周测2平面向量的数量积- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

周测2平面向量的数量积 8,已知平行四边形A以CD的直积为4CBAD一三◆且D正-武，B示一一2下元，哪下到说法 正确的是 1 (叶间，0分仲分挂，100分) 入商市的最小橙为？ 一，透择圆本恩其5小题，每小题百分，共25分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合是 且当正在市上的投能向量为一-花时，丽，花-号 日要求的》 1.已知单位向量e1,e1的爽角为60，则(e,+2e:)·(3e,=4e:》= C贰，F的最小值为5后- A-8 C.-2 D.-1 2.定义：a×b=。11bin6,其巾9为向量a与b的夹角，若1a1=2.61=5,0+b=一6，则 业当在在而上的授能向数为一而时，团·不-号 a Xh 三，填空题（本题共4小题，每小题5分，共0分】 .8 k-8 C,8减-8 D.6 a,已知△A城外接画周心为0，事经为12A行=A丽+AC,且话1=1，期向量AB在向 头已知向量a:6的夷角为号a-1,b一2.期2a+0一 量配上的授形向量为 0,如阁所示.半周的直径AB=2,)为圆心，C是半周上不同于A.B的任童 A配 成 c.-成 D.-成 点，若P为辛径C上的动点，期P+PB)·P同的最小值是 4,者花瓷，又称日地青花瓷，常简称青花，是中国烧器的主算品种之一。如函，这是一个青花烧国 红已知丰零向量。夹角为停划古的最本植为 盘.核圆盘中的两个国的州心重合，如州2，其中大图半经R一3，小园半径，一2，点严在大园上。 [2在边长为2的正△ABC中，D是C的中点，A正一2E丽.CE交AD于F.用B求，D呢- 过点P作小的切线切点分别是E,,期匠.P序一 C.4 D.5 四，解箐愿《本题共？小题，其3？分.解答虚写出文学说阴，证阴过程减演夏步骤) ,(本小题调分12分如图，扇悬B的元的点为M,动点C,D分料在4,0出上，且 BD,04=1.∠AQB=120 1)若点D是线段（进靠道点0的四分之分点，用不，丽表示向址， (2)求·M心的取值范用 第4题用 地3题用 5.窗花层贴在窗派或窗产遗璃上的用征，是中国古老的反族传统民间艺术之+，它历史慧久，风妈 生特，探受属内外人士所喜爱.用1是·个正人边彩窗花隔斯，图2是从度花图中拍象出的儿何 图形示意图.日加正A边形ABCDEFGH的边长为2区，AM是正人边形ABCDEFGH边上集夏 一点，期M·M店的最大值为 A.30+4,2 孔g8+B区 C,86十16厘 D.g4+16区 二，适择题（本题共3小题，每小框后分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是杆合题日 要求的，全距选对的得8分，这对日不全的得部分分，有透情的不得分 6,已知a,b.e是任意三个非零向量且互不其线，下判各式错黑的是 A.a+a h息·b5 C.a·b)·e-(a+c)+b=0 D.a·b)=a·b 7,已知对量a,b菊足a·=1,b=1,具a+b=7.则下列结论正确的是 A.1a=2 Bi.a (a-B) C日与书的夹角为写 Da与b的类角为月 国薄至：平面向量的数量写 14,(本小题清分12分1已知a=4.b三3，(2a-3b)·2a+)=1, 15,(木小题调分13分)已知在平面直角坐标系中，0为坐标原点，=(4,0).（邓=2,2万）， 《1求a与b的夹%9： (C-(1-A)对+a形a≠0，且A+1D, 《2)求a+b (1)求A·0证及i在心上韵投影向量： 《3若店=a,成=，求△AC的面积 (2)证明A,B:C三点共找.且当AB-C时，求人的值： a)求O元的最小值 州风测数学必蜂第彩A國14.解:(1)作出所有的向量AC,如图所示。 4.B 解析:如图,连接OE,OF,OP,由题意可 知OP[-R-3.OE-OF|--2.因为 PE,PF 为切线,所以OF 1PF,OE PE. 在R△PEO中,由勾股定理得PE 1|1-1OE-5,因为△PEO PFO,|PF|=PE|=,EPF=2 $E (2)由(1)所画的图知. ①当点C位于点C.或C。时,|BC|取得最小值,为 1+2-5; ②当点C位于点C。或C.时,|BC|取得最大值,为 选B. ④+5-. 5.C 解析;如图,取AB的中点O,连接 所以BC|的最大值为 ④T,最小值为5 MO.BE,OE,分别过点C.D作BE的 线,垂足分别为I,丁, 15.解:(1)因为AC-AB+BC-(3a-2b)+(-2a+4b)= 所以MA·MB=(MO+OA).(MO+C a十2b, CD--2a-4b=-2(a+2b). OB)=(M+OA).(MO-OA)- 所CD--2A. MO]-O-M-2.当点M与 所以CD与AC共线. 点F或点E重合时,|MO|取得最大值.