周测6余弦定理、正弦定理应用举例- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

选②，由acos C+ccos A=2 beos B及正孩定理可得 2sin Bcos B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B, 周测6余弦定理、正弦定理应用举例 因为B∈(0，π)，所以sinB>0, 1,D解析：在△BCD中，∠DCB=135, 所以oB=号故B=号 BD1+1+2×1×1X号=2+ 选③，由asin A十(c一a)sinC=bsin B及王孩定理可得 a2十e-ac=b3, 在△BAD中，s∠BAD-3+1二2+区_2E-E故 由余發定理可得c0sB=0十c一b_ 23 6 2ac 2 选D, 2.A解析：如图所示，药知在△ABC中， 因为B∈(0，x),所以B= 3 AB=20海里，∠CAB=30°，∠ACB (2)周为△ABC为锐角三角形，且B=兰 45°，根据正弦定理得 BC AB 30n行，解 0<c< 得BC=102(海里).故选A. 所以 3.A解析：在△ACD中，CD=a,∠ALDC=45°，∠CAD= -c<号 03 75°-45°=30°， AC CD 所以若<C< 2· 由正裤定理将an∠ADC一sin/CAD 片以mC号 2 所以AC= 1 =2a, 由正弦定理得= sin A sn(x-c sin75°=sin(45°十30)=sin45cos30°+cos45°· sin C sin C sin30°= 6+E 2sin C+ 4 sin C +c(侵， 在R△ACE中，AE=ACsm∠ACE=Ea×5+E 4 1 所以SaA■ (82 3+1 2G+ 15,解：1)根搭正孩定理得，十也 sin B a sin B-sin Aba 所以AB=AE+EB=E+1 所以b一a2=ab.① 2a+h, 国为c0s(A-B)+c0sC=1-c0s2C, 所以c0s(A-B)-cos(A十B)=2sinC, 即地建黄物AB的高度是。十h.故选入 所以sin Asin B=sinC. 4.C解析：如图，连接AC,由题意四边形 由正孩定理，得ab=,② ABCD为⊙(O的内接四边移知∠ABC十 把②代入①，得6-a=c2, ∠ADC=r+ 唧a2十c2=b2 则在△ABC中，由余弦定理得cms∠ABC 所以△ABC是以B为直角的直角三角彩. AB:+BC:-AC:4+49-AC 2AB·BC 2×2×7 (2)由1加B=受，所以A+C-受 在△ADC中，由余弦定理得cO∠ADC= 所以C=受-A AD+DC:-AC 16+16-AC 2AD·DC 2×4×4 所以snC=sin(受-A）=osA 因为∠ABC十∠ADC=π， 所以cos∠ABC十cos∠ADC=0, 根舞玉孩定，得"吉-血AC-如A十oA 即1+49-AC 16+16-AC sin B 2×2×7 2×4×4 -=0 Esim(a+天) 即3-4c 32-AC 28 32· 因为ae<ab=e2,所以a<c, 所以0长A<导 解得AC=6V3 5 ,故选C 5,A解析：对于滤项A:当测出AB,∠BAM,∠ABM, 所以平<A+<登 ∠BAN,∠ABN, 在△ABM中，由正孩定理可得 所以 <sim(A+开）<1 AB·sin∠ABM AM=sin(ZABM+∠BAM' 所以1<Esm(A+开）<E。 在△ABN中，由正获定理可得 AB·sin∠ABN 即“中的取值范国是1，W)。 AN sin(ZABNTZBAN)' 周周测数学必修第二册A版 ·66 在△AMN中，可锌∠MAN=∠BAM-∠BAN,由余孩定 理即可求得M,N间的距离，故A正确 所以S。A■ arsl6g 3 对于选项B:结合选项A可知△ABN中仅确定∠BAN, AB,条件不足，无法求出AN,所以无法求得M,N间的 、所以△ABC面积的最大值为16 ,故C正痛 距离， 对子D.由B=红6=8发余孩定理6=a十e-2 acos B得， 且△MBN中仅能得出边BM,所以无法桌得M,N间的距 3 离，故B错误： 64-a'+e+ac=(a+c):-ac2 (a+c)-(ate)= 对于选项C:△ABM中仅确定∠BAM,AB,条件不是，无法 4 求出AM,BM,更无法求得M,N间的距离，故C情误： 3(a十e) 16w3 对于D选项，站合选项A可知：△ABN中仅骑定∠ABN, 4 ,所以a十≤3 AB,条件不是，无法求出AN,所以无法求得M,N阿的 距离， 当且仅当a=c=8 3 时取等号， 且△MBN中仅能得出∠MBN,BM,所以无法求得M,N 间的距离，故D错误.故透A 所以△ABC的两长1=8+a十c≤8+16 3 6.BC解析：设BC=ae=4,b=5,:△BCD是等边三角形。 所以△ABC网长的景大值为I6,+8,故D正确，故 3 速BCD. 由余孩定理得a2=b十（一2 bc cos A, 9 解析：依题意可得AD=20√/10m,AC=30√后m, 则SaA4AHE=S么w十Saaa=宁a十名bsin A 义CD=50m,所以在△ACD中， 5(25+16-40cosA0+号×20sinA=5+10sinA 由余孩定理得cos∠CAD=AC+AD一CD 2AC·AD 105osA-5+20n(A-号） (305)+(20/0)2-502_6000E 2×30√5×20√10 4 6000V22 故当A一号-受，申A=晋时：回边形ABDC的面积兼大， 又0K∠CAD<,所以∠CAD=平 为15+20.故选 所以从顶璃A看建镜物CD的张角为票 10.100/5解析：在R1△AMP中，∠APM=30,AM= 7:ABC解析：如圈，在△ABD中，由已知 得∠ADB=60°，∠DAB=75°，别∠B= 100m. 45°，AB=126.由正孩定理，得AD= 所以PM=100√5m,速接QM(图略)，在△PQM中， ∠QPM=60°. ABsin B 126x 2 又PQ=100√3m, sin∠ADB =24.所以A处 所以△PQM为等边三角形， 所以QM=100W3m. 与D处之间的距离为24 n mile,故A正确：在△ADC中，由 在Rt△AMQ中，由AQ=AM2+QM,得AQ=200m. 余孩定理，得CD=AD十AC-2AD·ACc0s30°，又 在Rt△BNQ中，周为tan9=2,BN=200m, AC=85,所以CD=8√3.所以灯塔C与D处之间的距离 为8,5nmie,故B正确：因为AC=CD=8V5,所以 所以Q-10后ns9=号 ∠CDA=∠CAD=30',所以灯塔C在D处的南偏西30°，故 在△BQA中，BA=BQ+AQ°-2BQ·AQcos0, C正确：国为灯塔B在D处的南偏东60'，所以D处在灯塔 所以B4=1005m. B的北偏西60°，故D错误.故选AC 故两发射塔顶A,B之阿的郑离是100√5m &.CD解折时于A,若A=告，又B-要6=8，由正法定理 从音 √3解析：因为sinA=im(B+C)=sin Beos C+ 得bsin A 8×28 cos Bsin C. 所以由正孩定理得a=beos C十ceos B. sin B 3 ,故A错误： 又周为a=beC+. 3csin B, 对于B,由题意B=要，b=8,a=,由正弦定理得inA= 所以ccoB= 3esin B. asin B 4x3 2 ,故B正确： b 84 所以mB=5,周为B∈(0，，所以B= 对于C.由余孩定理b2=a2十c一2 accos B得，64=a十 1 ci+e≥2ae十ae=3ar, 64 8v 3时取等号， 解得ac=4. 所以ac≤3，当且仅当a=c 因为4十4=5， ·67. 答案全解全析 所以由余孩定理得b2=a2十e1一2acc0%B=(a十c)2 =19 3ae=25-12=13. c0∠BAC=3+2-2X3×2X0s3 所以b=13. 所秋BC=√丽，EC= /19 12.1000√3丽10解析：如图，设轮船上午11时位于点A, 2 BC+AC一AB 11:20位于B,0M为规察台，O0M=1000, 所以C0s∠BCA= 2BC·AC M观察台 19+4-9_7@ 北 2/19×238 西x 在△AEC中，AE=AC2十CE一2AC·CE· 宝东 海岛 m∠A=4+9-2x2×零×2- 2 384 因为BM与底面AOB所成角∠MBO=60°， AE'+EC-AC 在R△BM0中，B0=1O00 所以AE= 2,cos∠AEC= 2AE·EC 园为AM与底面AOB所成角∠MAO=30°， + 5/133 133 在Rt△AMO,AO=1000W5m=√5km, 2 在△AB中AB=+s-2x号×厅×(） (2)图为AE∥CD,所以∠AEC十∠BCD=T· 所以∠BCD=r-∠AEC, 车AB=厘km, 所以co5∠BCD=cOs(T-∠AEC) 3 5133 从A点到B点的时阿1=3 1 h,v= 3⊥ =-cos∠AEC=- 133 3. 3 在△BCD中，BD=B+CD3-2BC·CD·Os∠BCD= √3每km/h=1000√3gm/h. 39 -x而××（）g 133/ 延长AB与x轴变于点E,设∠ABO=0,所以 3 sin 0 所以BD=V0圆 2 15,解：(1)因为tn∠ADC=一3，别∠ADC为钝角， in0-3,3 sin∠ADC 23 tn∠ADC= o5∠ADC=-3, 35 设∠BE0=a,在△BEO中，sina=sin(0-30)= sin∠ADC+cos∠ADC=1, 2/I3 sin∠ADC>0, 1 4 3 13 可得sin∠ADC=3V 10 ,6o8∠ADC=-V@ 10 所以sin∠ACD=sin(∠CAD十∠ADC) BE BO BE 3 所以n30一m。即 →BE=V3丽 =sin∠CADeos.∠ADC+cos∠CADsin∠ADC 6 2 13 10 所以还有时得=厘÷V丽=号h=0mm AD CD 6 (2)在△ACD中，由正孩定理得inZACD-sin/CAD,即 13.解：(1)依题意，知∠BAC=120°，AB=6,AC=5×2=10. 1 CD 在△ABC中，由余获定理，得BC2=AB2+AC2-2ABX AC×co9∠B4C=6+102-2×6×10Xcos120°=196， 2 解得BC=14e,=分=7， 解得CD= 0 21 所以透船甲的遮度为7 n mile/h. (3)周为AD∥BC,刚∠ADC+∠BCD=π： (2)在△AB:中，AB=6,∠BAC=120°，B=14, 所以sin∠BCD=in(π-∠ADC) ∠BCA=a. 由正孩定理，得 BC =in∠ADC=3V面 sin a sin 120 10· cos∠BCD=cos(x-∠ADC) 华ma=4Bsin1206x BC =14 14 =-os∠ADC=而 10 在△BCD中，由余孩定理得BD=CD十BC一2BC· 14,解：1)因为AB=3.AC=2,∠BAC=织，E为BC的中点， CDcos.∠BCD, 所以在△ABC中，BC=AB2+AC2-2AB·AC· 即BC-BC-2=0. 周周测数学必修第二册A版 ·68* 解得BC=2我BC=一1（含）. :7,D解析：建立如图所示的平面直角坐 Sam-音c·cDsn∠BcD-号×2x 标系， 2 由题意设A(4.0),B(0,b),其中0写 303 a|≤2,0≤b|≤2. 10=2 所以1AB1=2一a2+b=4 令a=2cos8,b=2sin0, 阶段检测一平面向量及其应用 则A(2cos8,0),B(0,2sin9), 所以Pi=(2eos0-3,-4),Pi=(-3,2sin0-4). 1.C解析：周为两个单位向量e1与e:的央角为号，且alb, 所以Pi.Pi=(-3)×(2cosg-3)+(-4)×(2sin8 所以a·b=(e1十e)·(e,十me:)=ei+mei+(m十1)e· 4)=-6cos0+9-8sin0+16=-10sin(0+gp)+25, 元 e:=e'+me:1+(m+1)elle:1·cos3=1+m十 所以(Pi.Pi)=35,(Pi.Pi)m=15, 所以Pi,P第的取值范圈是[15,35]，故法D m十1=0，解得m=一1.故选C 2 8.A解析：由亚孩定理得sin Asin AC=sin Bsin A, 2 2.C解析：由余弦定理，得=a2十c-2 aceos B=76,所以 B b=219.故选C. 2 3.D解析：国为AD=号AB,即A市=号A店，点E为CD的 B :Ae0,,∈(0，受) 中点， B 所以A方=3A市=3(C市-CA)=3C市+3AC=6CE+ sinA≠0，cos2≠0，sim2=立 3AC=6(AE-AC)+3AC=6AE-3AC. 所以正=合+)=a+6,故选D 由余弦定理得b3=a2十c2一2acc0sB=a2十c2-ac=1 《小导指斋斋利表中 ,”a十c2≥2ae(当且仅当a=c时取等号)， .1≥2ae-ac=ac, A,AC方向上的单位向量 ◆疆高 AC Sa-ac·inB- △ABC面积的最大值为 才故选A e1=e:|=1, 9,ABD解析：对于A,若la十b=a一|b|,则|a十|bP十 则O币=0A+x(e,十e),即AP=(e1十e:). 2a·b=|a+1b12-2a1b,得a·b=-al1b≠0，a 又e1=e:,以e1e:为一组邻边作一个菱形AB,CD1: 与b不垂直，所以A不正确：对于B,由A解新可知，若⊥ 则点P在该菱形的对角线AD1上， b,则a十b1≠|a|一|b1,所以B不正确，对于C,若a+ 所以点P在∠CAB1,即∠CAB的平分线AD上，故动点 b1=|a|-|b,别IaP+|b2十2a·b=|a|2十|b2 P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选A 2a|b,得a·b=一alb,设向量a与b的央角为9，别 5.B解析：，在△ABC中，∠ACB=75,∠CAB=60,AC c0s8=一1，则a与b反向，因此存在实数1，使得b=Aa,所 10m, 以C正确：对于D,若存在实数入，则a·b=AaP,一ab= ∴∠B=180°-（∠ACB+∠CAB)=45 AaF,由于1不能等于0，因此a·b≠-|a|b1,则a+ 由三定限写得品n时C-C b≠|a一b|,所以D不正确，故选ABD. sin B 10,AC解析：对于A选项，由正六边形的几何性质可知， ∠AOB=∠OBC=∠BO=∠ABO=60°， 02=56(m.放遂B 所以OA∥BC,ABOC,所以四边形OABC为平行四边形， 所以C=OA,A对： 对于B选项，因为四边形OABC为平行四边形， 6,D解析：由0耐+20i=m元，得宁0耐+号0成=受之 由平面向量加法的平行四边形法则可得OA+O市+O心 2O≠0，B错： 设0d-0i.则0+号0i=0心， 对于C选项，由正六边形的几何性质可知，OF=OD= A,B,D三点共线，如图所示， DE=EF. 心与O心反向共线， 所以四边形ODEF为菱形，所以O求+Oi1=O呢1， oc-0=BC1. CDm-3' 易知△ODE为等边三角移，则1OE1=1DE1=BC1,所以 4 O市+o币1=0心-0i1,C对： 对于D选项，设正六边形ABCDEF的边长为a,易知C店- m=一4，故速D, E亦， ·69* 答案全解全析二，透题（客题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个透项中，有多顿是符合题目 周测6余弦定理、正弦定理应用举例 要求的，全韶选对的得6分，透对但不全的得部分分，有选错的不得分 (在△ABC中，若AB一，AC一5，△CD为等边三角形《A,D两点在BC两侧)，周博国边形 (时0，G0分种分值，100分) ABDC的面积5量大时，下列逢用正确的易 一，选择题《本题共5小是，每小题行分，具2分，在母小题给出的四个透项中，只有一项是杆合驱 A∠4C- 7 k∠BAC- Cs-18+0 D.5-1 目要求的》 恩1在公元镜50华左有的华达断拉断学徽的数学家门坚值，一万物将（整）数与 7.