周测6旋转体 祖暅原理与几何体的体积- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

6.祖公元 5-6 世纪，冲之之子)，是我国齐梁时代的数学家，佳据出了一条原理：“势既同， 周测6 旋转体祖日恒原理与几何体的体积 用积不客异，“这句话的意思是：两个等高的儿何体若在所有等高处的水平截面的面积相等， 这两个儿何体的体积相等.如图，将底面直径管为 ，高皆为 的椭半球体和已被挖去了作体 (时：40分计分值：70分) 的圆柱体放置于同一半面上，用平行于平面且与 距离为 的平面截再个儿何体得到 $$S _ { n }$$ 一、单项选择(本题共+个小题，每题5分，共20分，在每小给出的四个选项中，只有一项是特 及 $$S _ { n }$$ 两截面，可以证明 $$S _ { 3 4 } = S _ { n }$$ 总成立，若桶半球的短轴 AB=6， 长半轴 CD=5， ，下列结论 合题日要求的) 正确的是 1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的儿何体包括 A.一个台、两个圆锥 B.两个柱，一个周 $$S _ { n } .$$ $$s _ { n } ，$$ $$C _ { n }$$ ，两个圆台，一个黑柱 D.一个圆柱，两个属 2.早在公元5世纪，我国数学家祖明在求球约体积时，就创造性的 提出了一个源理：“势既同，则积不容异*，如，已知两个体积 A.半体的外相为3x 分别为 $$V _ { 1 } ， V _ { 2 }$$ 的几何体夹在再个平行平面之间，用任章一个平行 B.椭半球体的体积为 15π 于这两个平面的平面截这两个几体，得的截面面积分为 C.如果 $$\overrightarrow { C F } = 4 \overrightarrow { F D } ，$$ 以 的球在该腐半球内，那么当球F体积最大时，挺半球体挖去球 $$S _ { 1 } ， S _ { 2 } ，$$ $$V _ { 1 } = V _ { 2 } "$$ 是 $$“ S _ { 1 } = 5 _ { 2 }$$ "的条件 () A. 充分不必要 必要不充分 F后，体积为 $$\frac { 8 6 } { 3 } \pi$$ C.充 D.既不充分也不必要 D.如果 $$\overrightarrow { C E } = 4 \overrightarrow { F D } ，$$ 以 为球 的球在该半球内，那么当啡 体积最大时，该椭半球体挖去球F 长 后，体积为 3.已知银 PO， .其轴藏面(过园作旋转轴的截面)是底边长为 $$\frac { 2 \pi } { 3 }$$ 的等三角形，该 选择题答题栏 $$A . 6 x m ^ { 2 }$$ $$B . 6 \sqrt 3 \pi m ^ { 2 }$$ $$C . 3 \sqrt 3 \pi m ^ { 2 }$$ $$D . 1 2 \sqrt 3 \pi m ^ { 3 }$$ 颜号 2 a 4 如图所示，一个球内按圆台，已知台上下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100m，该 台的体积大 () 三，填空题本题共2个小，每题5分，共10分) 7.已知两个球的表面税之差为 ，它们的大课周长之和为 16π， ，这两个球的半轻之差 为 8.中国古代教学家刘徽在九章算术注)中，称一个正方体内两个互相季直的内切圆柱所围成的立 布 体为“车合方盖”，如图 (1)(2)， .末求得车合方的体积直浮“陋形指意，偶失正”，不 得不说“敢不阅疑，以能言者”的 200年后，扭冲之的儿子淑提出“势医同，则不容”， $$A . \frac { 1 7 5 \pi } { 3 }$$ D.T5π $$C . \frac { 2 3 6 \pi } { 3 }$$ $$D . \frac { 2 5 y \pi } { 3 }$$ 后世称为祖理，甲两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，两立体体积相等如图 (3)(4)， 二、多项选择题(本题共2个小题，每题5分，共10分，在每小题给出的两个选项中，有多项是特合 想日求的，全部选对得5分，部分选对得2分，请选多得 5.