阶段检测一 平面向量及其应用- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

解得BC=2我BC=一1（含）. :7,D解析：建立如图所示的平面直角坐 Sam-音c·cDsn∠BcD-号×2x 标系， 2 由题意设A(4.0),B(0,b),其中0写 303 a|≤2,0≤b|≤2. 10=2 所以1AB1=2一a2+b=4 令a=2cos8,b=2sin0, 阶段检测一平面向量及其应用 则A(2cos8,0),B(0,2sin9), 所以Pi=(2eos0-3,-4),Pi=(-3,2sin0-4). 1.C解析：周为两个单位向量e1与e:的央角为号，且alb, 所以Pi.Pi=(-3)×(2cosg-3)+(-4)×(2sin8 所以a·b=(e1十e)·(e,十me:)=ei+mei+(m十1)e· 4)=-6cos0+9-8sin0+16=-10sin(0+gp)+25, 元 e:=e'+me:1+(m+1)elle:1·cos3=1+m十 所以(Pi.Pi)=35,(Pi.Pi)m=15, 所以Pi,P第的取值范圈是[15,35]，故法D m十1=0，解得m=一1.故选C 2 8.A解析：由亚孩定理得sin Asin AC=sin Bsin A, 2 2.C解析：由余弦定理，得=a2十c-2 aceos B=76,所以 B b=219.故选C. 2 3.D解析：国为AD=号AB,即A市=号A店，点E为CD的 B :Ae0,,∈(0，受) 中点， B 所以A方=3A市=3(C市-CA)=3C市+3AC=6CE+ sinA≠0，cos2≠0，sim2=立 3AC=6(AE-AC)+3AC=6AE-3AC. 所以正=合+)=a+6,故选D 由余弦定理得b3=a2十c2一2acc0sB=a2十c2-ac=1 《小导指斋斋利表中 ,”a十c2≥2ae(当且仅当a=c时取等号)， .1≥2ae-ac=ac, A,AC方向上的单位向量 ◆疆高 AC Sa-ac·inB- △ABC面积的最大值为 才故选A e1=e:|=1, 9,ABD解析：对于A,若la十b=a一|b|,则|a十|bP十 则O币=0A+x(e,十e),即AP=(e1十e:). 2a·b=|a+1b12-2a1b,得a·b=-al1b≠0，a 又e1=e:,以e1e:为一组邻边作一个菱形AB,CD1: 与b不垂直，所以A不正确：对于B,由A解新可知，若⊥ 则点P在该菱形的对角线AD1上， b,则a十b1≠|a|一|b1,所以B不正确，对于C,若a+ 所以点P在∠CAB1,即∠CAB的平分线AD上，故动点 b1=|a|-|b,别IaP+|b2十2a·b=|a|2十|b2 P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选A 2a|b,得a·b=一alb,设向量a与b的央角为9，别 5.B解析：，在△ABC中，∠ACB=75,∠CAB=60,AC c0s8=一1，则a与b反向，因此存在实数1，使得b=Aa,所 10m, 以C正确：对于D,若存在实数入，则a·b=AaP,一ab= ∴∠B=180°-（∠ACB+∠CAB)=45 AaF,由于1不能等于0，因此a·b≠-|a|b1,则a+ 由三定限写得品n时C-C b≠|a一b|,所以D不正确，故选ABD. sin B 10,AC解析：对于A选项，由正六边形的几何性质可知， ∠AOB=∠OBC=∠BO=∠ABO=60°， 02=56(m.放遂B 所以OA∥BC,ABOC,所以四边形OABC为平行四边形， 所以C=OA,A对： 对于B选项，因为四边形OABC为平行四边形， 6,D解析：由0耐+20i=m元，得宁0耐+号0成=受之 由平面向量加法的平行四边形法则可得OA+O市+O心 2O≠0，B错： 设0d-0i.则0+号0i=0心， 对于C选项，由正六边形的几何性质可知，OF=OD= A,B,D三点共线，如图所示， DE=EF. 