周测13空间直线、平面的垂直- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

&如周，以等腰直角三刷形AC斜边C上到高AD为折策，起△AD和△ACD所成互相渠直 周测13空间直线，平面的垂直 的再个平面后，财下列四个站论正确的是 (叶间，G0分种分值，100分) 一，选择题《本题共5小题，每小题5分，具5分，在母小题给出的四个透项中，只有一项是杆合驱 日要求的》 限1，已知直线L半面，直线四C半面，有下面四个命题： A.4D⊥AC 以△A以是等边三角期 ①e>f⊥m:②年⊥一1w:①m→a⊥3：①l⊥w→。A.其中正确的丙个命题是 1 C平面ACL平面ABC D)二面角A-C-D的正切值为2 A.D与四 且①与的 .他与① D.傅与田 三，填学销（本通共4小题，每小最5分，共20分》 .在正方体AD,A,B,CD,中，点0是四边形ACD的中心，关于直线A,O.下到说达正确 ,如阁屏示，在四棱能PA以D中，PA⊥底面AD:且底面各边长都相等， 的是 M为C上一动点，当点M满足 (只要可出一个修认为是正确 A.AO平面B,CD,且A0D,C C.A,O⊥平面AB,LD,D.A,O⊥ 的条件即可)计，平面MBDL平面PD 3.在四面体ACD中，接AB,AC,AD再再互相票直，媒顶点A在底崔以CD上的投影H为 10设。和金为不重合的背个平直，的出下列命想： △D的 ①若日内的两条相交直线分料平行手习内的两条相安直线，划正平行于： A.内心 且外心 C,重心 D.垂心 ②若▣外的一条雀线/与▣内的一条直线平行，则1和▣平行： 4在正三接柱ABCA,B,C,中，AB-AA:-D为A,B,的中点，E为A,C,的中点，期片直直线 设a华宜相交于直线，若a内有一条直线重直于(，▣弹子手直 AD与BE所成角的余弦值为 其中正确向题的序号是 以思 e n 11,在空同国边形ABCD中，平面ABD⊥平而CD,∠BAD=∠BCD-g,且AB-AD.则A 与平面D所成的角晶 5.已知正四授柱AD-A:D,C,D,中，AB一4D一2，AA,-4,期4，到平面AB,D,的所离为 12如图，在直三控柱ACAB,C,中，侧棱长为2.AC=BC=1.∠AB=0,D 是A,山：的中点，F是B。上约动点，AB,:DF交中点E,要使AD,⊥平面 B.2 c n C,DF,期线段B:F的长为 四，解答赠（本题共3小题，共37分，解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤 二场择最《本眼共3小最，每小题日分，共]8分，在每小既给出的四个选项中，有多项是蒋合日 13(小题满分2分)如图，在直三棱柱A以CA,C中，E.F分期为A,C,程C'的中点 要求的，全都菇对的得6分，选对但不全的得部分分，有透情的不得分) 1求暖，EF平AA:B:B: 路i.如图：在正方形ABCD中，E.F分测是BCD的中点，G是EF的中点，现在沿AE,AF及 (2)若AA,=3,AB=2,3-求F与平盲A风C所域的角。 EF把这个正或彩折成一个室间图形，使B,C,D三点重合，重合丽的点记为H,璃在这个室日 园形中必有 A.AH⊥△EFH所在平雀 H,AG⊥△EFH周在平面 C.HP⊥△AEF所在平而 D.HG⊥△AEF所在平西 7.如留，PA垂直干以AB为直径的图所在的平直，C为园上异于A,B的任一点， 期下列关系正确的是 A.P1⊥C RCL平面PAC C.AC⊥PB D,YC⊥C 周满室到直线.平面的系直 14,4木小思满分12分我国吉代数学名著（九度算术）中，称四面都为直为三角感的三校第为”整 15(本小题满分13分)如图，在直角梯形ABCD中，CAD,AD⊥CD,C=2,AD=3.CD 陆”，如图，在兰棱锥A-CD中，AB⊥平面D,BC1CD 5,边AD上一点E高是DE一L,浅将△ABE沿BE新起到△A,BE的位置，领平面A:BE (1》证明：三棱懂A-CD为装居 平面CDE,如阁所术 《2若E为AD上一点，点P,Q分岗为，E的中点.平雀DPQ与平陶AD的交线为， ①正明，直线Q平露ACD: 必判唐PQ与！的位冒关系，并正明，的结论 线 A (1)在棱A:C上是香存在点F,使直线DF平南AHE,若存在，求 A,C·若不存在，睛说明 理由： 2)求二曲角A,微”D的率面角的正切值 为 你 2 州风测数学必蜂第二看A服 ·012.相交平行解析：M是A:D1的中点， 因为AE工平面PCG,CGC平面PCG, ∴.