易得四边形CD]I 又因为CD与AC有公共点C. 为矩形,△BCI,△DEI为等腰直角三角形,则1=2v②, 所以A.C,D三点共线. B I=EJ=2,所以BE-4+22,B=②,所以M取得$$ (2)因为8a十kb与ka十2b共线, 最大值为B0+BE-(2)+(4+2$2)-26+16 $,所$ 所以存在实数a(-0),使得8a十kb-&(ka+2b). 以MA·M的最大值为26+16②.故选C. 即(8-)a+(-2)b-0. 6.BCD 解析:A中,由a与b的数量积两边加绝对值,得 园为a与b不共线, la·b-allbllcosf|,其中8为向量a与向量b的夹角, .8--0解得-士2. 因为a[o,],所以0 lcos8l1,所以|a·b a||b|, 且只有当8一0或8一“时,等号成立,故A正确;B中运用了实 所以-2-士4. (3)证明:因为M,P,N三点共线,O为直线外一点, 所以存在实数x,y,使得OP-rOM+yON,且x+y=1. 中的结合律,由于b与c是不共线的向量,故C错误;D中错误 又因为OP-a十b,且a,b不共线, 地迁移了实数的系方运算,事实上,由a·b=allblcosθ. 所以OP-xma+ynb-aa+, 得(a·b)'-(al|blcosa) -al'blcos8-ab cos}, 所以rm=a,-. 其中8为向量a与向量b的夫角,只有当cos{日一1,即a/b 以#二yy=1. 时,(a·b)-a·b}才成立,而当cosθ l时,a. bcos{}<a·b,即(a·b)<a}·b,故D误.故 : 选BCD. 周测2 平面向量的数量积 7.AC 解析:因为la+b|-7,a·b=1.|b|=l,所以a + 11. $a·b+b-7,即a+2x1+1-7,解得a|-2,故A正确; 因为a·b-l,al-2,所以a·(a-b)=a-a·b-4-$ 所以(e.+2e)(3-4e )-3e^{+2e·-8-3+1- 10,故B错误;因为a·b-1.la -2,lb -1,所以cosa, 8--4.故选B. ab-,又因为a与b的夹角的取值范圈为[o. b三 a.b1 #],所以a与b的夫角为吾,故C正确,D错误,故选AC. ]. sin-.'.laxbl-2x5x|-8.故选A. 8.ACD 解析:因为cos BAD=- 3.D 解析:如图:'2AO-AB+AC..0 设AB -a, AD-6,判 bsinBAD-ab-4.解得 为BC的中点,又O为△ABC外接圆圆 心.o-o-0-1.B- 1 2..AB1AC.:③0-AB. 5 .AB-3.在Rt△ABC中.cosB= #3..向量AB在向 b=5a=5时,等号成立,A正确;因为DE-3EC,--2FC. 所AF-AB+BF-AB+2AD,A-AD+DF-AD+ BC 量BC上的投影向量为[ABlcos(n-B)]· 3,E·A-·A-(A+A)· 3C.故选D. (AB+2AD)-AB+21AD|+A·A-+ .59. 答案全解全析 26*+0×(-)>2~<4·20#-1#-a-15 由己知得 BA-BC -2,BC与BA的角为60, 所以B·D-(A+)·(B-B- .10# 时,等号成 6:5 立,所以EA·FA的最小值为56- 13.解;(1)由已知可得O-3OA,连接MA,MB. 垂足为H,则AB在AD上的投影向量 因为 AOB-120{$点M为孤AB的中点, 所以 A0M-60. 为AT,当AB在AD上的投影向量 又OA=OM,所以△AOM为等边三角形,同理,△BOM为 为-AD时,AD-AH-AB.因为 等边三角形, 所以四边形OAMB是装形,则OM-OA+OB 所MC--M-3o-o+oB---0-oBB (2)易知 DMC-60”,且MC|-MD. 那么只雪求MC的最大值与最小值即可。 正确,故选ACD. ##C D-#s 6o 9.2/7 解析:由题得l2a+3b|-(2a十3b) -4a+9+12a·b 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC-1. 则M·MD-co 0-. 所以MC·MD的取值范图为[.]. 10.- 解析:因为点O是A,B的中点,所以PA+PB- 2P.设PC=x,PO-1-r(0x1),所(PA+ 14.解:(1)因为(2a-3b)·(2a十b)-61. 所以4al-4a·b-3|bl-61. 又a-4.1b-3, ##时。(+)#取最小值,最小值 所以64-4a·b-27-61. 所以当:二 所以a·b--6. -_ 为一。 所以cosθ=- a.b 11\ 解析:因为非向量a与b的来角为2,所以a· /a+2 (2)la+b|-|ali+2a·b+|b b二 1a11b1. la+2b b b -4+2X(-6)+3-13. /la+4a·b十4b| 所以a+b-v13. 