心与O心反向共线， 所以四边形ODEF为菱形，所以O求+Oi1=O呢1， oc-0=BC1. CDm-3' 易知△ODE为等边三角移，则1OE1=1DE1=BC1,所以 4 O市+o币1=0心-0i1,C对： 对于D选项，设正六边形ABCDEF的边长为a,易知C店- m=一4，故速D, E亦， ·69* 答案全解全析 则O耐，Fi=d·A证=01证1o60=, 1600×20, 解得AB=80V5, DE.BC=-D.Ci=-DE,E求=E.E求= 则A,B两点之间的距离为80W5 |Eò1Ecos120=-a, 14.号(0，) 解析：如图所示， 所以OA·FA≠DE,BC,D错.故选AC 11.AC解析：由余弦定理得a2+b2-c2=2 abosC=absin C, 设A==(+A） 解得1anC=2,故A正确： 由acos B十bsin A=c及正孩定理。 BC+A。 可得sin Acos B十sin Bsin A=sinC=sin(A十B), 由D,H,E三点共线， 化简可得sin Bsin A=cos Asin B. 可设A方=kAD+(1一k)AE 国为BE(0,π)，所以sinB>0, 所以sinA=cosA,即nA=1. =A市+1-)（市+2A心） 因为A∈(0，，所以A=买，故B错溪： =(位+)成+1-成， 由A项可知tnC=2,所以c0sC>0且sinC=2c0sC,代 1k t 入sinC+cosC=1, +2 有 解得= 可得5cosC=1,解得osC=5 3,sin C=2 2=1-, 5 因为a=2而，A=牙mc=25】 ∴A-成+号，即A+以-号 6 如图所示，当点F与点C重合时，此时D日最长， 所以由正孩定理可样c=asi血C_ x25 易知△ADH△CEH,且相似比为2：1， =8. sin A E 2 由a+b-c=absin C,可得(2/o)+b-8 0 26x26 ∠DCB■60，在△DCE中，由余弦定现科 DE=DC十CE-2 DCXCE×cos60°=3， 化简可得b一4区6一24=0，解得6=6区或b=一22 所以DE=√，此时满足DE十CE=DC2,所以DE⊥CE。 (舍)，故C王确： 所A∠ADE=0,光时DH=号DE-2 2 ■24，故D错误.故 选AC. 由因知，DEe(6,29） 12.经解析：由巴知可得4=a+4a·b=0, 则Ai.Di=(A市+Di)·D丽=AD.Di+Di 中461+4X21bcms9=0,÷ms0=-号 Dir∈(o,) 15.解：(1)(a+2b)·(b-3a)=-3a+2b-5a·b= 又0e00- -3×2+2×(/3)-5a·b=9, .a·b=-3. 13.805解析：由已知，在△ACD中，∠ACD=15°， .'.cos 8= a·b ∠ADC=150,∠DAC=15 a1b2×5 2 由正发定理，得AC=80sim150 40 sin 15 6-2 =40(W6+2). 又9e0用9=晋 4 在△BCD中.∠BDC=15.∠BCD=135, (2):BC=AC-AB=b-a. ∴.∠DBC=30° 1Bt=(b-a)2=b+a2-2b·a=(W8)1+2-2× CD BC (-3)=13, 由正孩定理，得n∠DBC一sin∠BDC ∴BC边的长度为3， '.BC-CD.sin/BDC_80X sin 15 sin∠DBC 1 16.解，1)由岛将A到补给洁D的距高为高诗A到B的后 可得A心=2A店， =160sin15°=40(W6-√2). 在△ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC-2AC· 点E为AC中点，且C京=号Ci, BC·cos∠ACB=1600(8+4√3)+1600(8-4/3)+2× 又由Ci-a,Ci=b, 16006+)×W6-E)×号=1600X16+1600X4= 周周测数学必修第二册A版 ·70 市-耐+A市=i+号A=C忒+号(i-耐) 又imA≠0，所以oA=2 +=+b 因为0<A<西，所以A= 3 2由oA+3B-1,可得4oAnB+3mB如A sin A 和选择②，由osC-5加C=6一2可样，a0sC- sin Asin B. √3 asin C=b-2e, 3cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B-cos Asin B. 