第六单元组合图形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 13 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 13 目 录 【课内精选一】梯形的面积（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】梯形的面积（二） ........................................................................................ 4 【课内精选三】组合图形的面积（一） ................................................................................ 5 【课内精选四】组合图形的面积（二） ................................................................................ 6 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题 .................................................................................... 7 【奥数拓展二】蝶形定理 ........................................................................................................ 8 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题 .................................................................... 9 【奥数拓展四】等积模型 ...................................................................................................... 10 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用 .............................................................. 11 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一） .................................................................. 12 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二） .................................................................. 13 3 / 13 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元组合图形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】梯形的面积（一）。 如图，图中阴影部分的面积是 12平方厘米，那么梯形的面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图，图中阴影部分的面积是 20平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 2. 如图，李大伯用 50米长的篱笆靠墙围了一个花圃，这个花圃的面积是多少平 方米? 4 / 13 3. 如图所示，平行四边形的面积是 42 平方厘米，梯形的高是 6厘米，BE 长 4 厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 【课内精选二】梯形的面积（二）。 如下图，用总长为 120米的篱笆靠墙围成一个梯形果园，这个果园的面积是多 少？ 【专项训练】 1．在一块梯形的地中间有一个正方形水池，其余是绿地（如图），绿地的面积 是多少平方米？ 2．一块梯形麦地，上底长 44米，下底长 56米，高 20米，这块地共收小麦 7560 千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 5 / 13 3．一个剧场设置了 40排座位，第一排有 76个座位，往后逐排比前一排多 2个 座位，最后一排有 154个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？ 【课内精选三】组合图形的面积（一）。 计算下面图形的面积。（单位：厘米） （1） （2） 【专项训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm） （1） （2） （3） （4） 6 / 13 【课内精选四】组合图形的面积（二）。 学校手工制作组制作了一个火箭模型，同学们纷纷跑去参观，手工制作组又制作 了一个指示牌（如下图）。现要为这个指示牌的正、反两面都刷上油漆，若每平 方厘米用油漆 0.5克，则一共需要多少克油漆？ 【专项训练】 1．科技馆内有一块火箭模型的标志牌，要粉刷这块标志牌的一面，且每平方米 需要用 0.2千克的涂料，一共需要多少克涂料？ 2．一块梯形的地中间有一个长为 30米，宽为 15米的长方形游泳池，其余地方 是草地。请你计算出草地的面积是多少？ 3．这是李伯伯家的一块麦田地（如图），共收小麦 1440千克。这块麦田有多少 平方米？平均每平方米收小麦多少千克？ 7 / 13 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题。 正方形的一组对边中，一条边增加 17厘米，另一条边减少 10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的 4倍，这个梯形的面积是多少? 【专项训练】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的 2倍，如果把上底延长 8米，就变成了一个 面积是 80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底 AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形 ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 3. 如图，梯形 ABCD的面积是 45平方米，高 6米，三角形 AEB的面积是 5平 方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 8 / 13 【奥数拓展二】蝶形定理。 如图所示，在梯形 ABCD中，三角形 AOD的面积是 7.5平方分米，求阴影部分 的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD 中，△AOB的面积是 7平方厘米，△BOC 的面积 是 9平方厘米，求△ADB的面积。 2. 如图所示，长方形 ABCD 中，三角形 ABG 的面积为 20 平方厘米，三角形 CDQ的面积为 35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3 厘米，那么 △OBC的面积是多少? 9 / 13 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题。 如图所示，在梯形 ABCD中，CO的长度等于 AO长度的 2倍，阴影部分的面积 是 10平方分米，求梯形 ABCD的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD中，△ABE的面积是 25平方厘米，AC是 AE长的 3倍，梯形 ABCD的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，四边形 ABCD 是长方形，已知 S①的面积是 12，S③的面积是 25， 那么 S②的面积是多少? 3. 