（总集篇）第六单元总集篇·七种组合图形面积法【十一大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元总集篇·七种组合图形面积法【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元总集篇·七种组合图形面积法 专题内容 本专题以组合图形的面积为主，其中主要包括求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的七种常见方法，即①相加法；②相减法；③加减混合法；④平移法；⑤旋转法；⑥容斥原理；⑦差不变原理。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积 4 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积 6 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路S=S1+S2） 8 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路S=S整体-S空白） 9 【考点五】面积法其三：加减混合法 11 【考点六】面积法其四：平移法 12 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法） 13 【考点八】面积法其六：容斥原理 14 【考点九】面积法其七：差不变原理 15 【考点十】平移运动问题 17 【考点十一】旋转运动问题 19 【第三篇】典型例题篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积。 【方法点拨】 1. 在格点图中估算面积。 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 2. 在格点图中计算面积。 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多边形，再根据面积公式进行计算。 【典型例题1】在格点图中估算面积。 估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示1dm） ( )dm2               ( )dm2               ( )dm2 【对应练习1】 请你估计下面三个圆的面积。 (1)图①中每个方格的边长代表4厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (2)图②中每个方格的边长代表2厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (3)图③中每个方格的边长代表1厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 【对应练习2】 估计下列图形的面积，与同伴说一说你是怎么做的。（每个小方格的边长表示1）             面积约为( )     面积约为( ) 【对应练习3】 下图中每个小方格都是边长为1厘米的正方形，请你估计爱心的面积约是( )平方厘米。 【典型例题2】在格点图中计算面积。 图中每个小方格的面积为，阴影部分的面积约是( )。 【对应练习1】 一个鱼塘的形状如图（涂色部分），图中每个小方格的面积是，请你估计这个鱼塘的面积。我们可以把它看作近似的( )。底约是( )m，高约是( )m，可以估计出阴影部分的面积约是( )。 【对应练习2】 图中每个小方格表示边长为1厘米的正方形，曲线所围成的图形的面积大约是( )平方厘米。 A．70 B．50 C．40 D．30 【对应练习3】 下面的图形可以看作学过的什么图形？画一画。并写出它们的面积（每1小格是1cm2）。 ( )cm2              ( )cm2               ( )cm2 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积。 【方法点拨】 在格点图中比较不规则图形的面积，一般用数方格的方法先计算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算，有时候也可以把图形割补成我们熟悉的规则图形，再进行比较。 【典型例题】 下图中三个组合图形的面积比较，( )。 A．（1）号面积最大 B．（2）号面积最大 C．（3）号面积最大 D．三个面积一样大 【对应练习1】 下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是( )。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【对应练习2】 比一比谁的面积大。（每个小方格的面积是1cm2） (1)面积最小的是( )图形，面积是( )cm2。 (2)面积最大的是( )图形，面积是( )cm2。 (3)( )和( )的面积相等。 【对应练习3】 下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是1cm2）      数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路S=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形），然后分别计算出面积，最后相加得出所求图形的面积。 【典型例题】 计算下面组合图形的面积。（单位：厘米）    【对应练习1】 计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 【对应练习2】 计算阴影部分的面积。 【对应练习3】 求下面组合图形的面积。 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路S=S整体-S空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法添补思路，把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题】 求下图中彩色部分的面积。（单位：cm）    【对应练习1】 计算下面涂色部分的面积。 【对应练习2】 求图中阴影部分的面积。    【对应练习3】 求出下图的周长和面积。（单位：厘米） 【考点五】面积法其三：加减混合法。 【方法点拨】 混合型图形处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加减。 【典型例题】 如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：cm）    【对应练习2】 求阴影部分面积．（单位：cm）     （1） （2） 【考点六】面积法其四：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。 【典型例题】 如下图，是一块长方形草地，长方形的长是20米，宽是12米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？ 【对应练习1】 四季公园里有一块长方形地，长15.6米，宽10米。图中白色部分是一条小路，宽是2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？ 【对应练习2】 求阴影部分面积。（单位：m）    【对应练习3】 公园里有一块长36m、宽23m的长方形草地，中间有一条宽2m的小路(如下图)，求种草的面积是多少平方米。 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 如图，面积为64的四边形ABCD满足AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE垂直于CD，AE的长为多少？ 【对应练习】 如图，四边形ABCD的面积是16平方厘米，其中AD=CD，DE=BE，AE=2厘米，那么四边形BCDE的面积是多少平方厘米？ 【考点八】面积法其六：容斥原理。 【方法点拨】 重叠、分层思路是把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题】 如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习1】 两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习2】 如图，有两个边长是8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。 【对应练习3】 两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形HEC（如图）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？ 【考点九】面积法其七：差不变原理。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积： 如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 【典型例题】 如下图，正方形ABFD的边长为6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大多少？（单位：厘米） 【对应练习1】 看图计算。 如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。 【对应练习3】 四边形ABCG、DEFG为长方形，AB＝7厘米，AG＝4厘米，DE＝2厘米，EF＝10厘米，那么三角形BCM比三角形DEM的面积大多少平方厘米？ 【考点十】平移运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如图，在等腰梯形中，，，。等腰直角三角形的斜边长，点与点重合，和在一条直线上。如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点与点重合为止。 （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由( )形变为( )形。 （2）当等腰直角三角形运动( )秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是多少平方厘米？ （3）当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 奥运会即将开幕了，全市掀起了美化城市的热潮．有位同学为一家商店设计了一副霓虹灯闪烁的原理图． 图中正方形ABCD的边长是6分米，等腰直角三角形的斜边长为20分米．正方形与三角形放在同一条直线上，CF为8分米，正方形以每秒2分米的速度沿直线向右匀速运动． 问：（1）第6秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少？ （2）第几秒时，正方形的顶点C恰好与FM的中点O重合，此时三角形与正方形重叠部分的面积是多少？（画出示意图，再进行计算） 【对应练习2】 如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 如图在长方形ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动回到A点，（1）P点从A 点出发经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 【考点十一】旋转运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 跃龙门。 如图，白色部分DEFB是一个正方形，AE长4厘米，EC长8厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 提示：怎样把两个阴影部分拼到一起呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。这样两个阴影部分就拼到一起了。 （2）因为( )，所以组合后的阴影部分是一个( )三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 如图，剪两个边长都是10厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，两个正方形不重叠部分的面积一共是多少平方厘米？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 20 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 20 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元总集篇·七种组合图形面积法【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元总集篇·七种组合图形面积法 专题内容 本专题以组合图形的面积为主，其中主要包括求不规则图形、 组合图形、阴影部分图形面积的七种常见方法，即①相加法； ②相减法；③加减混合法；④平移法；⑤旋转法；⑥容斥原 理；⑦差不变原理。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶 段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性 讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积 .....................................................4 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积 ................................................................ 6 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路 S=S1+S2） ........................................ 8 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路 S=S 整体-S 空白） .................................9 【考点五】面积法其三：加减混合法 ..............................................................................11 【考点六】面积法其四：平移法 ..................................................................................... 12 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法） .................................................................. 13 3 / 20 【考点八】面积法其六：容斥原理 ..................................................................................14 【考点九】面积法其七：差不变原理 ..............................................................................15 【考点十】平移运动问题 .................................................................................................17 【考点十一】旋转运动问题 ............................................................................................. 19 4 / 20 【第三篇】典型例题篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积。 【方法点拨】 1. 在格点图中估算面积。 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一 个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 2. 在格点图中计算面积。 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多 边形，再根据面积公式进行计算。 【典型例题 1】在格点图中估算面积。 估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示 1dm） ( )dm2 ( )dm2 ( )dm2 【对应练习 1】 请你估计下面三个圆的面积。 (1)图①中每个方格的边长代表 4厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (2)图②中每个方格的边长代表 2厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (3)图③中每个方格的边长代表 1厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 【对应练习 2】 估计下列图形的面积，与同伴说一说你是怎么做的。（每个小方格的边长表示 1 cm） 5 / 20 面积约为( ) 2cm 面积约为( ) 2cm 【对应练习 3】 下图中每个小方格都是边长为 1厘米的正方形，请你估计爱心的面积约是 ( )平方厘米。 【典型例题 2】在格点图中计算面积。 图中每个小方格的面积为 21cm ，阴影部分的面积约是( ) 2cm 。 【对应练习 1】 一个鱼塘的形状如图（涂色部分），图中每个小方格的面积是 21m ，请你估计这 个鱼塘的面积。我们可以把它看作近似的( )。底约是( )m，高约 是( )m，可以估计出阴影部分的面积约是( ) 2m 。 6 / 20 【对应练习 2】 图中每个小方格表示边长为 1厘米的正方形，曲线所围成的图形的面积大约是 ( )平方厘米。 A．70 B．50 C．40 D．30 【对应练习 3】 下面的图形可以看作学过的什么图形？画一画。并写出它们的面积（每 1小格是 1cm2）。 ( )cm2 ( )cm2 ( )cm2 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积。 【方法点拨】 在格点图中比较不规则图形的面积，一般用数方格的方法先计算不规则图形的面 积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积 单位计算，有时候也可以把图形割补成我们熟悉的规则图形，再进行比较。 【典型例题】 下图中三个组合图形的面积比较，( )。 7 / 20 A．（1）号面积最大 B．（2）号面积最大 C．（3）号面积最大 D．三个面积一样大 【对应练习 1】 下图中每个小方格代表 1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是 ( )。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【对应练习 2】 比一比谁的面积大。（每个小方格的面积是 1cm2） (1)面积最小的是( )图形，面积是( )cm2。 (2)面积最大的是( )图形，面积是( )cm2。 (3)( )和( )的面积相等。 【对应练习 3】 下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是 1cm2） 8 / 20 数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的 面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路 S=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形 （三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形），然后分别计算出面积，最后 相加得出所求图形的面积。 【典型例题】 计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 【对应练习 1】 计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 9 / 20 【对应练习 2】 计算阴影部分的面积。 【对应练习 3】 求下面组合图形的面积。 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路 S=S 整体-S 空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法添补思路，把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规 则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积 之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题】 求下图中彩色部分的面积。（单位：cm） 10 / 20 【对应练习 1】 计算下面涂色部分的面积。 【对应练习 2】 求图中阴影部分的面积。 【对应练习 3】 求出下图的周长和面积。（单位：厘米） 11 / 20 【考点五】面积法其三：加减混合法。 【方法点拨】 混合型图形处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的 图形，最后再相加减。 【典型例题】 如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习 2】 求阴影部分面积．（单位：cm） （1） 12 / 20 （2） 【考点六】面积法其四：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形， 进而求出图形的面积。 【典型例题】 如下图，是一块长方形草地，长方形的长是 20米，宽是 12米，中间有两条宽 2 米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面 积有多大？ 【对应练习 1】 四季公园里有一块长方形地，长 15.6米，宽 10米。图中白色部分是一条小路， 宽是 2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？ 13 / 20 【对应练习 2】 求阴影部分面积。（单位：m） 【对应练习 3】 公园里有一块长 36m、宽 23m的长方形草地，中间有一条宽 2m的小路(如下图)， 求种草的面积是多少平方米。 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最 后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 如图，面积为 64的四边形 ABCD满足 AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE 垂直于 CD，AE的长为多少？ 14 / 20 【对应练习】 如图，四边形 ABCD的面积是 16平方厘米，其中 AD=CD，DE=BE，AE=2厘 米，那么四边形 BCDE的面积是多少平方厘米？ 【考点八】面积法其六：容斥原理。 【方法点拨】 重叠、分层思路是把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重 叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总 和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题】 如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请 将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 15 / 20 【对应练习 1】 两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 如图，有两个边长是 8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。 【对应练习 3】 两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形 HEC（如图）。已知：AB＝10cm， HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？ 【考点九】面积法其七：差不变原理。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积： 如果 S 甲=S 乙，那么 S 甲+S 空白=S 乙+S 空白，反之亦可。 【典型例题】 16 / 20 如下图，正方形 ABFD的边长为 6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部 分乙的面积大多少？（单位：厘米） 【对应练习 1】 看图计算。 如下图，ABCD是边长为 10厘米的正方形，三角形 ABF比三角形 CEF的面积 大 20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的 面积大 12cm2，求 FC的长。 17 / 20 【对应练习 3】 四边形 ABCG、DEFG 为长方形，AB＝7厘米，AG＝4厘米，DE＝2厘米，EF ＝10厘米，那么三角形 BCM比三角形 DEM的面积大多少平方厘米？ 【考点十】平移运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如图，在等腰梯形 ABCD中， 45A  ， 10cmAB  ， 4cmCD  。等腰直角三角形 PMN 的斜边MN 长10cm，A点与N 点重合，MN 和 AB 在一条直线上。如果等腰梯形 ABCD不动，等腰直角三角形 PMN 沿 AB 所在直线以 1厘米/秒的速度向右平移， 直到点N 与点 B重合为止。 （1）等腰直角三角形 PMN 在整个移动过程中与等腰梯形 ABCD 重叠部分的形状由 ( )形变为( )形。 （2）当等腰直角三角形运动( )秒时，等腰直角三角形 PMN 与等腰梯形 ABCD重叠的面积最大，此时面积是多少平方厘米？ （3）当等腰直角三角形运动 4秒时，等腰直角三角形 PMN 与等腰梯形 ABCD 的重 叠面积是多少平方厘米？ 18 / 20 【对应练习 1】 奥运会即将开幕了，全市掀起了美化城市的热潮．有位同学为一家商店设计了一 副霓虹灯闪烁的原理图． 图中正方形 ABCD的边长是 6分米，等腰直角三角形的斜边长为 20分米．正方 形与三角形放在同一条直线上，CF为 8分米，正方形以每秒 2分米的速度沿直 线向右匀速运动． 问：（1）第 6秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少？ （2）第几秒时，正方形的顶点 C恰好与 FM的中点 O重合，此时三角形与正方 形重叠部分的面积是多少？（画出示意图，再进行计算） 【对应练习 2】 如图，一个边长为 40厘米的正方形 ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从 A点出发， 蚂蚁以 5厘米/分钟的速度沿线路 A→B→C→D行走，蜗牛以 2厘米/分钟的速度 沿线路 A→D行走．出发 18分钟时，蚂蚁走到 E点，蜗牛走到 F点，求三角形 AEF的面积是多少平方厘米？ 19 / 20 【对应练习 3】 如图在长方形 ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点 P从顶点 A出发， 逆时针沿长方形的边以每秒 2厘米的速度运动回到 A点，（1）P点从 A 点出发 经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 【考点十一】旋转运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 跃龙门。 如图，白色部分 DEFB是一个正方形，AE长 4厘米，EC长 8厘米。阴影部分 的面积是多少平方厘米？ 提示：怎样把两个阴影部分拼到一起呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形 ADE绕点 E逆时针旋转 90°，画出旋转后的图形。这样两个阴影 部分就拼到一起了。 （2）因为 1 2   ( )，所以组合后的阴影部分是一个( )三角形。 （3）旋转后的 AE长 4厘米，EC长 8厘米，阴影部分的面积是( )平方 厘米。 20 / 20 【对应练习】 如图，剪两个边长都是 10厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一 个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，两个正方形不重叠部分的面积一共 是多少平方厘米？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元总集篇·七种组合图形面积法【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元总集篇·七种组合图形面积法 专题内容 本专题以组合图形的面积为主，其中主要包括求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的七种常见方法，即①相加法；②相减法；③加减混合法；④平移法；⑤旋转法；⑥容斥原理；⑦差不变原理。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积 4 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积 11 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路S=S1+S2） 14 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路S=S整体-S空白） 17 【考点五】面积法其三：加减混合法 20 【考点六】面积法其四：平移法 22 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法） 24 【考点八】面积法其六：容斥原理 26 【考点九】面积法其七：差不变原理 28 【考点十】平移运动问题 31 【考点十一】旋转运动问题 35 【第三篇】典型例题篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积。 【方法点拨】 1. 在格点图中估算面积。 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 2. 在格点图中计算面积。 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多边形，再根据面积公式进行计算。 【典型例题1】在格点图中估算面积。 估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示1dm） ( )dm2               ( )dm2               ( )dm2 【答案】 7 8 30 【分析】利用数方格的方法，先数整格，再数不满一格的，不满一格的按半格计算。据此解答。 【详解】14÷2＝7（dm2） 1＋14÷2 ＝1＋7 ＝8（dm2） 20＋20÷2 ＝20＋10 ＝30（dm2） 7dm2                  8dm2                    30dm2 【对应练习1】 请你估计下面三个圆的面积。 (1)图①中每个方格的边长代表4厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (2)图②中每个方格的边长代表2厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (3)图③中每个方格的边长代表1厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 【答案】(1)160 (2)184 (3)188 【分析】（1）用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。通过观察可知，图①整格有4个，不足格有12个，据此用4＋12÷2即可求出不规则图形所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积； （2）图②整格有32个，不足格有28个，据此用32＋28÷2即可求出不规则图形所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积； （3）图③整格有160个，不足格有56个，据此用160＋56÷2即可求出不规则图形所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积。 【详解】（1）4×4＝16（平方厘米） 4＋12÷2 ＝4＋6 ＝10（个） 10×16＝160（平方厘米） 图①中每个方格的边长代表4厘米，圆的面积约是160平方厘米。 （2）2×2＝4（平方厘米） 32＋28÷2 ＝32＋14 ＝46（个） 4×46＝184（平方厘米） 图②中每个方格的边长代表2厘米，圆的面积约是184平方厘米。 （3）1×1＝1（平方厘米） 160＋56÷2 ＝160＋28 ＝188（个） 188×1＝188（平方厘米） 图③中每个方格的边长代表1厘米，圆的面积约是188平方厘米。 【对应练习2】 估计下列图形的面积，与同伴说一说你是怎么做的。（每个小方格的边长表示1）             面积约为( )     面积约为( ) 【答案】 60 29 【分析】数方格估面积，先数满格，再数不满一格的，不满一格的按半格算，据此计算填空即可（答案不唯一）。 【详解】由分析可得： 老虎：满格47格，不满格的有26格， 47＋26÷2 ＝47＋13 ＝60（格）（答案不唯一） 树叶：满格的有12格，不满格的有34格， 12＋34÷2 ＝12＋17 ＝29（格）（答案不唯一） 综上所述：左图面积为60cm2，右图面积为29cm2。 【对应练习3】 下图中每个小方格都是边长为1厘米的正方形，请你估计爱心的面积约是( )平方厘米。 【答案】8 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【详解】1×1＝1（平方厘米） 每格是1平方厘米。 观察图形可知，整格2个，不足满格12个， 2＋12÷2 ＝2＋6 ＝8（个） 8×1＝8（平方厘米） 爱心的面积约是8平方厘米。 【典型例题2】在格点图中计算面积。 图中每个小方格的面积为，阴影部分的面积约是( )。 【答案】28 【分析】 如图，将阴影部分看成平行四边形，根据平行四边形面积＝底×高，列式计算即可。 【详解】7×4＝28（） 阴影部分的面积约是28。（答案不唯一） 【对应练习1】 一个鱼塘的形状如图（涂色部分），图中每个小方格的面积是，请你估计这个鱼塘的面积。我们可以把它看作近似的( )。底约是( )m，高约是( )m，可以估计出阴影部分的面积约是( )。 【答案】 平行四边形 6 5 30 【分析】 可以把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积。 如图，涂色部分可以看成近似的平行四边形，根据平行四边形面积＝底×高，列式计算。 【详解】6×5＝30（） 可以把它看作近似的平行四边形。底约是6m，高约是5m，可以估计出阴影部分的面积约是30。 【对应练习2】 图中每个小方格表示边长为1厘米的正方形，曲线所围成的图形的面积大约是( )平方厘米。 A．70 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】根据图示，图中曲线所围成图形近似一个长10厘米，宽5厘米的长方形，根据长方形的面积公式解答即可。 【详解】10×5＝50（平方厘米） 曲线所围成图形的面积大约是50厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查了面积估算知识，结合题意分析解答即可。 【对应练习3】 下面的图形可以看作学过的什么图形？画一画。并写出它们的面积（每1小格是1cm2）。 ( )cm2              ( )cm2               ( )cm2 【答案】 图见详解； 23；28；24 【分析】由图可知，第一个图形可以近似看作三角形，底是6厘米，高是4厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2得出三角形的面积，通过估计和数数，三角形的外面的20个不满一格的正方形，其中估计用其中的两个填补三角形中空白的部分，再除以2，最后加上三角形的面积可以估计这个图形的面积。 第二个图形可以近似看作平行四边形，底是7厘米，高是4厘米，它的面积大约等于平行四边形的面积，用底乘高即可。 第三个图形可以近似看作梯形。上底是4厘米，下底是8厘米，高是4厘米，它的面积大约等于梯形的面积，用上底加下底的和，乘高后再除以2即可。 借助方格图数格子估算不规则图形的面积，也可以把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积。 【详解】 第一个图形： 6×4÷2＋20÷2 ＝24÷2＋10 ＝12＋10 ＝22（cm2） 第二个图形： 7×4＝28（cm2） 第三幅图： （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝24（cm2） 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积。 【方法点拨】 在格点图中比较不规则图形的面积，一般用数方格的方法先计算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算，有时候也可以把图形割补成我们熟悉的规则图形，再进行比较。 【典型例题】 下图中三个组合图形的面积比较，( )。 A．（1）号面积最大 B．（2）号面积最大 C．（3）号面积最大 D．三个面积一样大 【答案】D 【分析】把不规则的图形通过分割的方式，把它变成熟悉的图形，再通过面积公式求出即可解答。 【详解】将三幅图依次进行分割，分割如下： （1）第一幅图分成中间一个正方形，四周是4个一样的三角形。 面积为：2×2＋2×1÷2×4 ＝4＋4 ＝8； （2）第二幅图分成了上下2个三角形， 面积为：4×3÷2＋4×1÷2 ＝12÷2＋4÷2 ＝6＋2 ＝8； （3）第二幅图分成了上下2个平行四边形， 面积为：2×3＋2×1 ＝6＋2 ＝8； 故三幅图的面积一样大。 故答案选择：D。 【点睛】熟练掌握分割的方法才是解题的关键。 【对应练习1】 下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是( )。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【答案】C 【分析】因为每个小方格的面积是1平方厘米，数一数阴影部分由多少个方格组成，不足一格按半个计算；用方格的个数乘1平方厘米即可。图形①由16个整格组成；图形②由14个整格组成；图形③由16个整格，4个半格，组成2个整格，共有16＋2＝18（个）整格组成；分别求出它们的面积，再比较解答。 【详解】根据分析可得： 图①的面积是：16×1＝16（平方厘米） 图②的面积是：14×1＝14（平方厘米） 图③的面积是：18×1＝18（平方厘米） 18平方厘米＞16平方厘米＞14平方厘米， 所以上面三个图形面积大小排列顺序正确的是③＞①＞②。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法，弄清楚阴影部分有多少个方格组成，是解答本题的关键。 【对应练习2】 比一比谁的面积大。（每个小方格的面积是1cm2） (1)面积最小的是( )图形，面积是( )cm2。 (2)面积最大的是( )图形，面积是( )cm2。 (3)( )和( )的面积相等。 【答案】(1) ① 4.5 (2) ③ 14 (3) ② ⑤ 【分析】根据数方格的方法求面积，不满格的按照半格计算，分别计算出5个图形的面积，然后进行比较即可。 【详解】（1）图形①的面积是4.5cm2 ；图形②的面积是12cm2 ； 图形③的面积是14cm2 ； 图形④6cm2 ；图形⑤的面积是12cm2 。 4.561214 面积最小的是①图形，面积是4.5cm2。 （2）面积最大的是③图形，面积是14cm2。 （3）②和⑤的面积相等。 【对应练习3】 下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是1cm2）      数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。    【答案】 12 12 等于 ③ 【分析】根据数图形的方法得到图形的面积；再进行比较；根据割补把不规则图形转化成已经学过的图形再数面积，进而解答。 【详解】图①12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图②12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 12＝12，图①面积＝图②面积 图③通过平移以及旋转，有12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图④通过旋转，有8个小方格，面积：1×8＝8（cm2） 图③面积＝图①面积。 数方格法：图①的面积为12cm2，图②的面积为12cm2，图①的面积等于图②的面积。 割补法：图形③的面积与图①的面积相等。 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路S=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形），然后分别计算出面积，最后相加得出所求图形的面积。 【典型例题】 计算下面组合图形的面积。（单位：厘米）    【答案】164平方厘米 【分析】观察图形可知，该组合图形的面积等于梯形的面积加上平行四边形的面积，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，据此进行计算即可。 【详解】（8＋14）×6÷2＋14×7 ＝22×6÷2＋14×7 ＝66＋98 ＝164（平方厘米） 【对应练习1】 计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】466cm2 【分析】观察图形可知，组合图形的面积＝平行四边形的面积＋梯形的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】平行四边形的面积： 23×12＝276（cm2） 梯形的面积： （14＋24）×10÷2 ＝38×10÷2 ＝190（cm2） 组合图形的面积： 276＋190＝466（cm2） 组合图形的面积是466cm2。 【对应练习2】 计算阴影部分的面积。 【答案】80平方厘米 【分析】阴影部分是由一个底为12厘米，高为5厘米的三角形和一个上底为12厘米，下底为8厘米，高为5厘米的梯形组合而成，那么分别利用三角形和梯形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出阴影部分的面积。 【详解】12×5÷2＋（12＋8）×5÷2 ＝60÷2＋20×5÷2 ＝30＋50 ＝80（平方厘米） 即阴影部分的面积是80平方厘米。 【对应练习3】 求下面组合图形的面积。 【答案】56cm2 【分析】此图的面积＝梯形的面积＋直角三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2；依此计算。 【详解】（6＋10）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 32＋24＝56（cm2） 即组合图形的面积是56cm2。 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路S=S整体-S空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法添补思路，把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题】 求下图中彩色部分的面积。（单位：cm）    【答案】414cm2 【分析】彩色部分的面积等于长方形的面积－空白梯形的面积，将数据代入长方形面积公式：S＝ab及梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，计算即可。 【详解】36×24－（18＋36－4）×18÷2 ＝36×24－50×18÷2 ＝864－450 ＝414（cm2） 图中涂色部分的面积是414cm2。 【对应练习1】 计算下面涂色部分的面积。 【答案】460 【分析】由图知：涂色面积＝平行四边形面积－梯形面积。平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入后计算即可。据此解答。 【详解】30×20－（10＋18）×10÷2 ＝600－28×10÷2 ＝600－140 ＝460（） 涂色部分的面积是360。 【对应练习2】 求图中阴影部分的面积。    【答案】1300dm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－空白梯形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】长方形的面积： 52×34＝1768（dm2） 梯形的面积： （52＋26）×12÷2 ＝78×12÷2 ＝468（dm2） 阴影部分的面积： 1768－468＝1300（dm2） 阴影部分的面积是1300dm2。 【对应练习3】 求出下图的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】80厘米；186平方厘米 【分析】计算出围绕封闭图形一周的线段的长度就是图形的周长；长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，如图所示，图形的面积＝长方形的面积－梯形的面积，据此解答。 【详解】周长：20＋12×2＋6×2＋7×2＋10 ＝20＋24＋12＋14＋10 ＝（20＋10）＋（24＋12＋14） ＝30＋50 ＝80（厘米） 面积： 20×12－（20－6×2＋10）×6÷2 ＝20×12－（20－12＋10）×6÷2 ＝20×12－18×6÷2 ＝240－54 ＝186（平方厘米） 所以，图形的周长是80厘米，面积是186平方厘米。 【考点五】面积法其三：加减混合法。 【方法点拨】 混合型图形处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加减。 【典型例题】 如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】53cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝边长是9cm的正方形面积＋边长是5cm的正方形面积＋底是（9－5）cm，高是5cm的三角形面积－底是9cm，高是（9＋5）cm的三角形面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】9×9＋5×5＋（9－5）×5÷2－9×（9＋5）÷2 ＝9×9＋5×5＋4×5÷2－9×14÷2 ＝81＋25＋10－63 ＝53（cm2） 阴影部分的面积是53cm2。 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：cm）    【答案】24.5cm2 【分析】阴影部分的面积＝两个正方形面积和－两个三角形面积，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】8×8＋5×5－8×8÷2－（8＋5）×5÷2 ＝64＋25－32－13×5÷2 ＝57－32.5 ＝24.5（cm2） 【对应练习2】 求阴影部分面积．（单位：cm）     （1） （2） 【答案】（1）57cm² （2）20cm² 【分析】(1)阴影部分的面积是一个长方形面积减去一个空白处的面积，空白处的面积=三角形面积+梯形面积；(2)阴影部分的面积是两个三角形的面积之和． 【详解】（1）15×8-(15-3)×8÷2-(2+8)×3÷2 =120－12×8÷2－10×3÷2 =120－48－15 =57(cm²) （2）5×5÷2+5×3÷2 =12.5+7.5 =20(cm²) 【考点六】面积法其四：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。 【典型例题】 如下图，是一块长方形草地，长方形的长是20米，宽是12米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？ 解析： （20－2）×（12－2） ＝18×10 ＝180（平方米） 答：有草部分的面积有180平方米。 【对应练习1】 四季公园里有一块长方形地，长15.6米，宽10米。图中白色部分是一条小路，宽是2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？ 解析： 如图：把空白部分分为两部分，蓝色部分向上平移得到一个长15.6米，宽2米的长方形；黄色部分向右平移得到一个长（10－2）米，宽2米的长方形；栽种鲜花的面积＝长方形地的面积－空白部分小路的面积，据此解答。 空白部分的面积：15.6×2＋（10－2）×2 ＝15.6×2＋8×2 ＝31.2＋16 ＝47.2（平方米） 栽种鲜花的面积：15.6×10－47.2 ＝156－47.2 ＝108.8（平方米） 答：栽种鲜花的面积是108.8平方米。 【对应练习2】 求阴影部分面积。（单位：m）    解析： 30×20－2×30－2×20＋2×2 ＝600－60－40＋4 ＝504（平方米） 答：阴影部分面积的面积为504平方米。 【对应练习3】 公园里有一块长36m、宽23m的长方形草地，中间有一条宽2m的小路(如下图)，求种草的面积是多少平方米。 解析：(36－2)×23＝782(m2) 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 如图，面积为64的四边形ABCD满足AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE垂直于CD，AE的长为多少？ 【答案】8 【分析】观测图形可知，三角形AED以A为旋转中心，通过顺时针旋转90度，旋转到三角形ABF，因为AD＝AB，∠C＝90°，∠AEC＝90°，由此可知四边形AFCE是一个正方形，则四边形ABCD的面积＝四边形AFCE＝64；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，由此求出AE的长。 【详解】旋转三角形AED使四边形ABCD转化成一个四边形AFCE ∠C＝90°，∠AEC＝90° AF＝AE 四边形AFCE为正方形 四边形ABCD的面积＝正方形AFCE＝64 8×8＝64 AE＝8 答：AE的长为8。 【点睛】解答本题的关键是根据旋转的特征，利用旋转把四边形转化为正方形，再根据正方形的面积公式，进行解答。 【对应练习】 如图，四边形ABCD的面积是16平方厘米，其中AD=CD，DE=BE，AE=2厘米，那么四边形BCDE的面积是多少平方厘米？ 【答案】12平方厘米 【详解】试题分析：作DF⊥BC于F，又因为DE=BE，所以四边形DEBF是正方形；所以可得DE=DF，又因为DA=DC，所以RT△DAE≌RT△DCF，则这两个全等三角形的面积相等，所以正方形DEBF的面积=四边形ABCD的面积=16平方厘米，所以可得出正方形的边长是4厘米；又因为三角形ADE的面积是2×4÷2=4平方厘米，据此可得四边形BCDE的面积是16﹣4=12平方厘米． 解：根据题干分析可得：作DF⊥BC于F，又因为DE=BE，所以四边形DEBF是正方形； 则DE=DF，又因为DA=DC， 所以RT△DAE≌RT△DCF， 所以正方形DEBF的面积=四边形ABCD的面积=16平方厘米， 则DE=4厘米； 又因为三角形ADE的面积是2×4÷2=4（平方厘米）， 所以四边形BCDE的面积是16﹣4=12（平方厘米）． 答：四边形BCDE的面积是12平方厘米． 点评：观察图形可知，四边形BCDE的面积等于四边形ABCD的面积与三角形ADE的面积之差，解答此题的关键是利用等积变形的方法，把四边形ABCD转化到一个面积相等的正方形中，据此求出DE的长度，即可解答问题． 【考点八】面积法其六：容斥原理。 【方法点拨】 重叠、分层思路是把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题】 如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： （1）阴影部分的面积和BFGI的面积相等。如图： （2）（13－3＋13）×4÷2 ＝23×4÷2 ＝46（平方厘米） 答：阴影部分的面积是46平方厘米。 【对应练习1】 两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： （8－2＋8）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是28平方厘米。 【对应练习2】 如图，有两个边长是8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。 解析： （8－4）×（8－4） ＝4×4 ＝16（cm2） 答：重叠部分面积是16cm2 【对应练习3】 两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形HEC（如图）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？ 解析： S阴影＝S三角形DEF－S三角形HEC＝S三角形ABC－S三角形HEC＝S梯形ABEH 因为BE＋EC＝CF＋EC，所以BE＝CF （5＋10）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【考点九】面积法其七：差不变原理。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积： 如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 【典型例题】 如下图，正方形ABFD的边长为6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大多少？（单位：厘米） 解析： 6×（6＋7.5）÷2－6×6 ＝6×13.5÷2－36 ＝40.5－36 ＝4.5（平方厘米） 答：涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大4.5平方厘米。 【对应练习1】 看图计算。 如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析： 10×10÷2－20 ＝50－20 ＝30（平方厘米） 答：阴影部分的面积是30平方厘米。 【对应练习2】 如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的面积大12cm2，求FC的长。 解析： 分析可知，阴影部分面积－△EFG＝12cm2 （阴影部分＋梯形BCFG）－（△EFG＋梯形BCFG）＝12cm2 平行四边形ABCD－△BCE＝12cm2 △BCE的面积：8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 平行四边形ABCD的面积：24＋12＝36（cm2） FC的长度：36÷8＝4.5（厘米） 答：FC长4.5厘米。 【对应练习3】 四边形ABCG、DEFG为长方形，AB＝7厘米，AG＝4厘米，DE＝2厘米，EF＝10厘米，那么三角形BCM比三角形DEM的面积大多少平方厘米？ 解析： 10－7＝3（厘米） 4＋2＝6（厘米） 3×6÷2－3×2 ＝9－6 ＝3（平方厘米） 答：三角形BCM比三角形DEM的面积大3平方厘米。 【考点十】平移运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 如图，在等腰梯形中，，，。等腰直角三角形的斜边长，点与点重合，和在一条直线上。如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点与点重合为止。 （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由( )形变为( )形。 （2）当等腰直角三角形运动( )秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是多少平方厘米？ （3）当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）等腰直角三角；梯； （2）10；21平方厘米； （3）4平方厘米 【分析】（1）根据平移的情况，等腰直角三角形向梯形靠近，那么重叠部分会从等腰直角三角形变为梯形； （2）重叠部分面积最大时，重叠部分的面积就是等腰梯形的面积；参照移动后的对应点，M移到A的位置，就是移动的路程，根据：时间＝路程÷速度计算出时间即可；因为∠A＝45°，所以三角形ADE与三角形BCF都是等腰直角三角形，AE＝DE＝CF＝FB，DC＝EF，因为AB＝10cm，DC＝4cm，梯形的高＝（AB－EF）÷2；再根据：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算面积即可； （3）如图：，当等腰直角三角形运动4秒时，重叠部分是一个等腰直角三角形，即。底边，对应的高为，则的面积是。 【详解】（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由（直角三角形）形变为（梯）形。 （2）运动时间：10÷1＝10（秒） ＝14×3÷2 ＝42÷2 ＝21（平方厘米）   答：此时面积是21平方厘米。 （3）1×4＝4（cm） ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米）   答：重叠面积是4平方厘米。 【点睛】此题考查了三角形与梯形的运用，关键有空间想象能力，能理解移动的过程。 【对应练习1】 奥运会即将开幕了，全市掀起了美化城市的热潮．有位同学为一家商店设计了一副霓虹灯闪烁的原理图． 图中正方形ABCD的边长是6分米，等腰直角三角形的斜边长为20分米．正方形与三角形放在同一条直线上，CF为8分米，正方形以每秒2分米的速度沿直线向右匀速运动． 问：（1）第6秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是多少？ （2）第几秒时，正方形的顶点C恰好与FM的中点O重合，此时三角形与正方形重叠部分的面积是多少？（画出示意图，再进行计算） 【答案】8平方分米，34平方厘米 【详解】试题分析：（1）第6秒时正方形向右移动了6×2=12分米，重合部分是边长为（12﹣8）分米的等腰直角三角形．根据三角形的面积公式可求出重叠面积； （2）OF的长度是三角形斜边的一半10分米，当C与O重合时，正方形移动了（8+10）分米；此时正方形的下边的边重合在三角形斜线上，重合部分是正方形的面积减去一个等腰三角形的面积，由此求解。 解：（1） （6×2﹣8）×（6×2﹣8）÷2 =（12﹣8）×（12﹣8）÷2 =4×4÷2 =8（平方分米） 答：第6秒时，三角形与正方形重叠部分的面积是8平方分米。 （2）C与O重合时，如下： 20÷2﹣6=4（分米） 6﹣4=2（分米） 6×6﹣2×2÷2 =36﹣2 =34（平方分米） 答：C恰好与FM的中点O重合，此时三角形与正方形重叠部分的面积是34平方厘米。 点评：此题考查了匀速运动这一知识，以及分析计图的能力。 【对应练习2】 如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】540平方厘米 【详解】试题分析：要求三角形AEF的面积，我们要把AF作为底、DE作为高．只要我们求出这两条线段的长度，这道题解决了．求这两条线段的长度，对于学生来说，很简单。 解：线段CE的长度：18×5﹣40×2=10（厘米） 线段DE的长度：40﹣10=30（厘米） 线段AF的长度：18×2=36（厘米） 因为四边形ABCD是正方形 所以DE是三角形AEF的高。 所以三角形AEF的面积：S=AF×DE÷2 =36×30÷2 =540（平方厘米） 答：三角形AEF的面积是540平方厘米。 点评：此题主要利用了正方形的特点与基本的数量关系求出线段DE与线段AF的长度，再利用三角形的面积公式解答即可。 【对应练习3】 如图在长方形ABCD，AB=24厘米，AD=16厘米．一个动点P从顶点A出发，逆时针沿长方形的边以每秒2厘米的速度运动回到A点，（1）P点从A 点出发经过几秒时△ABP面积最大？（2）△ABP面积最大共持续几秒？ 【答案】8秒；12秒 【详解】试题分析：如图所示， （1）由题意可知：当三角形ABP与长方形ABCD等底等高时，则S△ABP=S长方形ABCD，此时三角形ABP的面积应最大，所以到达D点时面积最大，再用AD的长度除以点P的速度，就可以求出到达D点的时间。 （2）当点P离开点C时，面积就减小，所以保持面积最大的距离就是DC的长度，用DC的长度除以速度，就是保持面积最大需要的时间。 解：（1）16÷2=8（秒） 答：P点从A 点出发经过8秒时△ABP面积最大。 （2）24÷2=12（秒） 答：△ABP面积最大共持续12秒。 点评：解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半．且要明白：当三角形ABP与长方形ABCD等底等高时，三角形ABP的面积最大。 【考点十一】旋转运动问题。 【方法点拨】 图形运动问题综合性强，难度较大，需要熟练掌握多种知识，综合分析解决问题。 【典型例题】 跃龙门。 如图，白色部分DEFB是一个正方形，AE长4厘米，EC长8厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 提示：怎样把两个阴影部分拼到一起呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。这样两个阴影部分就拼到一起了。 （2）因为( )，所以组合后的阴影部分是一个( )三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】（1）见详解； （2）90°；直角； （3）16 【分析】（1）以点E为旋转中心，三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后，DE和FE重合，在FB上截取FG＝DA，连接EG，三角形GFE就是三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后的图形； （2）DEFB是一个正方形，∠DEF是一个直角，则∠1与∠2的和为90°，图形旋转前后对应角的大小相等，∠GEF＝∠1，那么∠GEC＝90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形； （3）由图可知，AE＝GE＝4厘米，EC＝8厘米，三角形GEC是直角三角形，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形GEC的面积就是阴影部分的面积，据此解答。 【详解】（1）分析可知： （2）分析可知，90°。 ∠GEF＝∠1 ∠GEF＋∠2＝∠GEC＝90° 所以，组合后的阴影部分是一个直角三角形。 （3）4×8÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是16平方厘米。 【点睛】掌握旋转图形的特征，把阴影部分转化为直角三角形并熟记三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习】 如图，剪两个边长都是10厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，两个正方形不重叠部分的面积一共是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】先过O点分别向正方形的边作垂线，画图如下：    因为是正方形，所以OA＝OB，又因为重叠部分是由两个边长都是10厘米的正方形重叠而成，所以三角形AOC和三角形OBD形状大小完全相同，可以将三角形OBD割补到三角形AOC的位置。因此重叠部分就是每个正方形面积的，用两个正方形的面积和减去每个正方形被重叠的面积即可。 【详解】由分析可得： 10×10×2－10×10××2 ＝100×2－100××2 ＝200－25×2 ＝200－50 ＝150（平方厘米） 答：两个正方形不重叠部分的面积一共是150平方厘米。 【点睛】本题考查的是重叠问题，从正方形中心向对边作垂线是解题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 38 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 38 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元总集篇·七种组合图形面积法【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第六单元总集篇·七种组合图形面积法 专题内容 本专题以组合图形的面积为主，其中主要包括求不规则图形、 组合图形、阴影部分图形面积的七种常见方法，即①相加法； ②相减法；③加减混合法；④平移法；⑤旋转法；⑥容斥原 理；⑦差不变原理。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶 段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性 讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积 .....................................................4 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积 .............................................................. 11 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路 S=S1+S2） ...................................... 14 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路 S=S 整体-S 空白） ...............................17 【考点五】面积法其三：加减混合法 ..............................................................................20 【考点六】面积法其四：平移法 ..................................................................................... 22 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法） .................................................................. 24 3 / 38 【考点八】面积法其六：容斥原理 ..................................................................................26 【考点九】面积法其七：差不变原理 ..............................................................................28 【考点十】平移运动问题 .................................................................................................31 【考点十一】旋转运动问题 ............................................................................................. 35 4 / 38 【第三篇】典型例题篇 【考点一】在格点图中估算或计算不规则图形的面积。 【方法点拨】 1. 在格点图中估算面积。 用数方格的方法估算不规则图形的面积，先数整格数，再数不足格数，整格按一 个面积单位计算，不足格按半个面积单位计算。 2. 在格点图中计算面积。 如果格点中的图形非常不规则，可以尝试把格点图近似看作我们所学过的规则多 边形，再根据面积公式进行计算。 【典型例题 1】在格点图中估算面积。 估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示 1dm） ( )dm2 ( )dm2 ( )dm2 【答案】 7 8 30 【分析】利用数方格的方法，先数整格，再数不满一格的，不满一格的按半格计 算。据此解答。 【详解】14÷2＝7（dm2） 1＋14÷2 ＝1＋7 ＝8（dm2） 20＋20÷2 ＝20＋10 ＝30（dm2） 5 / 38 7dm2 8dm2 30dm2 【对应练习 1】 请你估计下面三个圆的面积。 (1)图①中每个方格的边长代表 4厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (2)图②中每个方格的边长代表 2厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 (3)图③中每个方格的边长代表 1厘米，圆的面积约是( )平方厘米。 【答案】(1)160 (2)184 (3)188 【分析】（1）用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数， 再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。通 过观察可知，图①整格有 4个，不足格有 12个，据此用 4＋12÷2即可求出不规 则图形所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积； （2）图②整格有 32个，不足格有 28个，据此用 32＋28÷2即可求出不规则图形 所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积； （3）图③整格有 160个，不足格有 56个，据此用 160＋56÷2即可求出不规则图 形所占的格数，再乘每格的面积即可求出圆的面积。 【详解】（1）4×4＝16（平方厘米） 4＋12÷2 ＝4＋6 6 / 38 ＝10（个） 10×16＝160（平方厘米） 图①中每个方格的边长代表 4厘米，圆的面积约是 160平方厘米。 （2）2×2＝4（平方厘米） 32＋28÷2 ＝32＋14 ＝46（个） 4×46＝184（平方厘米） 图②中每个方格的边长代表 2厘米，圆的面积约是 184平方厘米。 （3）1×1＝1（平方厘米） 160＋56÷2 ＝160＋28 ＝188（个） 188×1＝188（平方厘米） 图③中每个方格的边长代表 1厘米，圆的面积约是 188平方厘米。 【对应练习 2】 估计下列图形的面积，与同伴说一说你是怎么做的。（每个小方格的边长表示 1 cm） 面积约为( ) 2cm 面积约为( ) 2cm 【答案】 60 29 【分析】数方格估面积，先数满格，再数不满一格的，不满一格的按半格算，据 此计算填空即可（答案不唯一）。 【详解】由分析可得： 老虎：满格 47格，不满格的有 26格， 47＋26÷2 7 / 38 ＝47＋13 ＝60（格）（答案不唯一） 树叶：满格的有 12格，不满格的有 34格， 12＋34÷2 ＝12＋17 ＝29（格）（答案不唯一） 综上所述：左图面积为 60cm2，右图面积为 29cm2。 【对应练习 3】 下图中每个小方格都是边长为 1厘米的正方形，请你估计爱心的面积约是 ( )平方厘米。 【答案】8 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不 足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。 【详解】1×1＝1（平方厘米） 每格是 1平方厘米。 观察图形可知，整格 2个，不足满格 12个， 2＋12÷2 8 / 38 ＝2＋6 ＝8（个） 8×1＝8（平方厘米） 爱心的面积约是 8平方厘米。 【典型例题 2】在格点图中计算面积。 图中每个小方格的面积为 21cm ，阴影部分的面积约是( ) 2cm 。 【答案】28 【分析】 如图 ，将阴影部分看成平行四边形，根据平行四边形 面积＝底×高，列式计算即可。 【详解】7×4＝28（ 2cm ） 阴影部分的面积约是 28 2cm 。（答案不唯一） 【对应练习 1】 一个鱼塘的形状如图（涂色部分），图中每个小方格的面积是 21m ，请你估计这 个鱼塘的面积。我们可以把它看作近似的( )。底约是( )m，高约 是( )m，可以估计出阴影部分的面积约是( ) 2m 。 【答案】 平行四边形 6 5 30 9 / 38 【分析】 可以把不规则图形看成近似于规则的图形估算面积。 如图 ，涂色部分可以看成近似的平行四边形，根据 平行四边形面积＝底×高，列式计算。 【详解】6×5＝30（ 2m ） 可以把它看作近似的平行四边形。底约是 6m，高约是 5m，可以估计出阴影部分 的面积约是 30 2m 。 【对应练习 2】 图中每个小方格表示边长为 1厘米的正方形，曲线所围成的图形的面积大约是 ( )平方厘米。 A．70 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】根据图示，图中曲线所围成图形近似一个长 10厘米，宽 5厘米的长方 形，根据长方形的面积公式解答即可。 【详解】10×5＝50（平方厘米） 曲线所围成图形的面积大约是 50厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查了面积估算知识，结合题意分析解答即可。 【对应练习 3】 下面的图形可以看作学过的什么图形？画一画。并写出它们的面积（每 1小格是 1cm2）。 10 / 38 ( )cm2 ( )cm2 ( )cm2 【答案】 图见详解； 23；28；24 【分析】由图可知，第一个图形可以近似看作三角形，底是 6厘米，高是 4厘米， 根据三角形的面积＝底×高÷2得出三角形的面积，通过估计和数数，三角形的外 面的 20个不满一格的正方形，其中估计用其中的两个填补三角形中空白的部分， 再除以 2，最后加上三角形的面积可以估计这个图形的面积。 第二个图形可以近似看作平行四边形，底是 7厘米，高是 4厘米，它的面积大约 等于平行四边形的面积，用底乘高即可。 第三个图形可以近似看作梯形。上底是 4厘米，下底是 8厘米，高是 4厘米，它 的面积大约等于梯形的面积，用上底加下底的和，乘高后再除以 2即可。 借助方格图数格子估算不规则图形的面积，也可以把不规则图形看成近似于规则 的图形估算面积。 【详解】 第一个图形： 6×4÷2＋20÷2 ＝24÷2＋10 ＝12＋10 ＝22（cm2） 第二个图形： 7×4＝28（cm2） 11 / 38 第三幅图： （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝24（cm2） 【考点二】在格点图中比较不规则图形的面积。 【方法点拨】 在格点图中比较不规则图形的面积，一般用数方格的方法先计算不规则图形的面 积，先数整格数，再数不足格数，整格按一个面积单位计算，不足格按半个面积 单位计算，有时候也可以把图形割补成我们熟悉的规则图形，再进行比较。 【典型例题】 下图中三个组合图形的面积比较，( )。 A．（1）号面积最大 B．（2）号面积最大 C．（3）号面积最大 D．三个面积一样大 【答案】D 【分析】把不规则的图形通过分割的方式，把它变成熟悉的图形，再通过面积公 式求出即可解答。 【详解】将三幅图依次进行分割，分割如下： （1）第一幅图分成中间一个正方形，四周是 4个一样的三角形。 面积为：2×2＋2×1÷2×4 ＝4＋4 ＝8； （2）第二幅图分成了上下 2个三角形， 面积为：4×3÷2＋4×1÷2 12 / 38 ＝12÷2＋4÷2 ＝6＋2 ＝8； （3）第二幅图分成了上下 2个平行四边形， 面积为：2×3＋2×1 ＝6＋2 ＝8； 故三幅图的面积一样大。 故答案选择：D。 【点睛】熟练掌握分割的方法才是解题的关键。 【对应练习 1】 下图中每个小方格代表 1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是 ( )。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【答案】C 【分析】因为每个小方格的面积是 1平方厘米，数一数阴影部分由多少个方格组 成，不足一格按半个计算；用方格的个数乘 1平方厘米即可。图形①由 16个整 格组成；图形②由 14个整格组成；图形③由 16个整格，4个半格，组成 2个整 格，共有 16＋2＝18（个）整格组成；分别求出它们的面积，再比较解答。 【详解】根据分析可得： 图①的面积是：16×1＝16（平方厘米） 图②的面积是：14×1＝14（平方厘米） 图③的面积是：18×1＝18（平方厘米） 13 / 38 18平方厘米＞16平方厘米＞14平方厘米， 所以上面三个图形面积大小排列顺序正确的是③＞①＞②。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法，弄清楚阴 影部分有多少个方格组成，是解答本题的关键。 【对应练习 2】 比一比谁的面积大。（每个小方格的面积是 1cm2） (1)面积最小的是( )图形，面积是( )cm2。 (2)面积最大的是( )图形，面积是( )cm2。 (3)( )和( )的面积相等。 【答案】(1) ① 4.5 (2) ③ 14 (3) ② ⑤ 【分析】根据数方格的方法求面积，不满格的按照半格计算，分别计算出 5个图 形的面积，然后进行比较即可。 【详解】（1）图形①的面积是 4.5cm2 ；图形②的面积是 12cm2； 图形③的面 积是 14cm2 ； 图形④6cm2 ；图形⑤的面积是 12cm2 。 4.561214 面积最小的是①图形，面积是 4.5cm2。 （2）面积最大的是③图形，面积是 14cm2。 （3）②和⑤的面积相等。 【对应练习 3】 下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是 1cm2） 14 / 38 数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的 面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。 【答案】 12 12 等于 ③ 【分析】根据数图形的方法得到图形的面积；再进行比较；根据割补把不规则图 形转化成已经学过的图形再数面积，进而解答。 【详解】图①12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图②12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 12＝12，图①面积＝图②面积 图③通过平移以及旋转，有 12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图④通过旋转，有 8个小方格，面积：1×8＝8（cm2） 图③面积＝图①面积。 数方格法：图①的面积为 12cm2，图②的面积为 12cm2，图①的面积等于图②的 面积。 割补法：图形③的面积与图①的面积相等。 【考点三】面积法其一：相加法（加法分割思路 S=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形 （三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形），然后分别计算出面积，最后 相加得出所求图形的面积。 【典型例题】 15 / 38 计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】164平方厘米 【分析】观察图形可知，该组合图形的面积等于梯形的面积加上平行四边形的面 积，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah， 据此进行计算即可。 【详解】（8＋14）×6÷2＋14×7 ＝22×6÷2＋14×7 ＝66＋98 ＝164（平方厘米） 【对应练习 1】 计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】466cm2 【分析】观察图形可知，组合图形的面积＝平行四边形的面积＋梯形的面积，根 据平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据 计算求解。 【详解】平行四边形的面积： 23×12＝276（cm2） 梯形的面积： （14＋24）×10÷2 ＝38×10÷2 16 / 38 ＝190（cm2） 组合图形的面积： 276＋190＝466（cm2） 组合图形的面积是 466cm2。 【对应练习 2】 计算阴影部分的面积。 【答案】80平方厘米 【分析】阴影部分是由一个底为 12厘米，高为 5厘米的三角形和一个上底为 12 厘米，下底为 8厘米，高为 5厘米的梯形组合而成，那么分别利用三角形和梯形 的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出阴影部分的面积。 【详解】12×5÷2＋（12＋8）×5÷2 ＝60÷2＋20×5÷2 ＝30＋50 ＝80（平方厘米） 即阴影部分的面积是 80平方厘米。 【对应练习 3】 求下面组合图形的面积。 【答案】56cm2 【分析】此图的面积＝梯形的面积＋直角三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋ 17 / 38 下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2；依此计算。 【详解】（6＋10）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（cm2） 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 32＋24＝56（cm2） 即组合图形的面积是 56cm2。 【考点四】面积法其二：相减法（减法添补思路 S=S 整体-S 空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法添补思路，把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规 则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积 之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题】 求下图中彩色部分的面积。（单位：cm） 【答案】414cm2 【分析】彩色部分的面积等于长方形的面积－空白梯形的面积，将数据代入长方 形面积公式：S＝ab及梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，计算即可。 【详解】36×24－（18＋36－4）×18÷2 ＝36×24－50×18÷2 ＝864－450 ＝414（cm2） 图中涂色部分的面积是 414cm2。 18 / 38 【对应练习 1】 计算下面涂色部分的面积。 【答案】460 2cm 【分析】由图知：涂色面积＝平行四边形面积－梯形面积。平行四边形面积＝底 ×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入后计算即可。据此解答。 【详解】30×20－（10＋18）×10÷2 ＝600－28×10÷2 ＝600－140 ＝460（ 2cm ） 涂色部分的面积是 360 2cm 。 【对应练习 2】 求图中阴影部分的面积。 【答案】1300dm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－空白梯形的面积，根 据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算 求解。 