可得3sin(A十B)=sinB(sinA-cosA), 由正弦定理得sin Acos C-√3 sin Asin C=sinB-2sinC. 3sin Csin B(sin A-cos A). sin B=sin(A+C)=sin Acos C+eos Asin C. 设AB=e,AC=b,由正孩定理知3c=b(sinA-cosA), 所以sin Ccos A十√3 sin Asin C=2sinC in A 又sinC≠0，所以cosA十5sinA=2, b'sin A(sin A-cos A) *2x(分sA+9mA)-2n(a+若）-2 6 (sin'A-sin Acos A) 所以sim(a+君）=l 6 -2(1-c0s 2A-sin 2A) 为0<A<,所以<A+<所以A+=受解 =10(/2+1), 得A=号 120(W2+1) 所以6=1=n2A-c0s2万 知选择图，a-r+2c=abcos C. 120(W2+1) 1-Esm2A+平） 由会孩定理可得，。一十c-b.4+的C 2ab a+be 因为3=6(sinA-oA)>0,所以受<A<,得要 2A+<号 整理可得c=6+c一a,所以c0sA=十c一口 所以当2A十号-受即A=晋时，6取得黄小位120，即 bc I 8 2k=2· 的最小值为230， 因为0KA<云，所以A-号 所以岛屿A和岛屿C之间距寿的最小值为2√3而公里， 17.解：(1)由已知得-cos(A+B)十cos Acs B一√/5 sin Acns B=0, (2)由1D知A=号，又c=3,且△ABC的面积为3E。 sin Asin B-/3sin Acos B=0. 图为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以有S=宁红血A=名×肠× =3V,解得 所以inB-尽cosB=0, b=4. tan B=√3， 由余弦定理可得，a2=b十c2-2bcc0sA=4:+32-2×4X 又B∈0，，别B=子 3x号=18 (2)周为a十c=1,pc=1一4 所以a=√3， 所以由余弦定理得b=a'十c2一2 accos B, 所以△ABC的周长L=a十b十c=7+√/3. ℉b=a3+c2-ae=(a十c)2-3ac 19.解：(1)周为m⊥n, =1-3a1-a)=0-)'+ 所以m·n=b(sinB-√3sinC)十(sinC+十sinA)·(c- 因为0<：<1， a)=0, 所以<'<1，则<1. 由正孩定理可得6-56c十c2-a=0, 中6的取值笼周为[合小 由余弦定理有c0sA_十e-aBc区 26c 2be 2 18.解：1)知选择①，有2c0A cos B cos C 因为A∈(0，，所以A=号. b ab ac ccos B+beos C (2)①图为(OA+Oi)·Ai=(Oi+C)·BC=0, a 所以(0+Oi)·(O-Oi)=(Oi+O元)·（元 2acos A=ccos B+bcos C. 0i)=0, 由正弦定理得2 sin Acos A=sin Ccos B+sin Beos C= 即0i-0i-0心-0i=0. sin(B++C)=sin A. 所以OA=1Oi1=O心1，所以点0为△ABC的外心. ·71. 答案全解全析 由正孩定理可得210-品 coB-如A<eosB-mA<0,又anB>0,所以点 1 cos A 2 (cosB一tanA,tanB)在第二象限，故选B, 所以0A1=6. 3.C解析：由已知得(ogLx)+(-4)≥3+45， ②国为点O为△ABC内切圆图心， .(og1x)≥9， 所以OC,OB分别为∠ACB,∠ABC 的平分线 l0g1x3或l0g1x≤-3， 所以∠(OCB十∠OBC= 2 re(o,号]U[8.