周测10简单几何体的表面积与体积- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7,则台的上，下账面半径分别是10和23，它的判直展开阁扇环的国心角为18如，则明台的( 周测10简单几何体的表面积与体积 A每线长是 以表直积是1100需已，高是10，@ L体处2 (叶间，0分仲分挂，100分) 送.知图，三棱都P-ABC,平图PBCL平自ABC,已知△PBC是等极三角形，△ABC 是第服直角三角形，若A山=C=2,Pg=P心=后，球0.是三棱锥PABC的外 一，透择是{本恩其5小题，每小题百分，共25分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合是 接球，测 日要求的) 1,将若干毫升水倒人底宾半径为2m的圆柱悬善■中，是程水面高度为行m:若将这零本倒人轴 A球心耳平面PBC的面离是号 民球心再平面AC的距离是 截面是正三角形的倒黑能形器口中，则水面高度为 A.5 cm B.6/3 cm C.28 cm D.3T cm 心球的表面积只 Q球的体起 3 都.如图：在正方体ACDA,BC,D,的八个顶点中，有四个顶点A,B,C,D 三，填空显《本题共4小题，母小题5分，其20分) 价好是正理真体的顶底，期此正叫面体的表面租与正方休约表闻积之比为 9.若圆银的钢面接开圆是圆心角为12，半径为（的扇思，则这个刻拒的表直园与到面积之比是 A后1 且1tE 0.棱台的体积为？6m,高为6，一个底面面积为8cm,则另一个花在直积为 C.T2 D.i·1 山已川一个球与一个正传柱的三十餐面符两个底面那相锡，且这个球的体积是号，那么这个 3.北法是我国著名修文物之一，因盆内有龙仪放格龙洗，为古代皇宜图院 三控桂的侧血制为、一·体积是 用具，北盐体可以道如看作，个摄台，如用，说有一龙洗盐高15m,盐 2.右因是一个侧棱垂直于底面韵三棱柱酸一个平面所藏得到的几何体，（面为 口直径为0色，盈低直径为20L往盒内倒人水，当水深6四时，盆 ABC,已gA,B,-B,C-1,∠A,B,C,-0,M,=4.BB,=2.C,-3.点0 内水的体积近红为 是A目的点，则该儿何体的体积为 A.581开cm 位872xem 四，解答量（本题共小题，共3？分，解答虚写出文字说阴，证阴试程或濡算步骤） C.1152=m D.1436mm 3,(本小遥满分12分)蒙古包是蒙古族牧民搭住的一种房千，建者和擦迁富形方便，君干牧业生 4。小餐同学将一块棱长为2的正方体形优的橡皮是重新星成一个正四面体《过程中像皮冕无圈 产和静牧生话.蒙古包古代称作将古，毡包戒盐帐，如图1所示。一个鲁通的紫古包可近似观为 失)，期核正四面体外接球的体积为 一个割锥与一个圆柱的组合，如图2所示.己如孩睡银的高为2繁，属柱的高为3米，接面直径 A.何里 孔2瓜m C.3/Bm D.96n 为6米. 举5，攒尖是古代中国建筑中候面的一种括将形式板就平值有慨卷景尖。三角攒尖、四角 1)求该堂占包的测我积： :尖、八角措尖，也有弹格和重紫之分，多见于亭阁式建筑：风林建筑，以八中校阅裤 (2)求该蒙古包的体视. 龙阔为刷，它到重婚四角提尖，它的上层轮第可近做肴作一个正四棱蝶，若此正四棱 锥的侧直偶是雀自积的3倍，集此正四酸罐的内切球率径与度面边长比为 B号 c唱 D./3 二，选择最（本墓共3小题，每小题分，共18分。在每小露给出的四个法项中，有多项是群合丽日 要求的，全韩这对的得6分，这对恒不全的得部分分，有选储的不得分》 6,一个圆柱和个保锥的能直直径和它们的高都与一个球的直径R相等，下列结论王确的是 A.阻桂的侧面积为2R 且，国菲的侧)积为2xR C圆柱的侧面积与球的表直积相等 D圆柱、圆维.球的体积之比为331：2 司周0.餐单几月体的表首程与格写 14,(木小题清分12分如闭，已第+个属篮的感面径与高均为2，且在这个到脏中有一个高为士 15,「木小题横分13分》早在公元5世纪，我属数学深祖陶在求球移图时，就创造性她提出了一个 的阳柱. 