某战轮在A处看灯请B在货轮的北篇东75，形高为128nme:在A处看灯塔C在货轮的比 《整数之比“，红后素的数学家发现了无理数，引发了数学生上的第一次数 间酒30，距离为s3nm.皆轮由A处向工北航行到D处时，再看灯请B在南偏东0，期下 列站论正确的是 学危机，如图是公元曾0车吉希背数学家秦行抱斯用米构造无理数2， AA处与D处之面的距克是34nm .5,一的图形，此周思中∠BAD的象弦值是 4 A. B. B钉塔C与D处之间的离是8,3nme 8 二，灯塔在D处的南偏西30 C25+,6 D. AD处在灯塔B的北偏西3 名在△ABC中，内角A.B.C所时的边分别为：6已知B=西.A=含.则 2.一授备鲶从A处商发，以每小到40海里的速度沿帝偏案0的方向直线第行，第分伸后到达百 3 处·在C处有一库灯墙，海轮在A处藏察灯精，其方向是南编东矿，在B处藏察灯指，其方向是 北偏张G,都么山，C两点国的甲离是 1 A若A-吾荆= 3 书若4=4，则mA=经 飞.10，夏海里 队.10落海里 C.205海里 D.20,2海里 C△AC直积的最大值为53 3 几，△AC周长的龄大值为15：区+ 3,为了测量一率靠不木可到达修建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组投什了如下湖址方 案：如图，设A,B分联为建筑将的最高点和底部.透稀一条衣平基线HG,使料H,G,B三友在 三，塘空题（本题共4小题，每小题后分，共20分》 区 一条水平直线上，在G,H两点用测角仅海得A的仰角分期为日，3，且CD=,测角仪器的高度 如饵，再座相距0画的建装物A山，CD的高度分别为的m,0m:D为术平而，则从建筑物 是A,由此可计算出建筑指的高度AH,若a=7,g=5,则此建筑物AB的高度是 A日的孤黄A看建就物CD的张角∠CAD一 41 队8+1 a+h C.3+ 4 n. 第题图 12. 1(,如图，已知在案西走向上有AM,BN牌个发时墙，且AM=100m,BN=的m,一测量车在塔 322 截M的正南方向的点P处测得发射塔颜A的韩角为0，该测量车向光篇程0”方向：洗了 第理国 第4易周 第：延用 4,知图，已知在⊙)的内接四边悬AD中，AH=2,C7,AD=《D=4,期A= 100,百m后线达点Q,在点Q处测得发财塔顶！在仰角为8，且∠Q1,处计算，n9=2, 则两发塔頌A,B之阀的距离为此 鼠 n酒 5.如图，为了测量两山顶M,N可的离，飞肌沿水平方向在A,B两点进行测量，A,H,M,N在 1.在△A中，内角A,C嘴对的边分别为6，且e=6C+m,则 可一个都垂平真内.若请你授计一个测量方案，划需要测量的数据可以是 若△A山C的面积5m”,i,u十：=6，瑞b- A.AB,∠HAN.∠AIM,∠BAN,∠ABN 1之海岛上有一座高塔，高塔面端是观察台，观察台海核100m,在观察台上戏察到有一轮船，该 AB,∠BAM,∠ABM,∠BAN,∠MAN 轮船碱行的递度和方向保持不变.上午11时，测得该轮船在海岛起偏东的，船角为0处，1山 CAB.∠BM,∠LN.∠ABN.∠MAN 时0分测得该轮精在算岛北偏再0”，解角为0处，期该轮精的速度为m/h,再经过 D,AB,∠BAM,∠ABM,∠MEN,∠ABN 分钟后，该轮船到达算岛的正西方： 国测4余弦定理，正兹定厘成用常闲 四、解答题本题共3小题，共37分，解答皮写出文字说阴，证钥过程减演算梦W》 13.《本小题辆分12分)如周，尚解甲位于岛的A的南偏程0方向的B处，且与岛的A图距 (体小腾分3分如图：在桃形AD中，E知ADC,AD=1D=品∠CAn= 8nme,湖船乙以5nm/的迷度从岛的A出发沿正堂方向膜斤，若消好甲闻时从B处出 1an∠ADC-3. 发铅北篇东a的方向追赶滑船乙，料好用2追上， (1)求sn∠ACD: 1)求淄超甲的速度： )求CD的长， (2)求na. (3)求△D的度积， 1(休小题溪分1世分)如m,在两动君ACD中，E为C的中点AB=3AC=之∠AC-三 41》求s∠AC: 2若AED.CD-号求m 明风测数学必样第二看A版 12