【详解】长方形的面积： 52×34＝1768（dm2） 梯形的面积： （52＋26）×12÷2 ＝78×12÷2 19 / 38 ＝468（dm2） 阴影部分的面积： 1768－468＝1300（dm2） 阴影部分的面积是 1300dm2。 【对应练习 3】 求出下图的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】80厘米；186平方厘米 【分析】计算出围绕封闭图形一周的线段的长度就是图形的周长；长方形的面积 ＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，如图所示，图形的面积＝长方 形的面积－梯形的面积，据此解答。 【详解】周长：20＋12×2＋6×2＋7×2＋10 ＝20＋24＋12＋14＋10 ＝（20＋10）＋（24＋12＋14） ＝30＋50 ＝80（厘米） 面积： 20×12－（20－6×2＋10）×6÷2 ＝20×12－（20－12＋10）×6÷2 ＝20×12－18×6÷2 ＝240－54 ＝186（平方厘米） 所以，图形的周长是 80厘米，面积是 186平方厘米。 20 / 38 【考点五】面积法其三：加减混合法。 【方法点拨】 混合型图形处理起来非常困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的 图形，最后再相加减。 【典型例题】 如图，两个正方形拼在一起，求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】53cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝边长是 9cm的正方形面积＋边长是 5cm 的正方形面积＋底是（9－5）cm，高是 5cm的三角形面积－底是 9cm，高是（9 ＋5）cm的三角形面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；三角形面积 公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】9×9＋5×5＋（9－5）×5÷2－9×（9＋5）÷2 ＝9×9＋5×5＋4×5÷2－9×14÷2 ＝81＋25＋10－63 ＝53（cm2） 阴影部分的面积是 53cm2。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】24.5cm2 21 / 38 【分析】阴影部分的面积＝两个正方形面积和－两个三角形面积，正方形面积＝ 边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】8×8＋5×5－8×8÷2－（8＋5）×5÷2 ＝64＋25－32－13×5÷2 ＝57－32.5 ＝24.5（cm2） 【对应练习 2】 求阴影部分面积．（单位：cm） （1） （2） 【答案】（1）57cm² （2）20cm² 【分析】(1)阴影部分的面积是一个长方形面积减去一个空白处的面积，空白处 的面积=三角形面积+梯形面积；(2)阴影部分的面积是两个三角形的面积之和． 【详解】（1）15×8-(15-3)×8÷2-(2+8)×3÷2 =120－12×8÷2－10×3÷2 =120－48－15 =57(cm²) （2）5×5÷2+5×3÷2 =12.5+7.5 =20(cm²) 22 / 38 【考点六】面积法其四：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形， 进而求出图形的面积。 【典型例题】 如下图，是一块长方形草地，长方形的长是 20米，宽是 12米，中间有两条宽 2 米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面 积有多大？ 解析： （20－2）×（12－2） ＝18×10 ＝180（平方米） 答：有草部分的面积有 180平方米。 【对应练习 1】 四季公园里有一块长方形地，长 15.6米，宽 10米。图中白色部分是一条小路， 宽是 2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？ 解析： 23 / 38 如图：把空白部分分为两部分，蓝色部分向上平移得到一个长 15.6米，宽 2米 的长方形；黄色部分向右平移得到一个长（10－2）米，宽 2米的长方形；栽种 鲜花的面积＝长方形地的面积－空白部分小路的面积，据此解答。 空白部分的面积：15.6×2＋（10－2）×2 ＝15.6×2＋8×2 ＝31.2＋16 ＝47.2（平方米） 栽种鲜花的面积：15.6×10－47.2 ＝156－47.2 ＝108.8（平方米） 答：栽种鲜花的面积是 108.8平方米。 【对应练习 2】 求阴影部分面积。（单位：m） 解析： 30×20－2×30－2×20＋2×2 ＝600－60－40＋4 ＝504（平方米） 24 / 38 答：阴影部分面积的面积为 504平方米。 【对应练习 3】 公园里有一块长 36m、宽 23m的长方形草地，中间有一条宽 2m的小路(如下图)， 求种草的面积是多少平方米。 解析：(36－2)×23＝782(m2) 【考点七】面积法其五：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最 后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 如图，面积为 64的四边形 ABCD满足 AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE 垂直于 CD，AE的长为多少？ 【答案】8 【分析】观测图形可知，三角形 AED以 A为旋转中心，通过顺时针旋转 90度， 旋转到三角形 ABF，因为 AD＝AB，∠C＝90°，∠AEC＝90°，由此可知四边形 AFCE是一个正方形，则四边形 ABCD的面积＝四边形 AFCE＝64；根据正方形 面积公式：面积＝边长×边长，由此求出 AE的长。 【详解】旋转三角形 AED使四边形 ABCD转化成一个四边形 AFCE ∠C＝90°，∠AEC＝90° AF＝AE 四边形 AFCE为正方形 25 / 38 四边形 ABCD的面积＝正方形 AFCE＝64 8×8＝64 AE＝8 答：AE的长为 8。 【点睛】解答本题的关键是根据旋转的特征，利用旋转把四边形转化为正方形， 再根据正方形的面积公式，进行解答。 【对应练习】 如图，四边形 ABCD的面积是 16平方厘米，其中 AD=CD，DE=BE，AE=2厘 米，那么四边形 BCDE的面积是多少平方厘米？ 【答案】12平方厘米 【详解】试题分析：作 DF⊥BC于 F，又因为 DE=BE，所以四边形 DEBF是正 方形；所以可得 DE=DF，又因为 DA=DC，所以 RT△DAE≌RT△DCF，则这两 个全等三角形的面积相等，所以正方形 DEBF的面积=四边形 ABCD的面积=16 平方厘米，所以可得出正方形的边长是 4厘米；又因为三角形 ADE的面积是 2×4÷2=4平方厘米，据此可得四边形 BCDE的面积是 16﹣4=12平方厘米． 解：根据题干分析可得：作 DF⊥BC于 F，又因为 DE=BE，所以四边形 DEBF 是正方形； 则 DE=DF，又因为 DA=DC， 所以 RT△DAE≌RT△DCF， 所以正方形 DEBF的面积=四边形 ABCD的面积=16平方厘米， 26 / 38 则 DE=4厘米； 又因为三角形 ADE的面积是 2×4÷2=4（平方厘米）， 所以四边形 BCDE的面积是 16﹣4=12（平方厘米）． 答：四边形 BCDE的面积是 12平方厘米． 点评：观察图形可知，四边形 BCDE的面积等于四边形 ABCD的面积与三角形 ADE的面积之差，解答此题的关键是利用等积变形的方法，把四边形 ABCD转 化到一个面积相等的正方形中，据此求出 DE的长度，即可解答问题． 【考点八】面积法其六：容斥原理。 【方法点拨】 重叠、分层思路是把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重 叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总 和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题】 如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请 将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： （1）阴影部分的面积和 BFGI的面积相等。如图： 27 / 38 （2）（13－3＋13）×4÷2 ＝23×4÷2 ＝46（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 46平方厘米。 【对应练习 1】 两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： （8－2＋8）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 28平方厘米。 【对应练习 2】 如图，有两个边长是 8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。 解析： 28 / 38 （8－4）×（8－4） ＝4×4 ＝16（cm2） 答：重叠部分面积是 16cm2 【对应练习 3】 两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形 HEC（如图）。已知：AB＝10cm， HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？ 解析： S 阴影＝S 三角形DEF－S 三角形HEC＝S 三角形ABC－S 三角形HEC＝S 梯形ABEH 因为 BE＋EC＝CF＋EC，所以 BE＝CF （5＋10）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 45平方厘米。 【考点九】面积法其七：差不变原理。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积： 如果 S 甲=S 乙，那么 S 甲+S 空白=S 乙+S 空白，反之亦可。 【典型例题】 如下图，正方形 ABFD的边长为 6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部 分乙的面积大多少？（单位：厘米） 29 / 38 解析： 6×（6＋7.5）÷2－6×6 ＝6×13.5÷2－36 ＝40.5－36 ＝4.5（平方厘米） 答：涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大 4.5平方厘米。 【对应练习 1】 看图计算。 如下图，ABCD是边长为 10厘米的正方形，三角形 ABF比三角形 CEF的面积 大 20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析： 10×10÷2－20 ＝50－20 ＝30（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 30平方厘米。 【对应练习 2】 如图，ABCD是平行四边形，BC＝8cm，EC＝6cm，阴影部分面积比△EFG的 面积大 12cm2，求 FC的长。 30 / 38 解析： 分析可知，阴影部分面积－△EFG＝12cm2 （阴影部分＋梯形 BCFG）－（△EFG＋梯形 BCFG）＝12cm2 平行四边形 ABCD－△BCE＝12cm2 △BCE的面积：8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 平行四边形 ABCD的面积：24＋12＝36（cm2） FC的长度：36÷8＝4.5（厘米） 答：FC长 4.5厘米。 【对应练习 3】 四边形 ABCG、DEFG 为长方形，AB＝7厘米，AG＝4厘米，DE＝2厘米，EF ＝10厘米，那么三角形 BCM比三角形 DEM的面积大多少平方厘米？ 解析： 10－7＝3（厘米） 4＋2＝6（厘米） 3×6÷2－3×2 ＝9－6 ＝3（平方厘米）