如图所示，梯形 ABCD的面积为 117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知 EF⊥MN于点 O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 10 / 13 【奥数拓展四】等积模型。 如图所示，已知大正方形 AGBE 的边长是 5 厘米，小正方形 CDEF的边长是 3 厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 【专项训练】 1. 如图是两个正方形，边长分别是 7厘米和 5厘米，求阴影部分的面积。 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是 12厘米和 6厘米，那么涂色部分的面积 是多少平方厘米? 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 20厘米和 12厘米。则 三角形 AEG的面积为多少平方厘米? 11 / 13 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用。 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 【专项训练】 1. 两块等腰直角三角形的三角板 ABC和 CDE如图所示放置，直角边 BC和 CE 的长分别是 10和 8，则阴影部分的面积是多少? 2. 如图所示，三角形 ABC和 DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9厘米，CF长 3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面 积为多少? 12 / 13 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一）。 如图所示，正六边形 ABCDEF的面积是 6平方厘米，M是 AB中点，N是 CD 中 点，P是 EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图所示，在正六边形 ABCDEF中，若△ACE 的面积为 18，则三个阴影部 分的面积和为多少? 2. 如图所示，正六边形 ABCDEF的面积是 120平方厘米，以 G、H、I为中心的 三个小正六边形边长是正六边形 ABCDEF边长的一半，那么，三角形 GHI的面 积是多少平方厘米? 13 / 13 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二）。 用一张斜边长为 29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为 49的蓝色直角三角形 纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张 三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD中，E是 AB的中点，F是 AD的中点，已知△DCF 的面积是 6平方厘米，△ADE的面积是 4平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 多少平方厘米? 2. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，AC 与 BD 是对角线，且 AC⊥BD交于 O，AD=3，BC=7，则梯形 ABCD的面积为多少? 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形 ABCD 内 的四边形 EFGH的面积为 78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 1 / 22 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 22 目 录 【课内精选一】梯形的面积（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】梯形的面积（二） ........................................................................................ 4 【课内精选三】组合图形的面积（一） ................................................................................ 6 【课内精选四】组合图形的面积（二） ................................................................................ 8 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题 .................................................................................. 12 【奥数拓展二】蝶形定理 ...................................................................................................... 13 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题 .................................................................. 14 【奥数拓展四】等积模型 ...................................................................................................... 16 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用 .............................................................. 17 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一） .................................................................. 19 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二） .................................................................. 20 3 / 22 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元组合图形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】梯形的面积（一）。 如图，图中阴影部分的面积是 12平方厘米，那么梯形的面积是多少平方厘米? 解析： 已知阴影部分的面积是 12平方厘米，AB长 4厘米，因此，先求出三角形 ABC 的高，然后运用梯形的面积计算公式算出面积。 (4+6)×(12×2÷4)÷2=10×6÷2=30(平方厘米) 所以梯形的面积是 30平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，图中阴影部分的面积是 20平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 解析：(6+8)×(20×2÷8)÷2=35(平方厘米) 2. 如图，李大伯用 50米长的篱笆靠墙围了一个花圃，这个花圃的面积是多少平 方米? 4 / 22 解析：(50—20)×20÷2=300(平方米) 3. 如图所示，平行四边形的面积是 42 平方厘米，梯形的高是 6厘米，BE 长 4 厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 解析：42÷6=7(厘米)，(7+4+7)×6÷2=54(平方厘米) 【课内精选二】梯形的面积（二）。 如下图，用总长为 120米的篱笆靠墙围成一个梯形果园，这个果园的面积是多 少？ 【答案】1350平方米 【分析】观察图形可知，篱笆的长度是由上底、下底和 30米组成的，已知篱笆 长 120米，则用（120－30）即可求出上底跟下底的和，然后根据梯形的面积公 式即可求解。 【详解】（120－30）×30÷2 ＝90×30÷2 ＝1350（平方米） 答：这个果园的面积是 1350平方米。 【点睛】本题考查了梯形面积的实际应用。 【专项训练】 1．在一块梯形的地中间有一个正方形水池，其余是绿地（如图），绿地的面积 是多少平方米？ 5 / 22 【答案】2000平方米 【分析】根据绿地的面积＝梯形的面积－正方形的面积，根据梯形的面积＝（上 底＋下底）×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解即可。 【详解】（40＋80）×40÷2－20×20 ＝120×40÷2－400 ＝4800÷2－400 ＝2400－400 ＝2000（平方米） 答：绿地的面积是 2000平方米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则的图形转化为 规则图形。 2．一块梯形麦地，上底长 44米，下底长 56米，高 20米，这块地共收小麦 7560 千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】7.56千克 【分析】已知麦地是一个梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出 这块麦地的面积；再用这块地共收小麦的总质量除以这块地的面积，即可求出平 均每平方米收小麦的质量。 【详解】（44＋56）×20÷2 ＝100×20÷2 ＝1000（平方米） 7560÷1000＝7.56（千克） 答：平均每平方米收小麦 7.56千克。 【点睛】掌握梯形面积公式的灵活运用是解题的关键。 3．一个剧场设置了 40排座位，第一排有 76个座位，往后逐排比前一排多 2个 座位，最后一排有 154个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？ 6 / 22 【答案】4600个 【分析】根据梯形面积公式，座位总数＝（第一排座位数＋最后一排座位数）× 排数÷2，列式解答即可。 【详解】（76＋154）×40÷2 ＝230×40÷2 ＝4600（个） 答：这个剧场一共设置了 4600个座位。 【点睛】关键是掌握并灵活运用梯形面积公式。 【课内精选三】组合图形的面积（一）。 计算下面图形的面积。（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）204平方厘米 （2）660平方厘米 【分析】（1）组合图形的面积＝正方形面积＋梯形面积，根据正方形面积＝边 长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算。 （2）组合图形的面积＝梯形面积－三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底） ×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】（1）10×10＋（10＋16）×8÷2 ＝100＋26×8÷2 ＝100＋104 ＝204（平方厘米） 组合图形的面积是 204平方厘米。 （2）（18＋32）×30÷2－18×10÷2 ＝50×30÷2－180÷2 ＝750－90 ＝660（平方厘米） 7 / 22 组合图形的面积是 660平方厘米。 【专项训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）14.4cm2；（2）84cm2 （3）232cm2；（4）202.5cm2 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解； （2）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解； （3）观察图形可知，图形的面积＝平行四边形的面积＋三角形的面积，根据平 行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解； （4）观察图形可知，图形的面积＝三角形的面积＋梯形的面积，根据三角形的 面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）4×7.2÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（cm2） 直角三角形的面积是 14.4cm2。 （2）（10＋12＋6）×6÷2 ＝28×6÷2 ＝84（cm2） 梯形的面积是 84cm2。 8 / 22 （3）16×9＋16×11÷2 ＝144＋88 ＝232（cm2） 组合图形的面积是 232cm2。 （4）13×9÷2＋（10＋14）×12÷2 ＝117÷2＋24×12÷2 ＝58.5＋144 ＝202.5（cm2） 组合图形的面积是 202.5cm2。 【课内精选四】组合图形的面积（二）。 学校手工制作组制作了一个火箭模型，同学们纷纷跑去参观，手工制作组又制作 了一个指示牌（如下图）。现要为这个指示牌的正、反两面都刷上油漆，若每平 方厘米用油漆 0.5克，则一共需要多少克油漆？ 【答案】470克 【分析】观察图形可知，指示牌一个面的面积＝长方形的面积＋三角形的面积， 根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出指示 牌一个面的面积，再乘 2即是指示牌正、反两面的面积；最后用每平方厘米用油 漆的克数乘两个面的面积，即可求出两面刷油漆一共需要油漆的克数。 【详解】长方形的面积： 30×12＝360（平方厘米） 三角形的面积： 22×10÷2 ＝220÷2 ＝110（平方厘米） 指示牌正、反两面的面积： 9 / 22 （360＋110）×2 ＝470×2 ＝940（平方厘米） 需要油漆： 0.5×940＝470（克） 答：一共需要 470克油漆。 【点睛】本题考查组合图形面积的求法，关键是把组合图形分解成学过的图形， 然后根据图形的面积公式求解。 【专项训练】 1．科技馆内有一块火箭模型的标志牌，要粉刷这块标志牌的一面，且每平方米 需要用 0.2千克的涂料，一共需要多少克涂料？ 【答案】20克 【分析】由图可知，这块标志牌的面积＝三角形的面积＋长方形的面积＋梯形的 面积，一共需要涂料的质量＝这块标志牌的面积×每平方米需要涂料的质量，据 此解答。 【详解】10×10÷2＋10×80＋（10＋20）×10÷2 ＝10×10÷2＋10×80＋30×10÷2 ＝50＋800＋150 ＝1000（平方厘米） 1000平方厘米＝0.1平方米 0.1×0.2×1000 ＝0.02×1000 ＝20（克） 答：一共需要 20克涂料。 【点睛】本题主要考查组合图形面积的计算，准确求出这块标志牌的面积是解答 题目的关键。 10 / 22 2．一块梯形的地中间有一个长为 30米，宽为 15米的长方形游泳池，其余地方 是草地。请你计算出草地的面积是多少？ 【答案】1200平方米 【分析】草地的面积＝梯形地的面积－长方形游泳池的面积，根据梯形的面积＝ （上底＋下底）×高÷2和长方形的面积＝长×宽，代入数据分别求出梯形地的面 积和长方形游泳池的面积，再相减，即可求出草地的面积是多少。 【详解】（40＋70）×30÷2－30×15 ＝110×30÷2－450 ＝1650－450 ＝1200（平方米） 答：草地的面积是 1200平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用梯形、长方形的面积公式求出组合图形的面 积。 3．这是李伯伯家的一块麦田地（如图），共收小麦 1440千克。这块麦田有多少 平方米？平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】2000平方米；0.72千克 【分析】这块麦田地的面积可看作由一个长为 60米，宽为 25米的长方形和一个 底为（60－20）米，高为 25米的三角形组合而成，分别利用长方形和三角形的 面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出这块麦田地的面积；用这块麦 田地共收小麦的质量除以这块麦田地的面积，即可求出平均每平方米收小麦多少 千克。 11 / 22 【详解】60×25＋（60－20）×25÷2 ＝1500＋40×25÷2 ＝1500＋1000÷2 ＝1500＋500 ＝2000（平方米） 1440÷2000＝0.72（千克） 答：这块麦田有 2000平方米，平均每平方米收小麦 0.72千克。 【点睛】此题的解题关键是把组合图形转化成熟悉的图形，利用三角形和长方形 的面积公式，从而解决问题。 12 / 22 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题。 正方形的一组对边中，一条边增加 17厘米，另一条边减少 10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的 4倍，这个梯形的面积是多少? 解析： 如图所示，根据“一条边增加 17厘米，另一条边减少 10厘米，这样就变成梯形” 可知，梯形下底比上底长 17+10=27(厘米)；又从“梯形下底的长是上底的 4 倍” 可知，梯形下底比上底多 4－1=3(倍)，所以，先求出“1”倍数，即梯形上底的 17 厘米长，梯形上底为 27÷3=9(厘米)，从而求得梯形的下底为 9×4= 36(厘米)，梯 形的高是正方形的边长 10+9=19(厘米)。 所以，梯形的面积是(9+ 36)×19÷2=427.5(平方厘米) 【专项训练】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的 2倍，如果把上底延长 8米，就变成了一个 面积是 80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 解析： 我们可以把平行四边形分成相同的四块，每块的面积是 80÷4=20(平方米)，梯形 的面积是 20×3=60(平方米) 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底 AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形 ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 解析： 13 / 22 梯形 ABED的面积是(2+10)×5÷2 =30(平方厘米)，而△EBC的面积=梯形 ABCD 的面积，所以，△EBC的面积是 30÷2=15(平方厘 米)，CE =15×2÷5=6(厘米) 3. 如图，梯形 ABCD的面积是 45平方米，高 6米，三角形 AEB的面积是 5平 方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 解析：20 【奥数拓展二】蝶形定理。 如图所示，在梯形 ABCD中，三角形 AOD的面积是 7.5平方分米，求阴影部分 的面积。 解析： 在梯形中，△ADC和△BDC是两个同底等高的三角形，因此它们的面积相等。 从△ADC和△BDC中同时减去△ODC，那么△AOD和△BOC的面积相等，所 以阴影部分△BOC的面积是 7.5平方分米。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD 中，△AOB的面积是 7平方厘米，△BOC 的面积 是 9平方厘米，求△ADB的面积。 解析：△ADB的面积是 7+9=16(平方厘米) 2. 如图所示，长方形 ABCD 中，三角形 ABG 的面积为 20 平方厘米，三角形 CDQ的面积为 35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 14 / 22 解析：连结 EF，在梯形 ABFE 中，S△EFG =S△ABG；在梯形 CDEF 中， S△EFQ=S△CDQ，阴影部分的面积为两个三角形的和，20+35=55(平方厘米)， 所以，阴影部分的面积是 55平方厘米。 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3 厘米，那么 △OBC的面积是多少? 解析：5×3÷2=7.5(平方厘米) 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题。 如图所示，在梯形 ABCD中，CO的长度等于 AO长度的 2倍，阴影部分的面积 是 10平方分米，求梯形 ABCD的面积。 解析： 因为△ABD 和△ABC 是两个同底等高的三角形，所以△ADO 的面积和△CBO 相等，即 10平方分米.如果将 AO和 CO作为△ABO 与△CBO 的底，那么，这 两个三角形就是等高的三角形，由于“CO的长度等于 AO长度的 2倍”，因此， △CBO的面积是△ABO的 2倍，也就是说△ABO的面积是 10÷2=5(平方分米)； 同理，观察△ADO和△CDO，以 AO和 CO为底，△CDO的面积是△ADO的 2 倍，10×2=20(平方分米) 所以，梯形 ABCD的面积是 10÷2+ 10×2+10×2=5+20+20=45(平方分米)。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD中，△ABE的面积是 25平方厘米，AC是 AE长的 15 / 22 3倍，梯形 ABCD的面积是多少平方厘米? 解析： 因为“AC 是 AE 长的 3 倍”，所以△CBE 的面积是△ABE 的 2 倍，也就是 25×2=50(平方厘米)，即△ADE 的面积为 50 平方厘米，同理，△CDE的面积是 △ADE 的 2 倍，即 50×2 =100(平方厘米 )，所以，梯形 ABCD 的面积是 25+50+50+100= 225(平方厘米) 2. 如图所示，四边形 ABCD 是长方形，已知 S①的面积是 12，S③的面积是 25， 那么 S②的面积是多少? 解析：25－12=13 3. 如图所示，梯形 ABCD的面积为 117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知 EF⊥MN于点 O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 解析： 已经知道梯形 ABCD 的面积，那么只要求出空白部分的面积就可以得到阴影部 分的面积，因为EF垂直于MN，可知中间空白部分EMFN的面积为13× 4÷2=26(平 方厘米)，而 EF 把梯形 ABCD 分割成两个梯形 ABFE 和 EFCD，由蝴蝶定理可 知：三角形 ABM的面积=三角形 EMF的面积，三角形 DNC的面积=三角形 EFN 的面积，所以，三角形 ABM的面积+三角形 DNC的面积=三角形 EMF的面积+ 三角形 EFN 的面积=四边形 EMFN 的面积=26，空白部分的面积总和为 26+26=52(平方厘米) 所以，阴影部分面积为 117—52=65(平方厘米) 16 / 22 【奥数拓展四】等积模型。 如图所示，已知大正方形 AGBE 的边长是 5 厘米，小正方形 CDEF的边长是 3 厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，连接 CE，阴影部分的面积是 5×5÷2=12.5(平方厘米) 【专项训练】 1. 如图是两个正方形，边长分别是 7厘米和 5厘米，求阴影部分的面积。 解析： S阴影=7×7+5×5－7×7÷2－(5+7)×5÷2 =74－54.5 =19.5(平方厘米) 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是 12厘米和 6厘米，那么涂色部分的面积 是多少平方厘米? 解析：(12+6)×(12+6)÷2－6×6÷2=144(平方厘米) 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 20厘米和 12厘米。则 17 / 22 三角形 AEG的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结 AC,即四边形 ACGE为梯形，△CEG 的面积就是△AEG的面积，12 ×12÷2=72(平方厘米) 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用。 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，因为△ABC 和△EFD 都有一个直角和一个 45°角，一条直角边的长 度是 7厘米，所以它们是两个完全相同的等腰直角三角形，一部分重叠在一起以 后，由 BF=10厘米，不难知道，CD=4厘米，而阴影部分的这个三角形又是一个 等腰直角三角形，向下画出同样的三角形，那么 CD应该是正方形的对角线，由 正方形对角线的平方除以 2求出正方形的面积，再除以 2就是正方形一半的面积. 所以 4×4÷2÷2=4(平方厘米)。 答：阴影部分的面积是 4平方厘米。 18 / 22 【专项训练】 1. 两块等腰直角三角形的三角板 ABC和 CDE如图所示放置，直角边 BC和 CE 的长分别是 10和 8，则阴影部分的面积是多少? 解析： 很明显，△BEF也是等腰直角三角形，△BCG 的面积减去△BEF的面积就是阴 影部分的面积，即 10× 10÷4－(10－8)×(10－8)÷2=25－2=23(平方厘米) 2. 如图所示，三角形 ABC和 DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9厘米，CF长 3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析： 因为 DF长 9厘米，CF长 3厘米，所以，CE长 12厘米，三角形 CEG的面积是 12×12÷4=36(平方厘米)，36－3×3=27(平方厘米) 3. 如图所示，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面 积为多少? 解析：如图，图中阴影部分是一个三角形，面积没法直接求，可将图形补成一个 大正方形，再减去周围三个直角三角形的面积即可。 阴影部分=S大正方形－S三角形①－S三角形②－S三角形③ 19 / 22 =(4+2)×(4+2)－2×2÷2－4×6÷2－4×6÷2 =36－2－12－12 =10 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一）。 如图所示，正六边形 ABCDEF的面积是 6平方厘米，M是 AB中点，N是 CD 中 点，P是 EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 解析： 如图所示，我们把正六边形平均分成 24个等边三角形，每个等边三角形的面积 为 6÷24=0.25(平方厘米)，三角形MNP中含有 9个等边三角形，0.25×9= 2.25(平 方厘米) 【专项训练】 1. 如图所示，在正六边形 ABCDEF中，若△ACE 的面积为 18，则三个阴影部 分的面积和为多少? 20 / 22 解析： 正六边形 ABCDEF可分成 18个与阴影部分面积分别相等的三角形，其中△ACE 中有 9个，18÷9=2，2×3=6，所以，三个阴影部分的面积和为 6。 2. 如图所示，正六边形 ABCDEF的面积是 120平方厘米，以 G、H、I为中心的 三个小正六边形边长是正六边形 ABCDEF边长的一半，那么，三角形 GHI的面 积是多少平方厘米? 解析： 大正六边形减去三个小正六边形剩下的三个小菱形拼起来刚好等于一个小正六 边形，所以每个小正六边形的面积是 30平方厘米，而三角形 GHI的面积刚好是 一个小正六边形面积的一半，所以，三角形 GHI的面积等于 15平方厘米。 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二）。 用一张斜边长为 29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为 49的蓝色直角三角形 纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张 三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 解析： 如图 2所示，由于∠EDF=90°，所以∠1+∠2=90°，将直角三角形 DEB割下来补 到三角形 DFG的位置。 由 DE=DF，可知 F 点与 E 点重合，又因为∠DEB=90°=∠DFG=∠AFD，所以 ∠AFD+∠GFD=180°，即点 A、F、G在同一直线上。 因为∠GDF=∠1，所以∠GDA=90°，因为三角形 ADG是直角三角形，它的面积 恰好等于红、蓝两个直角三角形面积和，所以红、蓝两张三角形纸片面积之和是 49×29÷2=710.5 21 / 22 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形 ABCD中，E是 AB的中点，F是 AD的中点，已知△DCF 的面积是 6平方厘米，△ADE的面积是 4平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 多少平方厘米? 解析： 如图，连结 AC、BD，由 E是 AB的中点，可知△ADE与△BDE等底等高，因 此面积相等，即 S△ADE=S△BDE=4(平方厘米)，S△ABD=4×2=8(平方厘米)。 同理， F 是 AD 的中点，可以知道， S△ACF=S△DCF=6(平方厘米 )， S△ACD=6×2=12(平方厘米)，而△ACD与△BCD的面积相等(等底等高)，所以 S△BCD=12(平方厘米)，S梯形 ABCD=S△ABD+S△BCD=8+12=20(平方厘米) 2. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，AC 与 BD 是对角线，且 AC⊥BD交于 O，AD=3，BC=7，则梯形 ABCD的面积为多少? 解析： 如图作 DE⊥BC.根据题意，割补后可将△DEC移至△BFA，即 S四边形 ABCD=S 四边形FDEB，根据等腰梯形对称性知，△AOD是等腰直角三角形，则∠BDA=45°， 故四边形 FDEB是正方形，根据对称性，EC=(7-3)÷2=2，则 BE=7-2=5，所以，S 四边形 ABCD=S四边形 FDEB =5²=25。 22 / 22 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形 ABCD 内 的四边形 EFGH的面积为 78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 解析： 如图所示，在正方形内分别画出长方形 AFME、 BGNF、CHQG、DEPH，很明 显，每个长方形中的阴影部分与空白部分面积相等，因为 AF=7 cm，DH=4 cm， 所以，QN=3 cm；又因为 BG=5 cm，AE=1 cm，所以，PQ=4 cm，因此，长方形 PMNQ 的面积为 3×4=12(cm²)，正方形 ABCD 的面积为 78－12+78=144(cm²)， 144=12²，所以，正方形的边长为 12 cm。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 目 录 【课内精选一】梯形的面积（一） 3 【课内精选二】梯形的面积（二） 4 【课内精选三】组合图形的面积（一） 5 【课内精选四】组合图形的面积（二） 6 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题 7 【奥数拓展二】蝶形定理 8 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题 9 【奥数拓展四】等积模型 10 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用 11 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一） 12 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二） 13 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元组合图形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】梯形的面积（一）。 如图，图中阴影部分的面积是12平方厘米，那么梯形的面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图，图中阴影部分的面积是20平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 2. 如图，李大伯用50米长的篱笆靠墙围了一个花圃，这个花圃的面积是多少平方米? 3. 如图所示，平行四边形的面积是42平方厘米，梯形的高是6厘米，BE长4厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 【课内精选二】梯形的面积（二）。 如下图，用总长为120米的篱笆靠墙围成一个梯形果园，这个果园的面积是多少？ 【专项训练】 1．