问题结合二次函数从而求参数范围. 19. 已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”. （1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由； （2）若函数，求的值； （3）若函数，求，的取值范围.（用表示） 【答案】（1）为“级函数”，且；不为“级函数”，理由：①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在上递减， 所以为“级函数”，且； ②在上递减，且此时； 在上递减，且此时；所以不为“级函数”. （2）当时，；当时，. （3）当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数和反比例函数的性质，结合“级函数”的定义求解； （2）由，分和求解； （3）由，分，则，，则求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，的图象关于直线轴对称， 当时，，； 当时，，. 【小问3详解】 ，易得， ①当，时，，即， 所以，令， 当时，在递增，在递增， 所以； 当时，在递增，在递增，在递减， 所以； 当时，在递减，在递增，在递增， 在递减， 所以； ②当，时，，即， 所以，令， 对称轴是， 在上递减，所以， 因为：； 故：当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为， 当时，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问，由，根据断点和二次函数的对称轴，分当时，由，得到，利用对勾函数的性质求解；当，时，由，得到，从而，利用二次函数的性质而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $