周测4平面向量在几何与物理中的应用- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8在△AB中，=+a,肠=属+城，下列结论正瑞的是 周测4平面向量在几何与物理中的应用 - S2e12 (时间，G0分钟分值，100分》 三填空题〔本题共4小题，每小题石分：共即分) 一，选择题《本题其6小题，每小题分，具的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是杆合驱 身用再条成2面角的等长的蝇子是挂一个灯具，如用衡示，已知灯具重10N,喇每 日要求的 服绳子的2力大小为N: 、12w 1,在四边形4以D中.A百=4十2h,=一4a一b.i=一海一3沿，其中a:b木共找，谢四边彩 10一个重纱N的物体从领斜角为，斜面长】m的光滑斜童菌端下滑到底端，若 ACD为 重力做的功是10J,期0= 入.平行四边形 县.矩形 C,梯形 D.菱形 11,一腹船从南岸出发。向北岸横流.根据测量，这一天水流速度为3km山，方向正 深都之.在四边形A风D中，若AC-1,.B配-一6,2》，测该视边形的重积为 东，风的方向为北佩西0，受风力响，静水中船的源行速度为3km/h,若要使该图由南向北 A.5 且25 C.5 D.10 沿垂在于间岸的方向以23km/h的速度线废，喇轻本身的速度大小为 :0航行的方 3,规点P在平面上作匀违直线述动，连度向量=〔：一3)（围点P的运动方向与”相同.且秒 向判 移功的距离为个单位》，设开始时点P的坐标为《一10,10？，期5物后点P的坐标为() 12如图，半径为5的角形AB的圆。角为12，点C在AB上，且∠形一30,4 A.(-2.4) 品（一0,25 C,(10,-51 D.(5,-101 若0-Oi+0丽.则A+w- 4.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆角工具在冰上进行的相互材抗的集体性竞技运动， 回，解答娅卷题共3小题共38分，解答应写出文字银明、证明过程藏演算步骤) 在冰球运动中，冰球运动员解穿冰鞋，身看防护装备，以球杆击球，绿人利方感门，多 13(本小题满分2分)在△A做中，已知A(2,4),B(一1，一2》，C(4,3),AD1C于点D, 者为胜。小赵同学在炼习漆球的过程中，以力F一(，24)作用于冰球，使法球从点 1)求点D的半标： A(一1，一1)移动到点1，一1)，则F对冰球所做的功为 (2)求证，AD-BD·DC. A-18 品18 C,-18 D.12 部区五.地时是一种地置装材科，山叫地板帮，用酷士绕制面或，随坚。耐压，耐费。脚潮.地氨砖品种丰 常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的艳板段解设方式，地版线有正方形与正三角形两种 形状，且它的边长霜相等，若一e,《一，螺A正 c.- -+ 寄5，在△以中，若1正+A1=1,C+C1=2,粥△A以在积的量大植为 c 二、话择题《本醒共2小题，每小题分，共12分，在每小蓝给出的四个选项中，有多项暴释合體日 要求的，全部选对的得6分，逃对日不全的得部分分，有进蜡的不得分) 7.在日常生括中，我们会看到量图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李 包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分城为F,F,且F,=F,. 与F:的夹角为，期下列结论正的是 A.d鹭小越省力9越大练费力 B,8的莲围为0，] C当0-时，F-G D.当0-=时.Fl-G 7 周两4平置向量在儿句与物用中的度用 14,《木小思满分12分爱量m2,0的术块，在平行于鲜面向上的拉力F一10N约作用下， 15本小题分4分)如图所示，在△ABC中，AG=Q,A店=Ai,Q与CR相交于点1，A 沿朝鲜角=3和的充带斜的向上滑行1*=又自m的影离，(e=9,N/k起 (1》分别求物体断受各力对物体所敛的功， 的廷长线与边C交于点P 《》在这个过程中，物体断受各力对物体随疗的代数和是多少 (1)用A官和AC分别表示HG和戒： (2)如果7-A店十B面-AC+nC京，求实数a释：的植： (3)在2)的条件下，响定点P在边上的位置， 州贤测数学必静第二看A版 8(） 解析：因为O1=5,点A(0.1)在y 15.解：(1)设b=(x,y)(x,y∈R), 5 周为ah,所以y=2x.① 抽上，所以可取点D(0,5),别点C在∠BOD的平分线上， 又周为|b1=25.所以x2+y=20.@ 且OB1=|OD1,所以O心与向量O+Oj同向，O谚+ 由①②联主， 0j=(-3.4)+(0.5)=(-3.9).设0心-1(0+0i) 解得b=(2,4)或b=(一2，一4). 1(-3,9)(A>0).又0元1=2.所以A= 所以 V10 (2)因为(2a+e)⊥(4a-3c), 所以(2a+c·(4a-3c)=8a-3c2-2a·c=0, =(3 由1a|=V5,c|=/10,解得a·c=5 a·c2 n.+1 解桥：：AD=A店+yAC, 所以om0=86-号.0e0, :.AB+BD-2AB+yAC 所以a与c的夫角9=至。 ·BD=(x-1)Ai+yAC 又ACLA店，Bi·A店=(x-1DA方. 