在一块梯形的地中间有一个正方形水池，其余是绿地（如图），绿地的面积是多少平方米？ 2．一块梯形麦地，上底长44米，下底长56米，高20米，这块地共收小麦7560千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 3．一个剧场设置了40排座位，第一排有76个座位，往后逐排比前一排多2个座位，最后一排有154个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？ 【课内精选三】组合图形的面积（一）。 计算下面图形的面积。（单位：厘米） （1）       （2） 【专项训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm） （1）                              （2） （3）                              （4） 【课内精选四】组合图形的面积（二）。 学校手工制作组制作了一个火箭模型，同学们纷纷跑去参观，手工制作组又制作了一个指示牌（如下图）。现要为这个指示牌的正、反两面都刷上油漆，若每平方厘米用油漆0.5克，则一共需要多少克油漆？ 【专项训练】 1．科技馆内有一块火箭模型的标志牌，要粉刷这块标志牌的一面，且每平方米需要用0.2千克的涂料，一共需要多少克涂料？ 2．一块梯形的地中间有一个长为30米，宽为15米的长方形游泳池，其余地方是草地。请你计算出草地的面积是多少？ 3．这是李伯伯家的一块麦田地（如图），共收小麦1440千克。这块麦田有多少平方米？平均每平方米收小麦多少千克？ 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题。 正方形的一组对边中，一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的4倍，这个梯形的面积是多少? 【专项训练】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的2倍，如果把上底延长8米，就变成了一个面积是80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 3. 如图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，三角形AEB的面积是5平方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 【奥数拓展二】蝶形定理。 如图所示，在梯形ABCD中，三角形AOD的面积是7.5平方分米，求阴影部分的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△AOB的面积是7平方厘米，△BOC的面积是9平方厘米，求△ADB的面积。 2. 如图所示，长方形ABCD中，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC的面积是多少? 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题。 如图所示，在梯形ABCD中，CO的长度等于AO长度的2倍，阴影部分的面积 是10平方分米，求梯形ABCD的面积。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△ABE的面积是25平方厘米，AC是AE长的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，四边形ABCD是长方形，已知S①的面积是12，S③的面积是25，那么S②的面积是多少? 3. 如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知EF⊥MN于点O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 【奥数拓展四】等积模型。 如图所示，已知大正方形AGBE的边长是5厘米，小正方形CDEF的边长是3厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 【专项训练】 1. 如图是两个正方形，边长分别是7厘米和5厘米，求阴影部分的面积。 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是12厘米和6厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是20厘米和12厘米。则三角形AEG的面积为多少平方厘米? 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用。 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 【专项训练】 1. 两块等腰直角三角形的三角板ABC和CDE如图所示放置，直角边BC和CE 的长分别是10和8，则阴影部分的面积是多少? 2. 如图所示，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 3. 如图所示，四边形ABCD、CEFG都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面积为多少? 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一）。 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为多少? 2. 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是120平方厘米，以G、H、I为中心的三个小正六边形边长是正六边形ABCDEF边长的一半，那么，三角形GHI的面积是多少平方厘米? 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二）。 用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，已知△DCF的面积是6平方厘米，△ADE的面积是4平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 2. 如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，AC与BD是对角线，且 AC⊥BD交于O，AD=3，BC=7，则梯形ABCD的面积为多少? 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 目 录 【课内精选一】梯形的面积（一） 3 【课内精选二】梯形的面积（二） 4 【课内精选三】组合图形的面积（一） 6 【课内精选四】组合图形的面积（二） 8 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题 12 【奥数拓展二】蝶形定理 13 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题 14 【奥数拓展四】等积模型 16 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用 17 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一） 19 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二） 20 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第六单元组合图形的面积·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】梯形的面积（一）。 如图，图中阴影部分的面积是12平方厘米，那么梯形的面积是多少平方厘米? 解析： 已知阴影部分的面积是12平方厘米，AB长4厘米，因此，先求出三角形ABC的高，然后运用梯形的面积计算公式算出面积。 (4+6)×(12×2÷4)÷2=10×6÷2=30(平方厘米) 所以梯形的面积是30平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，图中阴影部分的面积是20平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 解析：(6+8)×(20×2÷8)÷2=35(平方厘米) 2. 