原理“解势赋同，则积不客异”，意见是夹在两个平行平面之间的两个几村体，蔽平行于这西个 (1)求出此健锥的侧面积， 半面的任宣半面所截，如果盐得的两个裁直的直积总相等，害么这内个儿何体的体积相等 《)用？表示此到柱的侧面积表达式： 《3)当此溪柱的测面积最大到，承此属住的体积 1)如周1所示，在一个半径为言的半罐体中，挖去一个牛径为。的球体求剩余部分的体积： 多 (2)如图2，由抛物线y一了（一83》藏线段了一就一运3）围成一个几将指，将该儿 何形旅y编旋转得到一个触物线莱转体，情运用相陶原理求该餐转体的体但： (3)将两个底面半径为1，高为8圆住体找如图3断示正交拼接在一起，构成一个十字烟几刺 体.求这个十字型的体阳，等价于求两个例柱公共第分儿偶体的体积，销运用祖跑原理山 该公共常分儿何体的体积 州风测数学必蜂第彩A國 。24所以原图形中，(OA=BC=1cm,AB=(OC= 周测10简单几何体的表面积与体积 √(22)2+1=3em,故原围形的周长为2×(1+3)= 8(cm), 1.A解析：设圆锥中水的底面丰径为rcm,由题意知3r× 11.16π或9x解析：当以3Cm长的一边所在直线为抽貌转 原r=元×2X6,解得r=25,水面的高度是v3×2= 时，得到的凰柱的底而半径为4cm,底而积为16云cm； 6(cm),故接A. 当以4m长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底 2,D解析：设正方体的被长为：，则正方体的表面积是5，正 面米径为3cm,底面积为9xcm2. 国面体AB,CD1的棱长为2a,正四面体AB,CD1的表面 12.(1)①（或②或③）(2)①②⑤（或①④⑤）解析：(1)由图 可知，①一⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也 物是4×。×(2u4)×号=23a, 可以是⑤. 所以正四面体的表面积与正方体的表面积之比为3：3故 (2)先补齐中间一层，只能用，弄补最上一层，则可用 选D. ①②，也可用①④. 3.B解析：如图所示，画出圆台的主体图形和抽载面平面因 13.解：（小）圆台的轴裁面是等腰梯形ABCD 形，并延长EC与FD交于点G. (如周所示) 由已知可得上底半径O1A=2cm。 下底丰径OB=5cm, 义因为AB=12m, 所以圈台的高AM=√12一(5-2) 3√15(cm). (2)如图所示，延长BA,OO1,CD交于点S 根搭题意，得AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC 设藏得此圆台的圆锥的母线长为【， 剩南△SA0,△SB0可得122 5 68m设0-m,F=ym有器名得-瓷中 解得1=20cm. 10_x10x 20十15'y千6解得x=15,y=14,所以金内水的体 即黄得此圆台的图锥的母线长为20cm. 14.解：(1)该几何体是一个正方体内接于一个图维，其中正方 积近似为314+10+14X10)×6=872xcm).故越B 体上底面的而对角线在园维的母线上，下底面位于圆锥的 4.C解析：如图，设正四面体的棱长为 底面。 “,由题意可得，正方体的体积即为正 (2)画出几何体的抽養面如图所示， 四面体的体积，设F为底面BCD的中 其中ED,FG为正方体的面对角线， 心，E为CD的中点，别点F在BE上， 设正方体的边长为“， (O为正四面体外接球的球心，则AF为B 正四面体的高，点O在AF上，则 则ED=FG=√2a,DG=EF=a, 依题意AH=40,HC=HB=30, BE✉ 3a,则 所以号一是聊”0 。新以V。。。体=3×众× 1 解得a=120(3-2、区)cm. 。V-22,所以。24.又设正四雨体外想 所以正方体的棱长为120(3一2√2)cm 15.解：(1)如图，折起后的几何体是三校维， 球的丰径R,时OB=OF+BF,即R=(停。-R)+ P(A.B.C) (停)，解得R-,故外提球体积为V。