周测5余弦定理、正弦定理- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

周测5余弦定理，正弦定理 名在△AC中，内角A:B.C所对的边分别为年「，测能推出A=的有 A.asin C-3ros A-0 乱，binA-uosC-《e-b)cosA (时间，G0分种分值，100分) C.tantA+B)(1-tan Atn B)-c cox B D.5bnA-2osC-(年十kooA 一，选择题《本题共5小题，每小题分，具25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是杆合驱 三，填空题（春题共4小题，每小题分，共20分》 日要求的 身在△ABC中，内角A,B,C所对的分刚为a,6,(.若A为锐角，6一3，e一4，周△AC的周长可 L在△Ax中.4B-1.BC-5mA-日 ，期AC 能为（写出一个符合意的答案即可》 1a17t纪德用著名的人文学家，数学家约翰尼指·开普粉Jn*Kepler)曾经 A.2 C,3 4 这样说过，“儿问学里有两件宝，一个是勾段定理，另一个是黄金分刷.如果把匀 题定调比作黄金矿的话，第么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有再种， 2在△ABC中，已知AC-1,以-，B-音，则C为 其中度与腰之比为黄金分制比的黄金三希形被从为是最美的三角彩，它是一个 八g c号 n 原角为的等腰三角形（另一种是质刷为1的等腰三角形）1.网如，五角星由 队攻活 在△A以中，内箱A,B.C的对边分为，b,若nC+mB=士E.则△的形 红个贡金三角形与一个E边形相，如阳，在其中-个黄金△AC中，肥-后一银教达 线信息，可得n954= 款为 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分测为a,b,c,已知d一2,6eosC+ccB一anC,且 A等能三角形 民直角三角彩 C,钜角三角彩 几，纯角三角形 AD-2DB,期AD,C- 4若△A以的内角A,B.C所对的边分别为a,bc,已知日m2B=bmA,且c=a,则之 12如图，在平面两近形AHCD中，∠4C=∠AD=0',A出=互，AC=2,期BD的最大算为 数 A.I 号 C D.2 五，在△A以中a=5,山=0A一的'，则4- 度这 . DT 二、选择最《本整共8小最，每小题日分，共]8分，在每小慧给出的四个法项中，有多道是蒋合盟日 四，解菁题（本题共1小显，热7分，解箭应写出文辛说明，江明过程或清算步】 要求的，全福选对的得6分，湛对但木全的得部分分，有选储的不得分 13(本小题调分12分)在△4C中，内箱A.B,C断对的边分别为4,6F,记△A风C的霍周为S, 瓜.△AC的内角A,B,C的对边分刚为a,b,c,则下列说法正喻的是 已知A面.1-2s. A.若sin'A十inBc对nC,侧△AC是纯角三角形 (1)求A的大小： 其若4=8，r=10.B=和，则符合条件的△AC有内个 (2)若=2.求2十的最大值 C若o目一5，bA=3,期县的大小为月 “ n若运十·成-且B·C人w A后'C乞·期△AC是等边三角冠 7.在△A以C中，内角A,B,C所对的边分期为“，b,,期下列条件中一定能够判定△ABC是等限 三角形的量 AB-月 B.acos Bcos A C.e-2ucoo B D.asin B-tsin C 9 周河5余致定理.正弦定理 14.《木小延清分2分在①bmA=,3ee0B:②a。C+rcsA=2beB:③a1nA+《一 a》nC一s加B这三个条件中任这一个，补充在下面情线上，并解容问避. 1线（本小巡病分18分）在△4中，内角A,B,C的对边分捌为b已知士=n自 usin l-s A* 在△A以中.内角A,BC的对边分拼为b且一 且c0s4-B+o8C-1-os2C (1?求角B的大小： (1)试确定△AB”的形民， (2)若△A仪C为悦角三角形，且=1，求△A联：面周的取值植围， (2求“于的取值在围。 线 明风测数学必样第二看A版 1015.解:(1)由A-. 4.C 解析:因为asin 2B=bsin A,所以 2asin Bcos B= bsinA. 可得-B+A--A+-A 由正弦定理得2abeosB-ab,因为ab0,所以cosB= :A-A. 2r d &CR-CA+A--A+AB 得一故选C. (2)由(1知A-AB+B-AC+CR 5.D解析:由正弦定理,得_0-sB” 15 10 则有AB+a(A-AB)-AC+(A-A). 10x 10sin 60' .(1-DAB+△AC-AB+(1-)AC } .sinB- 15 153 ..A与AC不共线。 “'ab'A→B,又'A-60”,B为三角形内角, '.B为锐角, 解得 (3)设B-BC,-A. 6.AD 解析:因为sin'A+sinB<sin”C,所以a’+-c<0. 由(2)-第+. 2 B-A-A-A-A-(A+A) 钝角三角形,故A正确; 因为a-8$c-10,B-60”,所以$-a}+-2accosB= AB-2AC+(-1)AB-mBC-AC-mAB. 8+10-2$×8t10×c0s 60-84,则b-221,则符合条 .AB与AC不共线. 件的八ABC有一个,故B错误: 6 ,. 5 解得 cos Bsin B-3.即 tan B= ” '点P是线段BC上靠近点C的三等分点. 周测5 余弦定理、正弦定理 AB 边BC,即△ABC是以角A为顶角的等腰三角形,又一 AB 1.C 解析:因为AB=1.BC=5.cos A-.所以由余弦定 AC -cos乙BAC- 士且0<乙BAC<,故乙BAC= 51+AC-5.化简整 [AC 2AB·AC 2AC 则八ABC是等边三角形,故D正确,故选AD. 理得3AC-5AC-12-0,解得AC-3或AC-- 2r 去).故选C. 整理得^}士一c,即C为直角,则△ABC为直角三角形; A不能:由正弦定理及B项得sinAcos B三sinBcosA一 sin(A-B)-0.由于-x<A-B<*,故必有A-B-0,即 x A-B,故△ABC为等腰三角形,B能;由c一2acosB,得 AC BC BC.sinB sin C-2sin Aeos B. .'.sin(A +B)-2sin Acos B. A '.sin Aeos B+cos Asin B-2sin Acos B..'. sin Acos B- 。 cosAsinB-0.'sin(A-B)-0.'-n<A-B.'A B.C能;由bsinB-csinC,得sinB-sinC,.'三角形内角 3.B 解析:根据余弦定理知. 和为180 .*',sinB-sinC.'.B-C,故△ABC为等腰三角 x- beos C十ecos B -6×&+ 形,D能,故选BCD 2a 2C _句-+-6 8.ACD 解析:对于A中,因为asinC一3ccosA-0.由正弦 2 2 定理得sinAsinC-3sinCcosA-0. -. 因为C(0.x).所以sinC0.所以sinA-③cosA,即 所以-6十c,则A-吾,故△ABC为直角三角形,故 tanA-3. 选B. 周周测 数学 必修第二册 A版 ·64. 对于B中,因为v3bsinA-acosC-(c-b)eosA. 所以cos 36-1+1 由正弦定理得v3sin Bsin A-sin Acos C-sin Ccos A- 5-1 sin Bcos A. 即v3sin Bsin A+sin Bcos A-sin Ccos A+sin Acos C= sin(A+C)-sinB. 11.- 解析:.beosC十ccosB=asinC...由正弦定理得 因为B(0,n),可得sinB0,所以v③sinA+cosA 2cos(A-*)-1. sin Bcos C+sin Ccos B-sin Asin C. 即sin(B+C)-sinAsinC,又B+C--A. #以co#(n一)## '.sin(B+C)一sinA. 'sin A-sinAsinC.又 0 A<x.sinA0. 因为A(0.n),可得A-(-.2) 如图,又AD-2DB. 对于C中,因为tan(A十B)(1一tanAtanB)= .A·B-2A·B- 1-an AtanB(1-tanAta B)-tan A+tan B. ranA十tanB #-#A+C)B-·B- ③sinC 所以结合正弦定理得tanA+tanB-3 - acos B sin Aons B' 所以v3sin C-sin Acos B(tan A +tan B). 12.3 解析:设CAD-0E(o.),在Rt△ACD中,AD- 即v3 sin C=sin Acos B. sin Acos B+eos Asin B cosAcos B ACcos8-2cos8. 3sinCsin Asin(A+B) cosA 在△ABD中,因为乙BAD-8十吾. 可得/3sin Ccos A-sinAsinC. 因为CE(0.n).所以sinC>0. 由余弦定理得BD=AB{+AD*-2AB·AD·co(o+-)= 所以3cos A-sinA.即anA-③ 3+4coso-2xv3x2coso(-sin) .1+cos203- -3+4cosa+23sin20-23sin 29+4. 对于D中,因为v3bsinA一acosC-(c+b)cosA. 2 所以由正弦定理得v3sinBsinA一sinAcos C-(sinC+ 2、3sin 20+2cos 20+5-4sin(20+)+5. sin B)cosA. 所以BD-4sin(20+)+5. 即v3sin Bsin A-sin Acos C-sin Ccos A+sin Bcos A. 可得③sin Bsin A-sin Beos A 所以当20+吾一吾,即一吾时,B取得最大值,为 =sin Ccos A+sin Acos C-sin(A+C)=sin B. 因为B(0.x),可得sinB0. 45-3. 所以3sin A-cos A-2sin(A-)-1. 13.解:(1)因为v3AB·AC-2S. ##以sin(-)一## 所以/3bccosA-bcsinA. 可得anA-3. 因为AE(),n),可得A-(-),以A-一 吾,可得A-吾,所以D正确:故选ACD. (2)由余弦定理可知a^{-6+e*-2bccos甚. 9.9(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可)解析:由余弦 即12-b*+e-bc. 定理得a=+-2hccos A-25-24cos A. 士 因为A为锐角,所以cosA(0,1),可得a 25-24cosA(1.5). 所以△ABC的周长a+b十c=a+7é(8,12). 2 故△ABC的周长不唯一,(8,12)内的任何一个值均可. 可得6+<24. 10.-5+1 解析:在等腰△ABC中.BAC-36*. 当且仅当-c-2v3时,等号成立。 180-36-72. 所以6+的最大值为24. 则乙ABC-乙ACB- 2 14.解:(1)选,由办sinA=③acosB及正弦定理可得 BC5-1sin36* sin36” sin Asin B-③sin Acos B. 2sin 72--2sin 36'cos 36*= 因为A后(0.-),所以sinA>0. 2cos36' ·65. 答案全解全析 选②,由acosC十ccosA一2bcosB及正弦定理可得 周测6 余弦定理、正弦定理应用举例 2sin Bcos B-sin Acos C+cos Asin C-sin(A+C)-sin B. 因为Be(0.n),所以sinB>0. 1.D 解析:在△BCD中.DCB-135; .BD-1+1+2x1x1x2 -2+/2. 2 选③,由asinA+(c一a)sinC-bsinB及正弦定理可得 在△BAD中,cos BAD-3+1-(2+②)23- a十c:-ac-b. 2③ .故 由余弦定理可得cosB. 2c 2. 选D. 2.A 解析:如图所示,易知在△ABC中, 北 AB-20海里,CAB-30”. ACB= 2 (2)因为△ABC为锐角三角形,且B-. AB {#_C) 得BC-10②(海里).故选A. 所以 #2一<# 3.A 解析:在△ACD中.CD=a, ADC=45{。 CAD= 75-45-30{ AC 由正弦定理得_ADC"sinCAD' CD #以tanc_ 2_ 23 sin(}_c<) sinA 由正弦定理得。一 sin 75-sin(45+30*)=sin 45cos 30*+cos 45*. sinC sinC sin3o+② #23oC 一#()# sinC 路以 $xoin_() 在Rt△ACE 中 AF-ACsin ACE-v2av+2 1 2 15.解:(1)根据正弦定理得,a+6_sinB a sinB-sinAb-a' ③十1 所以AB-AF+FB= 所以--ab.① 2 因为cos(A-B)+cosC-1-cos2C. 所以cos(A-B)-cos(A+B)-2sinC 2 所以sinAsinB=sinC. 4.C 解析:如图,连接AC,由题意四边形 由正弦定理,得ab一r”,② ABCD为O的内接四边形知ABC十 把②代入①,得6-a-”. ADC-n: 即十-。 则在△ABC中,由余弦定理得cos ABC一 所以八ABC是以B为直角的直角三角形 AB+BC-AC4+49-AC 2AB·BC 2X2X7. 在△ADC中,由余弦定理得cos ADC= 所以C-A. AD+DC-AC 16+16-AC 2AD.DC 2X4X4. 所以sinC=sin(吾-A)-cos A. 因为乙ABC十乙ADC-n。 所以cos/ABC+cos ADC=0. +49-AC16+16-AC -sinA+cosA- sinB 2×2×7 2×4×4 二_0. 2sin(A+). 3-Ac 32-AC{ 28 32. 园为acab-c?,所以a<c. #以0<A<. 解得AC-6v30 。故选C. 二A+~## 5.A 解析:对于选项A:当测出AB,乙BAM,乙ABM. 乙BAN.ABN. ###~án()1 在△ABM中,由正弦定理可得 AM-in(ABM十BAM)'" AB.sinABM 所以1<v2sinA+=)V2. 在△ABN中,由正弦定理可得 AB.sin/ABN AN-- sin(乙ABN十乙BAN)' 周周测 数学 必修第二册 A版 ·66.