周测1平面向量的概念及线性运算- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.在△ABC中.点D在At边上A-2D.F是CD的中点,下列判断正确的是 周测1 平面向量的概念及线性运算 A.--C cπ-π0 (时间:60分钟 :100分) D.C-一 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 目蔓的) 。化高(a+2-(5-2+- 1.已知量a.b,则a十b)-(a-b)- , C.) B.-f D. A.十 10.如图所示,已知四边形ABCD是矩形.0为对角线AC与BD的交点,没点案 2.关干完量D.下列食题中.正确的是 M-1O.A.B.C.D.量的集合T-PP.QM.HP.Q不重合1. B.若-一{*.题a/ A.若la一b,则-{ 合7有个元素. C若一.则a{ D.若7.b/c.喝a% 1.已知在AABC中.点M满MA+M+MC-.存在实数AB+AC-mAA成立. 3.在△ABC中.AC+CB-AC-AB-AB+BCI.△ABC是 则= A.等边三角形 D.等直角三角形 日直三角和 C.角三角 1.在△AC中,D是规C上一点:且B-I.F是AD构中点,过点E的直线与AB,AC 4.如图,A8是0的直径,点C.D是半网流AB上的两个三等分点,AB-。 分别交于M:N两点(点MN与点B.C不重合).设AB--AMC-AV,则+最 -).则A- .{_ 小_. A。_ 四.解答题(本题共3小题,共38分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步题 1K D.+。 13.(本小题满分17分)如图,已知向量a.b.e.4. ## 5.已知a,是平面内两个非零量,那么“a/是“存在入o使得a+一al+l”的 A.充分不必要条 ) B.总要不充分得 C.要条件 (1)求作+c+& D.既不充分也不必要条性 6.已知点P为△ABC所在平面内一点,且PA+2PB+3PC-.若E.F分别为AC,BC的中点. (②)设a-2.为单位量,求a十l的最大前 荆下列结论正确的是 ) A.p与P可能平行 B点P在线段F上 C.可-1 D.△PAB.APAC与△PBC的直积比为1:2:3 二、选择题(本题共2小题,每小题6分,共12分,在每小题给出的题个选项中,有多项是符合题目 要求的,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选请的不得分 A.-0 7/D C.一 D.-r .1. 周测1 平面自量的概念及线性坛耳 14.(本小题满分12分)如图所示的方格跃是由者干个边长为1的小正方形拼在一起组成的,方整 15.(本小题满分14分)设a是不贯找的两个非零向量 中有A,8两个定点,点C为小正方形的刻点,且AC一5 (1)AB--2.--+4CD--2a-.到AC.D立是否共 (②)若十2与&十共线,求实数的值 (30-m00-+.其中wra均实数-no.MP.三 (1)作密新有的向量AC (2)求BC的最大值与最小值 封 _裁 _丙 , 答 因因测 数学 必第二册 A .:周测1平面向量的概念及线性运算 号i,故B正确：对子选项C,花-忙+正-花+ 1,D解析：由题意得2(a+b)-(a-b)=2a+2b-a+b= 2市=+(g忒+)=号AC+号i a十3b,故达D. 2.B解析：A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不 AC+A店-AC)=A店+A心，故C正确：对于选 一定相等，故A错误：B.两个向量是相反向量，则两个向量 平行，故B正确：C,向量不能比较大小，数C错误：D.当向量 项D:AC=BC-B贰=BC-3Bi=BC-3(C市-C第) b=0时，a与e不一定平行，故D错误.故速B 2C克-3Ci,故D正确，故选BCD. 3.A解析：图为AC+Ci-Ai,AC-Ai-BC,AB+BC 5 1 AC,LAC+CB1=AC-AB1=AB+BC1,所以AB1- |BC=AC1,所以△ABC是等边三角形.