+eo.t话C 5π A)-12 4.A解析：设复数：与复平面内的点Z相对应，由△ABC的 三个顶点所对应的复数分别为)发|：一|=： 0<∠ACB< 1|=:一I可知点Z到△ABC的三个项点的距离相等， 2 因为是锐角三角形，则 由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外， -∠ACB<受· 0∠6 5.B解析：由题意知(n2十mn)+2i=一2-2i. :十mm=一2·解择m=3,点=83- 所以号<∠ACB<受 2m=-2, n=一1， 6.A解析：由题常可知(x一3)(x十1)=0， 所以∠0CB=0,5<0<, 聊引：|=3或：|=一1. ,1:1≥0，.：=3. M∠0c-晋-0 ,复数之对应点的轨连是1个圆 7,ABC解析：对于A,若a=一1，则(a十1)i不是纯虚级，则 3<an<1. A错误：对于B,两个虚数不能比较大小，则B错误：对于C, 若x=-2,则x-4=0,x十3x十2=0，北时(x-4)十 如晋=如（+）=m晋子+o如子 (x2十3x十2)i=0不是纯虚教，则C错误：显然，D正确. 8,AC解析：A中z,十红-0只隐说明1■一z:B中1z:|十 6+@ 4 |11=0,说明11=1g|=0,脚1=：=0：C中111= 11,说明10立1=O2,但02，与O立方向不一定相 问D中一2=0，则1=，故1=，故错误的为A, 5-@ C选项 4 (2a+3a=0, 在△OBC中，由正孩定理有。n0 (0B OC 9.0}解析：”1>z:a2十a=0,∴a=0,故所求a -4a+1>2a, 的取值纂合为{01. Oc m(倍-】 10,2后解析：1=1-i对应的点为(1，一1)，：=3-5i对应 所以O丽 的点为(3，一5)，由两点间的距离公式得 sin √/(3-1)+(-5+1)F=2/5. 11.3解析：复数之=(m一2)十(m十1)i为纯虚数(i为虚数单 sin 位)，所以m一2=0且m十1≠0，解得m=2,所以=3i,所 以文=一3i,所以=3. 元 tan co51 12.(-1,1)解析：图为111=a+4,11= 为 1 √-2)+1下=5. <an9<1,所以1<an9<5, 又因为1|<1z:,所以√a+4<5,解得-1<a<1, 所器∈停小 1B.解：①当为实数时，则口二5a-6=0 a2-1≠0， 所以品的取位花周为侣) a=-1或a=6, {a≠士1， 周测7复数的概念 故当a=6时，为实数 (2)当：为盛数时，别有 a-5a-6≠0. 1.C解析：复数x=(x2十2x一3)十(x一1)i为她虚数，则 a-1≠0 x+2x-3=0且x-1≠0，解得x=一3.故x=-3台复数 a≠-1且a*6, 之为纯虚数，故遂C. a≠±1， 2.B解析：因为A,B为能角三角形的两个内角，所以A十 ∴a≠土1且a≠6， B>受中A>号-B,如A>oB所以osB-nA= 故当a∈(-∞，-1)U(-1,1DU(1,6)U(6.+o∞)时，x为 虚数. 周周测数学必修第二册A版 ·72二，选择整本题共3小，每小整6分共18分，在每小题给出的法项中，有多项持合题目要求， 阶段检测一平面向量及其应用 全留选对的得6分，留分选对的得部分分，有远错的得0分) 集.设a,最是两个零向量，则下列合超为量合题的是 (时闻：2如分件分值：150分》 A,若a+h1=a一h1,则g2b 若aLb.国a十&=e一1& 一，选择是《本恩共8小题，每小思百分，共4⊙分.在母小魔给出的四个选项中，只有一项是符合愿 C若a十b1一s一，期存在实数a,使得6-a 日要求的) 山，若存在实数A,使得bm0,期a+=0一b L已知两个单拉向量e与e:的夹角为受，若a一e,十b一e,十e,且a1b,周实数m一( [0.如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下结论正确的是( LC正- 号 C,-1 1 ai+0证+=n 2.