周测4平面向量在几何与物理中的应用 设Ai1=1,则Di1=BC1=√2. 1.C解析：：Ai=Ai+B+Ci=-8a-2b=2,∴AD∥ 又：∠ED=60励- BC,且AD≠C,四边形ABCD为梯形.故选C. 2.D解析：：AC.B币=-6十6=0，.AC⊥BD.∴.回边移 又：B丽与店的夹角为45. 由BD·AB=(x-1)AB, ACD的面软S-专C励-×V而X2而=10 将×1xoms45=-Dx1 故选D. 3,C解析：国为开始时点P的坐标为（一10,10），速度向量 v=(4,-3),所以5秒后P点的坐标为(-10,10)+5× (4,-3)=(-10,10)+(20,-15)=(10,-5),故送C, 同理.BD-(x-1)AB+yAC,两边同乘AC,由数量积得 4,D解析：因为A(-1,一1)，B(1,-1),所以Ai=(2.0),又 F=(6,24),故力F对冰球所微的功W=F·A店=12，故 速D. 120解析：如图 5,D解析：以AB的中点M为坐标原点， 在R△ABD中，AB-E,∠ABC- AB所在直线为x轴建主如围所示的平 面直角坐标系，设|AB|=2,剥O(0, 所以BD=1,所以BD=号C。 3).A(-1.0),B(1,0),F(1,2+25) 所以-吉而-号+励 所以0月=(-1.-3).O=(1.一5). AF=(2,2+23).设AF=aO月+ -号(+C)-A店+号(Bi+aC, i-(-A+,-同A-5,期{厂*=2 1-31-34=2+23, =号+心 =一2 又固为A方=AB+AC. 3 解得 所以=-（2+)a-。 所以头=号以日 1 3 所以-号-号-0 即-+)加-.故造D 13.解：1)Oi=3e,ON=4e, 6,D解析：在直线AC上取如图所示的D,E两 0M.ON=12e,·e2=12cos60=6. 点，使得DA=AC=CE,因为Ai+AC=1, (2)O币12=(3e,+4e,)2=9ei+24e1·e:+16e=25+ 1Ci+C第-2，所以Ai-AD1=1Di1=1. 24c0s60°=37， D 0币1=37 -=成=2，财SAm=号5m 14.解：()因为e1=(1,0),e:=(0.1) 所以a=3e1-2e:=(3,-2) 吉×号×Di×面×n∠DBE≤号×号x1X2X1 b=4e1十ez=(4,1), 所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10, 寻，当且仅当∠DBE=受时，取等号，所以△ABC西积的最 因为a十b=(7,-1), 所以a+b1=√7+(-1DF=5v2. 7,AC解析：对A:根题意，得G=|F,+F:, (2)设a与b的夹角为日， 所以G2=F,+1F,P+2F,1IF:cos0=21F,F(1+ 10 则0-a6石x而了 10√221 1G12 221 cos0).解得E1=20千cos0 周周测数学必修第二册A版 ·62· 因为当日∈(0，霄)时，y=c0s日单调递减，所以0越小越省力， 3=v,即v:=v一a,数形结合知的方向是北编西60°，大 日越大越费力，故八正嘛： 小是3km/h. 对B:由题意知0的取值范围是(0，π)，故B错误： 对G图为P,-20s所以当0-要时.B, 1G,所以|F=G,故C正扇： 时D:国为F,P-21十os0所以者0-受时，E, 图 %2 G,所以F,-竖G1度D错元故落AC 12.V3解析：由避意，得∠AOC=90,故以O制 为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x轴， y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 8.ABD解析：如图，由B驴=+记两边同时来以 荆O(0,0),A(0,w3),C(√3,0)， 号得号动-厨+号成 B(3cos 30',-3sin 30"), ◆耐=耐+号成，则丽-子耐=子 图为O元=O+Oi, 号，中i=3M心， 所5.0》=05+r(侵-）-（受5-） 因光点M在AC上，-AC, 5-im 23 3 A市- 即 解得 -- 所以A十以=3。 7 所以Sarm=立SAr,Sar=7SaAm,Sne 13.解：(1)设点D的坐标为(x,y), 则AD=(x-2y-4).BC=(5,5).BD=(x+1y+2) 号Se测Sam1S=113:故A正确： 国为AD1BC,所以AD,BC=0. 同理破-赋+号武，两边同时来以号，得号成 肿5(x-2)+5(y-4)=0, 所以x十y=6.① 号成+号成 又周为B,D,C三成共线，所以BD∥BC, 所以5(x十1)-5(y+2)=0. 令B=成+C,剥号BN-号B所=B成 所以工一y=1,② B,即3AN=4NC,因地点N在AC上，NC=AC, 联立①②，解得 5 2 破-耐 所以点D的坐标为（仔，哥》 所以Sm=是Sam,Sa-子56r,Sm 7 (2)证明：由1)得市=（受，-），励=（受，） 子S2e则Sex1SA-114,故BE瑞： -(位) 国为市-最网，所以S一是5，月为防 所以=+号-兰，成=√()+() 是武，所以55 5 所以SaPc:S△ar=1.S△9w1S6m=5:12,故C错误， .-√）+(- D正骑.