如图，李大伯用50米长的篱笆靠墙围了一个花圃，这个花圃的面积是多少平方米? 解析：(50—20)×20÷2=300(平方米) 3. 如图所示，平行四边形的面积是42平方厘米，梯形的高是6厘米，BE长4厘米，梯形的面积是多少平方厘米? 解析：42÷6=7(厘米)，(7+4+7)×6÷2=54(平方厘米) 【课内精选二】梯形的面积（二）。 如下图，用总长为120米的篱笆靠墙围成一个梯形果园，这个果园的面积是多少？ 【答案】1350平方米 【分析】观察图形可知，篱笆的长度是由上底、下底和30米组成的，已知篱笆长120米，则用（120－30）即可求出上底跟下底的和，然后根据梯形的面积公式即可求解。 【详解】（120－30）×30÷2 ＝90×30÷2 ＝1350（平方米） 答：这个果园的面积是1350平方米。 【点睛】本题考查了梯形面积的实际应用。 【专项训练】 1．在一块梯形的地中间有一个正方形水池，其余是绿地（如图），绿地的面积是多少平方米？ 【答案】2000平方米 【分析】根据绿地的面积＝梯形的面积－正方形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据求解即可。 【详解】（40＋80）×40÷2－20×20 ＝120×40÷2－400 ＝4800÷2－400 ＝2400－400 ＝2000（平方米） 答：绿地的面积是2000平方米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则的图形转化为规则图形。 2．一块梯形麦地，上底长44米，下底长56米，高20米，这块地共收小麦7560千克，平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】7.56千克 【分析】已知麦地是一个梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出这块麦地的面积；再用这块地共收小麦的总质量除以这块地的面积，即可求出平均每平方米收小麦的质量。 【详解】（44＋56）×20÷2 ＝100×20÷2 ＝1000（平方米） 7560÷1000＝7.56（千克） 答：平均每平方米收小麦7.56千克。 【点睛】掌握梯形面积公式的灵活运用是解题的关键。 3．一个剧场设置了40排座位，第一排有76个座位，往后逐排比前一排多2个座位，最后一排有154个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？ 【答案】4600个 【分析】根据梯形面积公式，座位总数＝（第一排座位数＋最后一排座位数）×排数÷2，列式解答即可。 【详解】（76＋154）×40÷2 ＝230×40÷2 ＝4600（个） 答：这个剧场一共设置了4600个座位。 【点睛】关键是掌握并灵活运用梯形面积公式。 【课内精选三】组合图形的面积（一）。 计算下面图形的面积。（单位：厘米） （1）       （2） 【答案】（1）204平方厘米 （2）660平方厘米 【分析】（1）组合图形的面积＝正方形面积＋梯形面积，根据正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式计算。 （2）组合图形的面积＝梯形面积－三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】（1）10×10＋（10＋16）×8÷2 ＝100＋26×8÷2 ＝100＋104 ＝204（平方厘米） 组合图形的面积是204平方厘米。 （2）（18＋32）×30÷2－18×10÷2 ＝50×30÷2－180÷2 ＝750－90 ＝660（平方厘米） 组合图形的面积是660平方厘米。 【专项训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm） （1）                              （2） （3）                              （4） 【答案】（1）14.4cm2；（2）84cm2 （3）232cm2；（4）202.5cm2 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解； （2）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解； （3）观察图形可知，图形的面积＝平行四边形的面积＋三角形的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解； （4）观察图形可知，图形的面积＝三角形的面积＋梯形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）4×7.2÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（cm2） 直角三角形的面积是14.4cm2。 （2）（10＋12＋6）×6÷2 ＝28×6÷2 ＝84（cm2） 梯形的面积是84cm2。 （3）16×9＋16×11÷2 ＝144＋88 ＝232（cm2） 组合图形的面积是232cm2。 （4）13×9÷2＋（10＋14）×12÷2 ＝117÷2＋24×12÷2 ＝58.5＋144 ＝202.5（cm2） 组合图形的面积是202.5cm2。 【课内精选四】组合图形的面积（二）。 学校手工制作组制作了一个火箭模型，同学们纷纷跑去参观，手工制作组又制作了一个指示牌（如下图）。现要为这个指示牌的正、反两面都刷上油漆，若每平方厘米用油漆0.5克，则一共需要多少克油漆？ 【答案】470克 【分析】观察图形可知，指示牌一个面的面积＝长方形的面积＋三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出指示牌一个面的面积，再乘2即是指示牌正、反两面的面积；最后用每平方厘米用油漆的克数乘两个面的面积，即可求出两面刷油漆一共需要油漆的克数。 【详解】长方形的面积： 30×12＝360（平方厘米） 三角形的面积： 22×10÷2 ＝220÷2 ＝110（平方厘米） 指示牌正、反两面的面积： （360＋110）×2 ＝470×2 ＝940（平方厘米） 需要油漆： 0.5×940＝470（克） 答：一共需要470克油漆。 【点睛】本题考查组合图形面积的求法，关键是把组合图形分解成学过的图形，然后根据图形的面积公式求解。 【专项训练】 1．科技馆内有一块火箭模型的标志牌，要粉刷这块标志牌的一面，且每平方米需要用0.2千克的涂料，一共需要多少克涂料？ 【答案】20克 【分析】由图可知，这块标志牌的面积＝三角形的面积＋长方形的面积＋梯形的面积，一共需要涂料的质量＝这块标志牌的面积×每平方米需要涂料的质量，据此解答。 【详解】10×10÷2＋10×80＋（10＋20）×10÷2 ＝10×10÷2＋10×80＋30×10÷2 ＝50＋800＋150 ＝1000（平方厘米） 1000平方厘米＝0.1平方米 0.1×0.2×1000 ＝0.02×1000 ＝20（克） 答：一共需要20克涂料。 【点睛】本题主要考查组合图形面积的计算，准确求出这块标志牌的面积是解答题目的关键。 2．一块梯形的地中间有一个长为30米，宽为15米的长方形游泳池，其余地方是草地。请你计算出草地的面积是多少？ 【答案】1200平方米 【分析】草地的面积＝梯形地的面积－长方形游泳池的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2和长方形的面积＝长×宽，代入数据分别求出梯形地的面积和长方形游泳池的面积，再相减，即可求出草地的面积是多少。 【详解】（40＋70）×30÷2－30×15 ＝110×30÷2－450 ＝1650－450 ＝1200（平方米） 答：草地的面积是1200平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用梯形、长方形的面积公式求出组合图形的面积。 3．这是李伯伯家的一块麦田地（如图），共收小麦1440千克。这块麦田有多少平方米？平均每平方米收小麦多少千克？ 【答案】2000平方米；0.72千克 【分析】这块麦田地的面积可看作由一个长为60米，宽为25米的长方形和一个底为（60－20）米，高为25米的三角形组合而成，分别利用长方形和三角形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出这块麦田地的面积；用这块麦田地共收小麦的质量除以这块麦田地的面积，即可求出平均每平方米收小麦多少千克。 