直线DM与直线AA,相交， 所以AE∥平面PCG .DM与平面A1ACC有一个公共点， 又周为EF∥PC,PCC平而PCG,EF过平面P(G, .DM与平面A1ACC,相交， 所以EF∥平而PG, 取BC,的中点M1,连接MM,MC(图略) 因为AE∩EF=E,AE,EFC平面AEF, MM //C D.C.D//CD.:.MM //CD. 所以平面AEF∥平面PCG. MM =C D.C D=CD..MM=CD. (3)设AE与BD交于点M, .四边形DMM,C为平行四边形，∴.DMCM1, 由(2)知，平面PCG∥平面AEF 又DM在平面CC:B,CM,C平面BCCB:, 因为点F,M在平面AEF上，连接FM, .DM∥平面BCC,B. 别FMC平面AEF,且FMC平面PCG 13.解：(1)平面D,PC与平面ABCD相交 所以FM∥平面PCG 国为DD∥BP,DD,=2BP, M点即为所找的H点。 所以D,D,,B,P四点共面，且DB与D,P相交， 周测13空间直线、平面的垂直 如图，连接DB,D,P并延长交于点 Q,连接Q, 1,B解析：因为直线1⊥平面a,若a∥，则L3,又直线m□ 则平面D,PC∩平面ABCD=CQ,理 平面B,所以Lm,①正确：若a⊥3，则1∥9或1二，1，m的 由如下： 位置不确定，②不正痛：若∥m,则m⊥a,所以Q⊥3，正 因为直线D1PC平而D,PC,点Q∈ 确：若1⊥m,别m∥a或mCa,则a,3可能相交或平行，④不 克线DP,所以点Q∈平面DPC. 正确。故选围 月理，点QE平面ABCD, 2.A解析：：在正方依ABCD-ABC,D 又点C∈平面D,PC,点CE平面ABCD 中，点O是四边形ABCD的中心，.D∥ 所以直线CQ是平面D1PC与平而ABCD的交线 BD.BDC平面BCD,ODt平面 (2)证明：连接BD,交AC与点(O,连 D B:CD,.OD∥平面B:CD1,AD∥ 接OP. B,C,AD士平面BCD1,B,CC平面 在△BB,D中，点O,P分别是BD BCD,.A,D∥平面BCD,,OD∩ BB,的中点，所以OPDB,, AD=D,OD,A,DC平面AD0,∴.平 又OPC平面PAC,DB￠平 面A,D0∥平面B,CD1,AOC平面A1DO..AO∥平面 面PAC, B,CD,故A正确：设A,C,∩B,D,=M,连接CM,则M为 所以DB:∥平面PAC AC,的中点，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AA,旦CC1· 14.证明：(1)连接AC交BD于点O,连接OE, 则四边形AA1C,C为平行四边形，ACLA,C,易知O,M 因为E为侧馥SC'的中点，O为AC 分别为AC,A,C,的中点，.AM⊥OC,割四边形A,MCO 的中点， 为平行四边形，则AOCM,由于过直线外一点有且只有一 所以SA∥EO 条直线与已知直线平行，故B错误：连接A,C,:四边形 又SAE平面EDB,EOC平面EDB AB,C:D,为正方形，.BD⊥AC1,在正方体ABCD 所以SA∥平而EDB. A,BC:D1中，CC1⊥平面A,BC1D1,B,D1C平面 (2)因为F为侧校AB的中点，O为 A,B,C,D1..B,D⊥CC1,AC,∩CC,=C,AC,CC BD的中点， 平面A,CC,B,D1⊥平面ACC·又ACC平面 所以ADFO, A,CC:,AC⊥B:D:,同理可证A,C⊥AB1·且AB:∩ 又FO过平面SAD,ADC平而SAD BD1=B,AB,,B,DC平面AB,D1,AC⊥平而 所以FO∥平面SAD. AB:D,期A,O与平面AB,D:不垂直，故C错误：连接 又SA∥EO,EO平面SAD,SAC平面SAD, BM,易知BM=CM,则△BCM为等腰三角形，且BC为底， 所以EO∥平而SAD. ∴.BC与CN不垂直，由于AO∥CM,则A,O与BC不垂 又EO∩FO=O,EO,FOC平面EOF, 直，故D错误.故远A 3.D解析：AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC,ADC 所以平面EOF∥平面SAD. 平面ACD,.AB⊥平面ACD,AB⊥CD.AH⊥平面 又EFC平面EOF,所以EF∥平面SAD BD,,AH⊥CD,AB∩AH=A,AB,AHC平南ABH, (3)因为AB∥CD,AB平面SCD,CDC平面SCD, .CD⊥平面ABH,.CD⊥BH.同理可证CH⊥BD, 所以AB∥平面SCD. DH⊥BC,则H是△BCD的垂心，故造D. 又平面SAB∩平面SCD=I,ABC平面SAB, 1,C解析：国为D为A1B,的中点，E为A,C1的中点，所以 所以ABL. 15,解：(1)证明：因为E,F分别是BC,BP的中点， DE-C,B,DE/CB.