故选A (+a+(+b=a+a 4,D解析：连接CD,OD,如围所示. 10,12解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O ”点C,D是半圆然AB上的两个三等分 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向 点.AC=CD=BD,∠BD0=3 量共有20个，但这20个向量中有8对向量是相等的，其命 180°=60°，∴AC=CD.∠CAD= 12个向量各不相等，即为A0(OC).OA(C0),D0(OB). ∠DAB=立X60'=30,:OA=OD∠AD0=∠DA0= BO(OD).AD(BC).DA (CB).AB (DC).BA (CD).AC. 30°，由此可得∠CAD=∠AD0=30°，.AC∥D0.由AC Ci,BD,Di,由元素的互异性知T中有12个元素. CD,得∠CDA=∠CAD=30,.∠CDA=∠DAO,.CD∥ 1L.3解析：：M十M丽+M心=0，点M是△ABC的童 AO四边形ACDO为平行四边形，：Aj=A可+AC= 心，设点D为焦边C的中点，期丽矿-号市-子×行× 号访+花-+b (+C)=号(i+AC.Ai+aC=3Ai,∴m=3. 5.C解析：因为a,b是平面内两个非零向量，若a∥b,则存在 唯一的实数n≠0，使得a=b,故a十b|={b十b= 解析：周为Bi=2D心，所以 lu+albl,a+lab1=lgb+lb=(+lm)b1. 存在a使得|a十r=a|十牡成立，所以“口∥h”是“存在 A市-AB-2(aC-AD),得Ai A≠0，使得a十Ab=a十|Ab|”的充分条件：若A≠0且 |a十b=a|+IAb,则a与Ab方向相同，故此时a∥b,所 号+号花 以“a∥h"是“存在A≠0，使得a十ab|=|a|+Ah|"的必委 又E是AD的中点，所以AE 条件，欲上，“a∥b”是“存在A≠0，使得0+ab■a|+ Ab"的充要条件，故选C, 君+号成=若耐+学耐】 6.B解析：周为P+2PB+3P元=0，所以P+P心+ 2(Pi+P心)=2P2+4P=0.脚Pi=-2P,所以点P 周为E,M.N三点共线，所以后十兰=1，即x十2y=6,且 为线段EF靠近，点F的三等分点，故A、C错误，B正确：设 >0.>0,所以+号=言(+2)（位+号） AB边上的高为h,因为E,F分别为AC,BC的中点，所以 SArM=号SC+5am= 2S4Am,又点P为线段 EF本近点F的三等分点，S6M=号·PE·h,Sm 2型-2，脚r=y=2时，等号成立. 合·PF·i:将以5ae=25anm,将以S=言5。 1 13.解：(1)在平面内任取一点O,作0A=a.AB=b.BC=c Ci=d,则OD=a十b+c十d. 1 11 Sapm=石5么e,所以Sarw1SaPw1Sar=豆：3 百=321，故D错误.故选B 1 7.ABC解析：由正六边彩的站构特征可知，A店与O心方向相 同，长度相等，A方=心，故选项A正确：A言与D求为相 (2)在平面内任取一，点O,作OA=a.AB=e, 反向量，·A店∥DE,故选项B正确：由正六边形的性质可 则a+c=OA+AB=Oi, 知，AD|=|B1,故速项C正确：A方与F心不共线， 因为e为单位向量， ·AD≠FC,故遍项D错误.故这AC 所以点B在以点A为圆心的单位圆上 8,BCD解析：对于选项A:由向量的减法 (如图所示)， 法附可知BC=AC-AB,故A错误：对 山图可如当点B在点B1时，O,A,B,三 于速项B:市=C才+A市=C才+ 点共线，|OB|即|a十e最大，最大值 号a-+号-i)=ci+ 是3. 周周测数学必修第二册A版 ·58· 1H.解：(1)作出所有的向量AC,如图所示 4,B解析：如图，连接OE,OF,OP,由题惑可 知O币1=R=3,O求1=OF1=r=2.