故选ABD 9,10解析：设重力为G,每根蝇子的拉力分别为F,,F:,剥由 从励成-×号-号 题意得F,F:与一G都成60角， 故AD1:=BD1DC1, 且F,=|F:,F,+F,+G=0. 即AD3=BD·DC. .F,=|F:=Gl=10N, 14.解：(1)木块交三个力的作用，重力G,拉 .每根绳子的狂力都为10N 力F和支持力N,如图所示，拉力F与位 移5方向相问，所以拉力对木块所微的功 10,30°解析：，We=G·多=G11sc0s(90°一0)=20×1× 为W,=F·3=F11sc0s0"=20(J): m(90-0》=100.ios(90-0=70=30 支持力N与位移方向垂直，不做功， 所以W、=N·=0: 1L.√3km/h北偏西60°解析：如图1，设水流的速度为￥1， 重力G对物体所做的功为W:=G·=G|scos(90°+ 风的地度为r:v1十"：=a.可求得a的方向是北偏东30°， 0)=2.0×9.8×2.0×cos120°=-19.6(J). a的大小为3km/h.设船的实际航行递度为"，方向由南向 (2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=W,+W、+ 北，大小为23km/h.船本身的造度为"1，如图2，则a+ W。=0.4(J). ·63· 答案全解全析 15,解：)由d=号C, 4,C解析：因为asin2B=bsin A,所以2 isin Bcos B三 bsin A. 可得成-前+A夜-A丽+号A花 由正孩定理得2absB-a6,周为ab≠0：所以cosB-立 :A成=A, 又c=2a,所以cosB=0十c2-b=0+4a- 2uc 4a2 2解 成=+a=-花+号A =5，故选C a (2)由(1)知Ai=Ai+B戒=A亡+求】 尉有A+A(号AC-a)=花+（号A-AC) 5.D解析：由正孩定理，得m6府一mB 15 10 1-AA店+AC=片Ai+1-4A. .sin B-10sin 60* 15 153 :AB与A花不共线， :a>h.A>B,又：A=60°，B为三角形内角， 1-a=片= B为锐角， 解得 3 (3)设B萨=mBC,A市-nA7 6.AD解析：因为sinA十sinB<sinC,所以a十b一c<0, 由(2知立=A+号A花， 所以c0wC=4+B-c 2ah <0,所以受<C<,别△ABC是 ÷B肺-市-弦-m-A店-（付A花+名A) 纯角三角形，故A正确： 因为a=8.c=10,B=60.所以b2=a+c2-2 accos B= A花-C+(日-)）A店=m成=mA-mA应 8+102一2×8×10×c0%60=84,则b=2√/2I,则符合条 件的△ABC有一个，故B错误： :AB与AC不共线， 2 国为amsB=5,binA=3.由正获定理得B m=31 解得 5 n=31 中6nA=a血B:所以nA=后nB=3,牌n8 ∴励-号配.腮-2 万，又B∈(0，，则B=受，故C错误： ,点P是线段BC上靠近点C的三等分点。 (A店十AC):=0来示∠BAC的角本分线每直于 周测5余弦定理、正弦定理 AB 边BC,即△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，又 ABI 1.C解析：图为A=1,BC=5,oA=令，所以由余贫交 4 A六=0s∠BAC一2且0∠BAC=·故∠BAC一于· 夏如A-ARAC C,南号-士AC5化装类 2AB·AC,中 制△ABC是等边三角形，故D正确，故这AD, 6 2AC 里得3AC-5AC-12-0.解释AC=8或AC-音（合 元D期折“m月-只南余孩充理得+-兰 2ac 去).故选C 整理得b十a=c2,即C为直角，尉△ABC为直角三角形， A不能：由正弦定理及B项得sin Acos B=sin Bcos A→ 2.B解折：在△ABC中，已知AC-l.BC-5,B-吾 sin(A-B)=0,由于-x<A-B<x,放必有A一B=0,即 A=B,故△ABC为等屦三角形，B能：由C=2 acos B,得 sin B sin A,得simA-BC·simB 所以由AC=BC sinC=2 sin Acos B,∴.sin(A十B)=2 sin Acos B. AC 1 .sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B..'.sin Acos B- 3 所以A=晋行所以C=受减看故选B cos Asin B=0,..sin(A-B)=0,.-<A-B<A= B,C能：由bsin B=rinC,得sinB=sin'C,,三角形内角 3,B解析：根据余往定理知， 和为180°，.sinB=sinC,·.B=C,故△ABC为等腰三角 beos C+ccosB 形，D能，故迭CD, 2ab 2ac 8.ACD解析：对于A中，图为asin C-√3ccm5A=0,由正弦 a+b-c2+a+c-b 2a 2a 定理得sin Asin C-√3 sin Ceos A=0, =4 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以inA=3o%A.即 所以u-b十，期A-受，故△ABC为直角三角彩，故 tanA=√3， 选B 又国为A∈(0，)，所以A=号，所以A正确： 周周测数学必修第二册A版 ·64·