中周延米 所以EFATPC. CB至F,使得BF=2CB,连接DE, 因为PCC平面PAC,EF正平面PAC DF,AF.又CB=C,B:,且CB∥ 所以EF∥平面PAC. (2)证明：因为E,G分别是BC,AD的中点， CB,所以BF=2CB,所以DE 所以AEG: BF,DE∥BF,所以四边形BEDF是 ·83 答案全解全析 平行四边形，DF∥EB,则∠ADF或其补商为异面直线AD 又AB=AC=4,∴.△ABC是等边三角形，故B正确： 与BE所成的角.设AB=AA,=2,取AC的中点M,连接 :△ADC为等腰直角三角形，取钟边 EM,BM,则EM⊥AC,EM=2,BM=√3，A,D=1, AC的中点F,别DF⊥AC, DF=EB=√EM+BM=√2+(W3)=√7，AD= 又△ABC为等边三角形，连接BF,则 BF⊥AC, √AA+A1D=√2+下-5，所以由余滨定理得AF= ∴.∠BFD为平面ADC与平面ABC √AB+BF-2 ABX BFe0s120=V7,由余弦定理得 所形成的二面角。 Os∠ADF=AD+DF-AF=V 由BD⊥平面ADC,可知∠BDF为直角，国此∠BFD不是 2ADXDF 141 所以异面直线AD 直角， 与BE所成角的金弦值为Y ∴.平面AD与平而ABC不垂直，数C错误： 川，故谌C 由题意知，AD⊥平面BDC,过点D作DE⊥BC于，点E,连 5.D解析：设AC1∩B,D1=O,连接AO, 接AE,则AE⊥BC, AB,AD,由题意得AB,=AD,=25,4 ∴.∠AED为二面角A-BCD的平面角， O是B,D1的中点，所以AO⊥B,D1·又 H 圆am乙AED提=ABm BDsin 45" =√2，故D正确，故 AC1⊥B,D1·AC∩AO=O,AC AOC平面AA,O,所以B,D⊥平面 达ABD AA,O.作A,H⊥AO于点H,则A,H□ 9.BM⊥PC(或DM⊥PC)解析：由题意易知，BD⊥平面 平面AA,O,.B,D1⊥AH,又AO门 PAC,.BD⊥PC.周此只要BM⊥PC友DM⊥PC,就可推 B,D1=O.AO,B,D,C平面AB:D1,所 得平面MBD⊥平面PCD, 以A,H⊥平面AB1D1.因为AA1⊥平面A,B,CD1,所以 10.①②解析：由面面平行的判定可知①正确：由线面平行的 AA⊥A,C.在R△AA0中，AM,=,A,0=号A,C 判定可如②正确：如图，aCaa几3=l,a⊥I,但a与3不垂 直，③错误 V原，所以A0=V个+2=3v区，所以A,H-AA·A0 AO a疗一了·所以A,到千面A,D,的距高为子故选n 4×2_4 11.45解析：如困所示，取BD的中点O, 6.AD解析：原图中，AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥ 连换A0,C0, FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,FH,EHC平面EFH,所 因为AB=AD,所以AO⊥BD,又平雨 以AH⊥△EFH所在平面，故A正确：过点A有且只有一 ABD⊥平面BCD,平而ABD门乎而 条克线与平面EFH垂直，故B错误：因为AG⊥EF,EF BCD=BD,AOC平面ABD,所以AO⊥ GH,AG∩GH=G,AG,GHC平面AGH,所以EF⊥平面 平面BCD. AGH,所以过点H且垂直于平面AEF的直线一定在平面 所以∠ACO即为AC与平面BCD所成的角 AGH内，故C错误，D正确.故选AD. 图为∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.所以A(O=OC= 7,ABD解析：由PA垂直于以AB为直径的喝所在的平面， 可知PA⊥BC,故A正确：由题意可知BC⊥AC,PA⊥BC, 又A0⊥平面BD.所以A0⊥0C,所以乙 因为PAC平面PAC,ACC平而PAC.AC∩PA=A,所以 1 2 解析：设B,F=T, BC⊥平面PAC,故B正确，结合B,报据直线与平面垂直的 定义知BC⊥PC,故D正扇：AC⊥BC,若AC⊥PB.则 图为AB,⊥平面CDF,DFC平面CDF,所以AB,⊥DF AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与AC⊥PA矛盾，故C错误 由已知可得A,B:=V2,设R1△AA1B,针边AB,上的高 故这ABD. 为，对DE=, 8.ABD解析：设AB=AC=4,则BC=Za. ,D为BC的中点， 又7X2X顶=号XAV2+2,所以方=2 1 3 ..AD L BC. 