得为 PE,PF为切我，所以OF⊥PF,OE⊥PE 在Rt△PEO中，由勾段定理得PE √ō币-OF=5,因为△PE02 △PFO,所以|PF1=IPE|=5,∠EPF=2∠OPE,又 (2)由(1)所画的图如， 5mn∠OPE=号，所以cos∠EpF=cos2∠OPE= ①当点C住于点C,或C,时，|BC|取得最小值，为 √+2=5： 2m∠0PE=古，所以E.币=5×5×)-吾故 ②当点C位于点C,或C。时，|C|取得最大值，为 达B. 5,C解析：如图，数AB的中点(O,连接 4+5=√T, MO,BE,OE,分别过点C,D作BE的垂 所以BC的最大值为√石，最小值为. 线，垂足分别为I,J, 15.解：(1)图为AC=AB+BC=(3a-2b)+(-2a+4b)= 所以Mi·M=(Md+OA)·(Md+ a十2b, O)=(M心+Oi)·(M心-Oi) 又CD=-2a-4b=-2(a+2b), 所以Ci=-24心， Md1-1OA-1M心2-2，当点M与 所以C市与AC共线。 点F或点E重合时，|M取得最大值，易得四边形CDJI 又周为CD与AC有公共点C, 为矩形，△BC1,△DEJ为等腰直角三商形，则1J=22, 所以A,C,D三，点共线， B1=E)=2,所以BE=4十2√2，B0)=√区，所以M心12取得 (2)图为8a十kb与ka十2b共线， 最大值为B0+BE=(W2)'+(4+2②)=26+16区，所 所以存在实数1（≠0），使得8a十kb=入(ka十2b): 以M·M丽的蓑大值为26+16V瓦，故选C. 即(8-k)a+(k-2)b=0. 6.以CD解析：A中，由a与b的数量积两边加绝对值，得 因为a与b不共线， |a·b=a川bcos0川，其中0为向量a与向量b的夹角 所以8-让二0解得A-士2。 周为8∈[0，元]，所以0≤cos81≤1.所以a·b≤1a1b1, 1k-21=0, 且只有当9=0成0=云时，等号成立，故A正确：B中运用了实 所以最=2以=士4： (3)证明：国为M,P,N三点共线，O为直线外一点， 复中的的分，而吕是淡有意又的：故B错送：心错同了实：乘法 所以存在实数xy,使得OP=xOi+O示，且x十y=1 中的结合律，由于b与是不共线的向量，故C错误：D中错误 又国为O币=a0十，且a,b不共线， 地迁移了实数的乘方运算，事实上，由a·b=|a|bosB, 得(a·b)2=(|a|bcos0)2=a21 bcos0=a'b'cos0, 所以O户=xma十ymb=aa十b. 其中0为向受0与向量b的臭角4只有当c0s0=1,即a∥b 所以xm=a,yn=B. 时，(a·b)2=a2·b2才成立，而当c0s20≠1时，a· 所以+=1+y=1 bco28<a·b,即(a·b)尸<a·b,放D错误.放 达BCD. 周测2平面向量的数量积 7.AC解析：因为|a十b|=√7，a·b=1,1b=1,所以a+ L,B解析：由题意可知e=le=lee:=1X1X2=2: 11 2a·b十b=7.即a十2×1十1=7，解挥1a=2,故A正确： 因为a·b=1,1a|=2,所以a·(a-b)=a一a·b=4 所以(e1+2eg)·(3e1-4e)=3ei+2e·ee-8e=3十1 10,故B错误：因为a·b=1,a|=2,b1=1,所以c0s(a, 8=一4.故选B a.b 1 2A解折：尚题得m0=日治-后=一子：9e0, -6 b》=ab=2,又因为a与b的夫角的取值范国为[0， ],所以a与b的夫角为了，故C正确D猎误，故选AC .血0=子1a×=2X5×号-=8故选A 3.D解桥：如图，2A方=A言+AC,0G 8ACD解析：周为cm∠BAD=子，所以m∠BAD=手 为BC的中点，又O为△ABC外接圈圆 设-a,A1=6,彩absm∠BAD-号ab=4:解得 心，Oi=OB1=OC=1,BC1 2.AB⊥AC.31Oi1=1AB1. b5流+高+名≥侣-2s收专 店-原，在△ABC中，msB-复向量店在有 b=5=5时，等号成立，A正确：周为D呢=3元BF=-2心 所以A萨-A言+B萨-Ai+2AD.A正=A市+D元=AD+ C 量B武上的投影有童为[Aeo(一B)门·B 是A店，所以E·团=A花，A正=（市+三A: 成.故选D +2而)=足+2A:+2A店.A币-。+ ·59· 答案全解全析