1| la 所以_AnC-2 b (r-1)+3 ③,当且仅当x-1,即a|-b|时,等号 又AB|-a|-4.B|-b|-3, 成立. 所以S△-AB|BC sin ABC 12.一 解析:如图,过E作EM/AD交 ###.# BC于点M.由AE-2EB,D是BC的 中点得,E-AD.M-D,所 15.解;(1OA·0B-4X2+0X2/③-8. #以FB--E--AD,#以-# 设OA与OB的夹角为8. -00 #$#AD.A-A-(B-)-( 则cos8 A---B-+A-+ (2.2/5)_(1v3). #-,DE--B-B-. 周周测 数学 必修第二册 A版 ·60. (2)·AB-0-0A-(-2.2③). (一+1,3+2),所以-3(3+2)-(-1)(-+1)-0.解 B---(1-0A-(1-O-(-1AB 得一- n= /10 -,所以 0且-1. .A.B,C三点共线. 当AB-BC时-1-1.:-2. 2 (3) 1-(1-:0A+2(1-O·o+::- 7.AC 解析:因为a-(1③).b-(x,1),所以a-b-(1-x. 16-161+16-16(a-)+12 3-1),所以(a-b)·b=r(1-r)+3-1=-x十十 .当-时:10C]取得最小值,为2/. -1-0.因为A-1-4(-1(3-1-43-30. x.+x.-10且xx:-1-③<0,所以x:与x。异号,故 A正确;a+b-(1+x,③十1),若(a+b)/b,则x+1 周测3 平面向量基本定理及坐标表示 1.A 解析:四为A-AC+CE-A+C-AC+ 误:cos(ab)-1+3 一,若(a,b)小于吾,则 b ##A-A)A-AB,A--Ac+AB故 2) <③ <1,解得: 3 ②A. #3因为[o+。): 2V1 2.A 解析:·AB-(3,3)CD-(-2.-2). ( {+),所以Vx[0,+o).(a:b)小于吾故C正 :--3. .AB与CD共线.又ABCD 确;因为2a-3b-2(13)-3(x,1)-(2-33),所 '.四边形ABCD为梯形:故选A. 以2a-③b|-(2-3x)+③)-3r -43r+7。 3.B 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则y 显然当x-0时,l2a一③b-/7,故D错误,故选AC B(0.0).A(0,8).C(6,0).D(3,4). 8.AB 解析:对于A项,设点M(x,y),因为点M是△ABC .DB-(-3.-40.DC-(3.-40. 的重心,点A(1,2).B(2,3).C(-2.5). 又之BDC为DB与DC的夹角. __ 1+2+(-2)1 ③ :D 所以 -9167 0() 2+3+510 .cos/BDC= 故A项正确 DB|DC 5X5r =25故 3. 选B. 对于B项,因点D是BC上靠近点B的三等分点,则3BD- 4.B 解析:以A为坐标原点,AB所在直 BC.设D(a.6).则3(a-2.b-3)-(-4.2).即 线为工轴,AD所在直线为y轴,建立如D 图所示的直角坐标系,设lAD-a(a 0).则A(0,0).C(4.a).D(0.a).E(2. 13(b-3)-2. 0).所以DE-(2.-a),AC-(4.a).因 - 为DElAC,所以DE·AC-2x4+(-a)·a-0.a'- M-(.).A-(-3,3),设MD与AC的夹角为日. 8.所以a=2②,所以DE=(2.-22).所以DE| _--1+1_o.所以MA.即 2+(-2)-2v3.故选B. 所以cosθ一 5.C 解析:由题意,在边长为2的正六 边形中,建立如图所示的平面直角坐 MD与AC的夹角为哥,故C项错误;对于D项,因为 标系,则A(0,0),A.(2,0).A.(3. 3).A(2.23).A(0,2③),A(-1. 3M-AC=3(,)-(-3.3)=(4.-2),所以13M- 3),所以AA-(2.23),AA- AC-④十(-2)-25,故D项错误,故选AB (-2.0).AA-(1.3)AA-(0. 2).AA-(-2.2③).AA-(-3.③).所AA. 解析:建立如图所示的平面直角空 AA-2X(-2)--4.AA·AA-。.AA·AA- 标系,作CO1AB于点O. 2+6-8,AA·AA-0+12-12.AA·AA--4+ A(一),B(.),c(#). 12-8.AA·A.A--6+6-0.显然AA·A.A-12为 D(-1#),#E(),#(-)#,以A一 最大值,AA·A.A--4为最小值,故选C. 6.BCD 解析:因为m-2n-(-1,3)-2(1,2)-(-3,-1). (#)-()#,A·#-(#)· 所以m-2n|-|(-3.-1)- 10,故A错误;因为(m $n)·m=(-3.-1)·(-1.3)=3-3-0.所以(m- (2) 2n)Im,故B正确;因为(m-2n)/(km十n),kn十n= ·61. 答案全解全析