下列说法正的是 () A.夹在柱的两个平行截面的几何体还是一个旋转体 (1) (2) B.圆作用平行于底面的平面截去一个小后余的部分是台 已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方后的剩余儿何体与长宽高皆为入分之一正方 C.圆锥的顶点与底面周上任意一点的连线都是母线 体棱长的倒四等彩等积”，祖理由此推算出车合方的体积，据此可知，若正方体的棱长为 D.过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个 1.其合方盖的体积为， 11 四、解答蓝{本题共3个小题，共和分，解著应写出变字悦明，证明过程和演算击擦) 11.「本小题横分12分 ,(木小题满分8分 知阁.以菱形A做D的一边A出所在的直规为轴，其余三边提转·周思成的面国成个儿灯 如图所示为洗柱与醒雏的组合体，已知智镀部分的商为立园性部分的高为2，意面城的半径为 体，已知AB=8∠D4B=吾 1,求该组合体的体队. 1)求该儿何体的体积： (2)求该几同体的表面积， 10,(本小题离分10分) 用一个过腰锥的轴的平童去载惯管，断制的镜由三角形称为测策的结鼠图，也称为哪能的子行 三角思，如倒，限练S)靠童暖的半径是2存，轴就面5A日的南积是4尽， (1求用锥S)的母线长： 《2)过周管0的再条母线SB,SC作一个就面，求截面SC面积的最大值 州风测数学必蜂第冈看B吸在R△SOM中，SM=√SO+OMF=√W1+4=√5， 所以OO,=√OB-O,B=3,O0:= 所以棱雏的侧棱长为3，斜高为√5. OA-0:A=4. (2)四棱维的表面积为S=Sa雄D十4S△sx= 所以O,0:=7, 1 4×4+4X2×4XV5=16+85. 所以圈台的体积V= 3 ×(9π+16x十12x)×7= 周测6旋转体祖日恒原理与几何体的体积 259开，故选D 3 1.D解析：图①是一个等腰梯形，CD为较长的 5.BC解析：对于A,当两个平行平面与圆柱底面平 底边， 行时， 以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体， 为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆雏 当两个平行平面与圆柱底面不平行时， 故选D. 夹在國柱的两个平行截面间的几何体不是旋转体， 故A错误： 对于B,国锥用平行于底面的平面裁去一个小国锥 后剩余的部分是圆台，故B正确： 对于C,由园锥的性质得圆锥的顶点与底面圆周上 2 任意一点的连钱都是母线，故C正确： 2.B解析：根据祖啦原理可知，当S,=S,时，一定有 对于D,过球面上球的直径的两个端，点的大圆有无 V=V:成立， 数个，故D错误.故选BC 反之，当V,=V,成立时，不一定有S,=Sg成立， 6.AC 解析：由题意知，短轴AB=6,长半轴CD=5 比如两个完全相同的三棱雏，正置和倒置时，S:,S 的稀半球体的体积为V= 与Vm球三V一V维一 不一定相等， 故“V,=V:”是“S,=S,”的必要不充分条件.故 m×()×5-7×x× ×5=30r,故A正 选B. 确，B错误： 3.B解析：如图所示， 球的轴戴面是椭圆，它的短半轴长为3，长半轴长 为5，所以半焦距为4， 由于CF=4FD,所以点F为椭圆的焦点，因此FD 是椭圆的最小焦半径，即球F的最大半径为1，该 设圆锥的半径为r,母线为， 486 精半球体挖去球F后，体积为30x一3π一3元，故 由题意知r=OB=2AB=3, C正确，D错误.故选AC. 在R△POB中，∠BO=专∠BPA= 1 5 1. 2x_元 解析：设两个球的半径分别为R和r, 33 则R-4xr2=80, 所以1=BP=OB 3 =2v3, 2xR+2r=16π， R3-r2=20, 即R十r=8: 所以圆锥侧面积为xrl=π×3×2V3=6vV3πm.故 .R2-r2=(R+r)(R-r)=8(R-r)=20,解得 选B. 205 R-r= 4.D解析：因为圆台外接球的表面积S=4πr2= 82' 100π，所以球的半径r=5, 即两个球的半径之差为。 