已如△4C中，内角A,BC的对边分群为2be(-6a-.B-120.期6 Co求+oi1-0心-D 12日 n,O,F=D求， 且27 G可 D,了6 L.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是，b,若@e0sB十曲A一(a=2而+6 1知周，在△ABC单.AD=行B.点E是D的中点，设正=a,AC=,则 c=absin C,则 正 A.tan C-2 民A-号 + 86=6园 0△4BC的面积为12E D.ga+ 三，填密题（本题共3小题，每小恩5分，其15分） 2.已知a一b,1≠0，且关于r的方程x+ar一a·女=有两相等实惟，则向量日与为 已知点0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共？的三个点，动点P请足示-Oi+ 的夹角是 AC CA∈(0，+a),w点P的轨迹定道过△C的 .算洋蜚别是地华罕见的白然地师理象，整输为广越球阳峰人类保留宁留秘密 的最后意产”，我国拥有世界上最深的南洋砖周，若要测量如闲斯术的燕利 A内G 弘外心 C,重心 D.心 的口径A,B两点间的距商，现在廉第群岛上取两点C,D,测得CD=80 5.如图，礼室外立面臻修，设A,B再点在礼堂外立面的上下两端测量将在A ∠ADB-135',∠BC-∠DCA-15',∠ACB-10.MA.B丙点间的用 的司侧能沿边选定点C,测出AC修距离为10m:∠ACB=5:∠C4B 离为 60',就可以计宜出C辉点的距离为 14,在边长为2的菱形A以D中，∠ABC=120,E是以的中点，F是边CD上的一点，DE交 h.55m B.5 m AF于H,若F是CD的中点，AH=A店+：B,则a十- :若F在边CD上（不含 c爱a5)■ D.6(后+1)m 端点)运动，期A日·D丽韵取值范用是 6已知点0是△内年肉足0+20=m0二=7明实数0为 四，解答题（本题共6小题，共？分.解答应写出文字说阴，证阴过程威演鞋步骤） 15.(本小题满分13分>已知e1一2，b1-5,4a+2h)·(b一301- L.2 且-2 C,4 D.-4 ()求a与b的兴角9： 菜版了已知户，长度为？的线投AB的爆点分别精在鞋有y箱上·用财，P宿的帐值范期则 (2)在△ABC中，若A石-a,AC-b,求BC边的长度. L[2-6] k8,5可 C.4,5 .L15,85 8.在△A议C中，内角A,,C的对边分别为4,6，F,若=n A+C =bnA,0=1,螺△1以面积 的量大植为 ( c 骨段校测… 平面向量及其应用 16,《本小避满分15分短丽断示，△MC的顶点是我国在南许的三个战略岛屿，各岛斯之到建有 18「本小题端分17分已知△L以：的内角A,,C所对的边分别为4,6，从下列三个条件中速 资源补给站，在图中的D,E,F点上，岛的A到补始站D的距离为每屿A到！的三，岛与A和 节一个托解答问思 岛的C到补给站E的距肉相等，补给站下在靠道岛的C的C的三等分点上.设C形一日 cnsA cos B co c CA=B. 1)用a,b表示E京，C市： C-5nc看-2】 (但弟三个岛片周成的△AM80约面职为1ou原+平方公里，且满足细会君-，求 ahabcos C'. 鸟的，A和岛的C之间距离的最小值 (1)求A的大小： (2)若e=3.且△AC的面图为3,3.末△AC的周长 注，如果选精多个条件分别解等，按第一个解若计分. 17,本小题离分15分)在△AC中，内角A,B,C所对的边分期为.为，(，已知sC+《GA一 .(木小题调分7分》记锐角△ABC'的内角A,B,C的对边分别为@，6，c.向量m-(6,smC+别 5 sin A)co-位 nA》,m=4wimB一5inC'一)，且wn: 《1求B约大小： 1)求角A: 《2)若a+c一1，浅的和算范视 (2)已知点0为△4BC衡在平面内的一点. ①若点0端足0i+0形》·店-（月+戊·风-0.且4一用.求的值， ②若点0为△C内司鼠园心.未备的数值位鼠 州风测数学必蜂第彩A國 。14