又平面ABD⊥平面ADC,平面ABD∩ 平面ADC=AD,BD⊥AD,BDC平 DE- 而ABD, 在△DB,E中，B,E=√(-（图）- .BD⊥平面ADC,又ACC平面 ADC,'.BD LAC,故A正痛： 由A却，BD⊥平面ADC,CDC平面ADC △B,DF特数等释××，+(-专 BD⊥CD, 又BD-CD= 24. 13.解：(1)证明：如图，取A1B,的中点D,连接DE,BD. ,,由勾定理得BC= 停)+a=… 周为E是A,C,的中点，所以DELB,C. 周周测数学 必修第二册A版 ·84 又周为LBC,BF-号BC, 如图所示，取BE的中点为O,连接A,O, 则BE⊥OA1. 所以DE LBF 因为A,(OC平而A,BE,平面A,BE⊥平 所以四边形BDEF为平行四边形. 面BCDE,且平面A:BE∩平面 所以BD∥EF. BCDE=BE. 又周为BDC平面AA,B,B,EF寸平 所以A,O⊥平面BCDE,又因为BCC平 面AABB, 面BCDE,所以A,O⊥BC. 所以EF∥平面AA,B,B 作OM⊥BC于M,连接A,M (2)如图，取AC的中点H,连接HF,EH 周为A0∩0M=0,且A,O,MC平面A,)M,所以 图为EH∥AA,,AA,⊥平面ABC, BC⊥平面A1OM. 所以EH⊥平面ABC 又周为A,MC平面A,OM,所以AMLBC 所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角. 所以∠A,MO为二面角A,BCD的平面角 在Rt△EHF中，FH=3,EH=AA,=3, 所以n∠FH器 3, 在直角△4M0中，A,0=原.OM=号， 可得an∠A,M0=2, 所以∠EFH=60: 放二面角A,BC-D的平面角的正切值为2. 故EF与平面ABC所成的角为60. 14.解：(1)证明：：BC⊥CD, 周测14球的切、接问题 △BCD为直角三角形 ,AB⊥平面BCD,且BDC平面BCD.BCC平面BCD, 1,C解析：设图柱的内切琼的半径为r,则4xr2=36π，可得 CDC平面BCD, F=3,所以孩圆柱的底面图丰径为R=3,圈柱的高为h .AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD, 2r=6,因北该圆在的表面秋为5=2πRh+2πR=2x×3X ,△ABC和△ABD为直角三角形 6+2π×32=54π，故选C ,BC∩AB=B,BCC平而ABC,ABC平面ABC, 2,C解析：平面ACD数琼)的截面为 .CD⊥平雨ABC. △ACD,的内切圆. 又'ACC平面ABC. ,正方体的检长为1， .CD⊥AC, .AC=CD=AD=2 △ACD为直角三角形， 六三校维ABCD为览院， .内初圆丰径r=tan30°·AE (2)①证明：连接CE,P,Q分别为 BC,BE的中点， 誓g .PQ∥CE, 又PQ平面ACD,CEC平面ACD, 我西西软为S==·合-吾此选心 1 直线PQ∥平面ACD 3,A解析：如图，取AB的中点M,连接 ②平行，证明如下： MP,由AC=BC=4,AC⊥BC,得 :PQ∥平面ACD,PQC平面DPQ,平 AB-42 面DPQ∩平面ACD=I, ∴.PQl. 由an∠PAB=tan∠PBA- 2·得 15.解：(1)当F是A,C的中点时，直线DF∥平面ABE 证明如下： Mp=22×g-2 设AB的中点为N,连接EN,FN 连接CM并延长，交球O于点日，连接PH, 国为FN/BC,FN=之BC,且ED∥BC, 因为PC为琅O的直径，授球的半径为R, ED-TBC. 别PH⊥CH,MH=CH=AB=2E 所以FN∥ED且FN=ED,所以四边形 则PH=/PM-MHF=12-8=2, DENF是平行四边形，所以DF∥EN. 所以(2R)=PC=CH+PH=(42)+4=36. 又周为DF过平面ABE,ENC平面A,BE,所以DF∥平 解得R=3,球的表面积为rR=36元，故选A 面ABE, ,C解析：解法一（直接法）：如圈所示， 所以存在点F,使DF∥平面ABE,且AC-2 作出直三棱柱ABC-A,B,C:的外接 球O. (2)在平面图形中，连接CE,则∠ECD=30°，∠ECB=60， 由题念，克三棱柱的底面ABC是克商 0 三角形，所以底面△ABC外接园的圆 心是BC的中点E,底面△A,B,C外 接司的圆心是B,C,的中，点E: 由琼的裁面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段 所以CB=CE=BE=AE=AB=2. EE,的中点 ·85· 答案全解全析