设圆台的上、下底面圆心分别为O2,O1,在上、下底 面圆周上分别取点A,B, 连接O0,OO1,OA,OB,O:A, 解析：由题知，V:体=1×1X1=1, O1B,如图， 因为圆台上、下底面的半径分别为 为一-号×-所以 3和4， 2 所以01B=4.0A=3, V6=3 周周测数学必修第四册B版 ·30· 9.解：依题意可知，底面國的半径为r=1, 2.A解析：点A在直线a上，则A∈a 1 国柱部分的高为，=2，圆维部分的商为：=2： 因为点A不在平面a内，所以A∈a.故选A. 3.B解析：因为A∈l,B∈l,且A任a,B∈a, 所以圆柱部分的体积为V=rh,=πX1X 所以l∩a=A.故选B. 2=2x, 4.C解析：对于A,根据A∈a且A∈B,则A是平面 1 1 a和平面B的公共点， 阔锥部分的体积为V:=3xrh,=3×rX1'X 又a∩3=l,由公理2可得A∈1，故A正确： 11 对于B,由公理3：过不在一条直线上的三个点，有 26π· 且只有一个平面，又A∈，B∈B,且A,B,C∈a, 所以演组合体的休积为V=V十=2十行一骨 13 则C任B,故B正确： 对于C.由于平而a和平面月位置不确定，则直线a 1 10.解：(1)因为轴截西SAB的面积为？×45× 与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重 合，故C错误： S)=43. 对于D,由公理1：如果一条直线上的两个点在一个 所以SO=2, 平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确.故 选C. 所以圆锥S0的母线长1=√V(23)8+2=4. 5.BCD解析：对于A,l亡a,A∈l,则点A可能在平 (2)在轴截面SAB中，SO=2,SA=4, 面a内，也可能不在平面a内，故A错误： 所以∠SAB=音，∠ASB-行 对于B,为基本事实2，可判断面面相交，故B正确： 对于C,为基本事实1，可判断出线在面内，故C 设∠BSC=0,则0<0<经 正确： 对于D,A∈a,A∈l说明直线与平面有公共点， 1 所以△SBC的面积S=2'sin0=8sin8, 又1在a,所以l∩a=A,故D正确.故选BCD. 6.BCD解析：连接BD,OM, 所以当0=受时，藏面SBC面积有最大值，最大值 为8. 11.解：(1)如图，这是所求的几 何体，该几何体上部分为圆 锥，下部分为在圆柱内挖去 C 一个与上部分相同的圆锥， 故该几何体的体积等于图中 由M∈A,C,A,CC平面ACCA,,可得A,M,O, A,四点共面，故B正确， 圆柱的体积. 由B选项分析可得A,O,C,M四点共面，故C 易知该國柱体的高为CD=2 正确， 又，点D到AB的距离为间柱底面半径R,则R= 连接AC,A:C:,:ABCD-AB:CD:是长方体， 2sin=5. O是B,D1的中点，所以O∈A,C1,OAC平面 AB1D1.OAC平面ACC1A1· 故该几何体的体积为π·（√3）×2=6π。 .平面ACCA,∩平面AB,D1=OA, (2)因为一个圈锥的侧面积为π×√3X2=2V3π， 而直线A,C交平面AB,D1于点M,即M∈OA, 圆柱的侧面积为2π×√3×2=4√3π， 故D正确， ,B,B,O都在平面BB,D,D上，若M∈平面 所以该儿何体的表面积为2×2√5π十4√3π= BBDD,则直线OMC平面BB1D1D, 83π A∈平面BB,D1D,显然A平面BBDD,故 周测7平面的基本事实与推论 A不正确.故选BCD. 7.ICa 1.D解析：对于A,不共线的三点确定一个平面，故 解析：因为直线1在平面a内，则lCa 选项A错误： 8.3 对于B,经过一条直线和这条直线外一点可以确定 解析：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直 一个平面，故选项B错误： 线只能确定一个平面： 对于C,空间四边形不是平而图形，故选项C错误： 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能 对于D,由基本事实（公理）推论，经过两条相交直 确定三个平面， 线，有且只有一个平面，故选项D正确，故选D. 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面· ·31· 答案全解全析