- 3 号·（凭）广-督×（停）×24=36xt选C 5,B解析：设正国棱维的底面边长为《，则底面积为a,侧面 积为3a,设该国被锥的侧面的等腰三角形的高为h,则有 (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形 △PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三 2ah=3a,所以A=号4.设内初球的率径为，如周，则 角形 V-(受)- (3)S&PIF=2a,5apmr=Sam=2X2aXa=a之， △aPn△Hp,有保-得片a SAnEr-SA AD-SAPEF SAOPF -SADPE -(2u)- 2 由于h= ?a:化随得r=20 3 ,则此正四棱维的内初球辛径 周周测数学必修第二册A版 ·78· 与底面边长比为二一 9.4:3解析：设调维的底面半径为r,别有行=2a,所以 4 不故选B 1=3r, xrl 10,8cm解析：设另一个底面面积为xcm 剩由V=吉h(S+VSS+S),得76-了×6X18+x寸 √I8r),解得x=8,即另一个底面的面积为8cm. 6CD解析：侯题意得球的半径为R,则回柱的侧面积为 1.48厅8厅解析：设球的丰径为，期言- 3, 2xR×2R=4πR”,枚A错误：圆锥的侧面积为元RX5R= 得r=2,柱体的高为2r=4, 5πR,故B错误：球的表面积为4πR,圆柱的侧面积为 又正三梭柱的底面三角形的内切图丰径与球的半径相等， 所以底面正三角形的边长为4√， 4πR2,故C正确；：Vaa=元R2·2R=2R'.V4=3R· 所以正三棱柱的侧面积S=3×4X4V3=48V3, 2跟=号RVa-专VaVaeVa=2R 依积V- 至×(4a)×4=48v3 2 R了R-3t1t2,放D正确，故选CD 解析：如国所示，过C作平行于底面 7,ABD解析：如图所示，设圆台的上底面周长为 的平面EFC交枚AA,于点E,交B,B的 C,国为扇环的圆心角为180°， 延长线于点F,则可得到直三枚柱EFC 所以C=x·SA,又C=10X2π， A,BC,且AE=BF=1, 所以SA=20,河厘5B=40, 又：O为AB的中点，O电为EF的中 故回台的母线AB=SB-SA=20. 点，S么mW=S△e 高h=√AB-(20-10)=10√.体积V 又V,x=立·AE·S△=于S△wV#Ww= 3 3×10W5×102+10×20+20)=700,5 3, 1 BF·Sawr=3Sam 表面机5=x(10十20)×20+100x十400x=1100元.放 .VA-cr-Vu-ocr 选ABD. .所求几何体的体积等于直三棱柱EFC-A,B,C,的体积， 8.BC解析：三棱维可置于棱长为2的 正方依内， V==7×1X1x8= 正方体的上底面B,C,的中点P即为 D 13.解：由题意可知BC=DE=3m,AE=2m,BE=3m, 此三棱锥的项点，如图所示P-ABC, AD=√3+2=/13m. 分别设)1，O,为△ABC,△PBC外 (1)图维部分的侧面积S,=开·DE·AD=π×3×√13= 接圆圆心，O0,=1,所以A错： 313x(m). 图为AB⊥BC,所以O,是AC的中 司柱部分的侧面积S,=2π·C·BE=2π×3×3=18π(m). 点，如图，在等腰三角形PBC中，PM=2BM=2, 放孩蒙古包的面积S=S,十S,=(3√13x十18π)(m), (2②)司维事分的体积V,=言Sh=日·DE:AE=日× 3×2=6x(m3), 周往部分的体积V:=π·BC·BE=xX3×3 27r(m). 故该蒙古色的体积V=V1十V,=6π+27π=33x《m). 设其外接圈半径为广， 14.解：(1)司维的底面半径R与高H均为2，则圆维的每线长 则P02=B0:=C02=r,M02=2-r,得r2=(2-r)+ 为1.=√R+H=+可=2及， 1,解得=子M0,=2--是所以B对 “圈维的侧面积为S单=RL=πX2XV2=4区元， 设三棱锥P-ABC外接琅半径为R,在Rt△B(),O中， (2)设圆柱的半径为r,圆柱的高为x, 0,0=M0,-2,B0,=E 则5-2号，解得r=2-,且0<<2 所以0=R=(任）》广+2)部样R=是 :圈柱的侧面积为S和越制=2标江=2π《2一x)·1= -2rx2+4xx(0<x<2). 所以球的表面款为R一智：你积为V=言R (2)由Se板=一2xr2十4rx =2x[-（x-1)°+1]，0<x<2 414红 48,所以C对.D错.选BC 当x=1时，S国#斯取得最大值为2π， 此时r=1,司柱的体积为V属=元rr=π·1·1= ·79· 答案全解全析 16,解：依题意读几行体的体积V,=立×智×一智》 (如图⑥)设此棱维顶点到平行于底面的裁面的高度为h, 3 不难发现对于任何高度h,此裁面面积必为， (侵)要 (2)图①朋影部分是由长方形ABD(长为6，宽为3)和测 物线y=四成， 图②朝影部分是由丰径为3的羊图O和直径为3的国P 国成的， 图④ 图5 4-3-2-101234 由V= 3Xr'xr= r. 图① 图② 由祖验原理阁⑤中“年合方盖”外邮的体积等于V, 将图①绕y轴裁转一周可得一国柱挖去中同的部分的几何 1 体记为M, , 将图②以小园的直径为抽旋转一周可得一个羊琼挖去一个 所以图④中几何体的体积V= 小球的几何体记为N, 将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面或与半 所以“车合方盖”的体积为8=15， 3 球大圆距离为(0<(<3)的平面截两个几何体，可得截面 又国柱的底面半径为1， 都为圈环，纵藏面图如下， 所以两个园柱公共部分几何休的体积为 3 周测11空间点、直线、平面之间的位置关系 33 1,B解析：如图，在长方体ABCD-A,BCD中，AA1与B 图③ 是异面直线，又AA1∥BB,AA,∥DD,,星然BB,∩BC=B 几何体M的戴面面积为云×3一言×（√1）=9π一31r, DD,与BC是并面直线，故选B 几何体N的戴面面积为π×（√⑨一） 侣》厂-（侵-可]-9两元何体等高 由祖瓶原理可得两儿何体的体积相等，结合(])可加儿何体 M价体软。=-要。 2.A解析：由推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面，可得P,P:,P,P,在同一平面，故克分性成立：向 而由抛物线y=3r(-3≤r≤3)与线段y=3(-3≤x≤ 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面，可得当P,∈ l1.P,∈lP∈，P,∈，l与平行时，PPP%P 3)调成一个平面几何图形， 在同一个平面上，但P,,P,P2,P,中无三点共线，故必要 将镀儿何图形绕y抽旋转得到一个抛物线旋转体，是由一 性不成立，故选A 个司柱（底面半径为3，尚为3）减去几何体M, 3,B解析：如图，P∈HG,HGC平面ACD,.PE平面 所以所求的体积V=元×3×3-VM=27x一2=2 ACD.司理，P∈平面BAC.平面BAC∩平面ACD=AC, 2 .P∈AC故选B ()省先注明车合方盖”的体积公或为(：为圈柱的底 面半径)： “牟合方羞”是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切 圆柱体时的两圆柱体的公共部分， 计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八入份， 4.C 解析：A、B都不能保证a,3无公共点，如图①D中当a∥ 取它的入分之一（如图④》 a,4∥B时，a与B可能相交，如因②： 记正方形OABC的边长为r,设OP=h,过点P作平面 PQRS平行于平面OABC. 又OS=OQ=r,由为股定理有PS=PQ=√r一h, 故此正方形PQRS面积是一h. 如果将图④的几何休放在棱长为，的正方休内（如图⑤）， 不难证明图⑤中与图①等高处阴影部分的而积等于. 只有C说明a,3一定无公共点，故选C 周周测数学必修第二册A版 ·80·