【详解】60×25＋（60－20）×25÷2 ＝1500＋40×25÷2 ＝1500＋1000÷2 ＝1500＋500 ＝2000（平方米） 1440÷2000＝0.72（千克） 答：这块麦田有2000平方米，平均每平方米收小麦0.72千克。 【点睛】此题的解题关键是把组合图形转化成熟悉的图形，利用三角形和长方形的面积公式，从而解决问题。 【奥数拓展一】梯形底边的变化问题。 正方形的一组对边中，一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成 梯形，这时梯形下底的长是上底的4倍，这个梯形的面积是多少? 解析： 如图所示，根据“一条边增加17厘米，另一条边减少10厘米，这样就变成梯形”可知，梯形下底比上底长17+10=27(厘米)；又从“梯形下底的长是上底的4倍”可知，梯形下底比上底多4－1=3(倍)，所以，先求出“1”倍数，即梯形上底的 17厘米长，梯形上底为27÷3=9(厘米)，从而求得梯形的下底为9×4= 36(厘米)，梯形的高是正方形的边长10+9=19(厘米)。 所以，梯形的面积是(9+ 36)×19÷2=427.5(平方厘米) 【专项训练】 1. 有一块梯形菜地，下底是上底的2倍，如果把上底延长8米，就变成了一个面积是80平方米的平行四边形，这块梯形菜地的面积是多少平方米? 解析： 我们可以把平行四边形分成相同的四块，每块的面积是80÷4=20(平方米)，梯形的面积是20×3=60(平方米) 2. 如图，ABED是一个直角梯形，∠D=90°,它的上底AB=2厘米，AD=5厘米， DE=10厘米，如果△EBC的面积等于梯形ABCD的面积，那么 CE长多少厘米? 解析： 梯形ABED的面积是(2+10)×5÷2 =30(平方厘米)，而△EBC的面积=梯形ABCD的面积，所以，△EBC的面积是30÷2=15(平方厘 米)，CE =15×2÷5=6(厘米) 3. 如图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，三角形AEB的面积是5平方米，DC=10米，求阴影部分的面积。 解析：20 【奥数拓展二】蝶形定理。 如图所示，在梯形ABCD中，三角形AOD的面积是7.5平方分米，求阴影部分的面积。 解析： 在梯形中，△ADC和△BDC是两个同底等高的三角形，因此它们的面积相等。从△ADC和△BDC中同时减去△ODC，那么△AOD和△BOC的面积相等，所以阴影部分△BOC的面积是7.5平方分米。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△AOB的面积是7平方厘米，△BOC的面积是9平方厘米，求△ADB的面积。 解析：△ADB的面积是7+9=16(平方厘米) 2. 如图所示，长方形ABCD中，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析：连结EF，在梯形ABFE中，S△EFG =S△ABG；在梯形 CDEF中，S△EFQ=S△CDQ，阴影部分的面积为两个三角形的和，20+35=55(平方厘米)，所以，阴影部分的面积是55平方厘米。 3. 如图所示，ABCD是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC的面积是多少? 解析：5×3÷2=7.5(平方厘米) 【奥数拓展三】三位数乘两位数的乘法应用题。 如图所示，在梯形ABCD中，CO的长度等于AO长度的2倍，阴影部分的面积 是10平方分米，求梯形ABCD的面积。 解析： 因为△ABD和△ABC是两个同底等高的三角形，所以△ADO的面积和△CBO相等，即10平方分米.如果将AO和CO作为△ABO与△CBO的底，那么，这两个三角形就是等高的三角形，由于“CO的长度等于AO长度的2倍”，因此，△CBO的面积是△ABO的2倍，也就是说△ABO的面积是10÷2=5(平方分米)；同理，观察△ADO和△CDO，以AO和CO为底，△CDO的面积是△ADO的2倍，10×2=20(平方分米) 所以，梯形ABCD的面积是10÷2+ 10×2+10×2=5+20+20=45(平方分米)。 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，△ABE的面积是25平方厘米，AC是AE长的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 解析： 因为“AC是AE长的3倍”，所以△CBE的面积是△ABE的2倍，也就是25×2=50(平方厘米)，即△ADE的面积为50平方厘米，同理，△CDE的面积是△ADE的2倍，即50×2 =100(平方厘米)，所以，梯形ABCD的面积是25+50+50+100= 225(平方厘米) 2. 如图所示，四边形ABCD是长方形，已知S①的面积是12，S③的面积是25，那么S②的面积是多少? 解析：25－12=13 3. 如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN= 4厘米，又已知EF⊥MN于点O，那么阴影部分的总面积为多少平方厘米? 解析： 已经知道梯形ABCD的面积，那么只要求出空白部分的面积就可以得到阴影部分的面积，因为EF垂直于MN，可知中间空白部分EMFN的面积为13× 4÷2=26(平方厘米)，而EF把梯形ABCD分割成两个梯形ABFE和EFCD，由蝴蝶定理可知：三角形 ABM的面积=三角形EMF的面积，三角形DNC的面积=三角形EFN的面积，所以，三角形ABM的面积+三角形DNC的面积=三角形EMF的面积+三角形EFN的面积=四边形EMFN的面积=26，空白部分的面积总和为26+26=52(平方厘米) 所以，阴影部分面积为117—52=65(平方厘米) 【奥数拓展四】等积模型。 如图所示，已知大正方形AGBE的边长是5厘米，小正方形CDEF的边长是3厘米，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，连接CE，阴影部分的面积是5×5÷2=12.5(平方厘米) 【专项训练】 1. 如图是两个正方形，边长分别是7厘米和5厘米，求阴影部分的面积。 解析： S阴影=7×7+5×5－7×7÷2－(5+7)×5÷2 =74－54.5 =19.5(平方厘米) 2. 如图所示，两个正方形的边长分别是12厘米和6厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米? 解析：(12+6)×(12+6)÷2－6×6÷2=144(平方厘米) 3. 如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是20厘米和12厘米。则三角形AEG的面积为多少平方厘米? 解析： 如图，连结AC,即四边形ACGE为梯形，△CEG 的面积就是△AEG的面积，12×12÷2=72(平方厘米) 【奥数拓展五】等腰三角形在组合图形中的应用。 如图，BF=10，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 解析： 如图所示，因为△ABC和△EFD都有一个直角和一个45°角，一条直角边的长度是7厘米，所以它们是两个完全相同的等腰直角三角形，一部分重叠在一起以后，由BF=10厘米，不难知道，CD=4厘米，而阴影部分的这个三角形又是一个等腰直角三角形，向下画出同样的三角形，那么CD应该是正方形的对角线，由正方形对角线的平方除以2求出正方形的面积，再除以2就是正方形一半的面积.所以4×4÷2÷2=4(平方厘米)。 答：阴影部分的面积是4平方厘米。 【专项训练】 1. 两块等腰直角三角形的三角板ABC和CDE如图所示放置，直角边BC和CE 的长分别是10和8，则阴影部分的面积是多少? 解析： 很明显，△BEF也是等腰直角三角形，△BCG的面积减去△BEF的面积就是阴影部分的面积，即10× 10÷4－(10－8)×(10－8)÷2=25－2=23(平方厘米) 2. 如图所示，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米? 解析： 因为DF长9厘米，CF长3厘米，所以，CE长12厘米，三角形CEG的面积是12×12÷4=36(平方厘米)，36－3×3=27(平方厘米) 3. 如图所示，四边形ABCD、CEFG都是正方形，AB=2,EC=4，则阴影部分面积为多少? 解析：如图，图中阴影部分是一个三角形，面积没法直接求，可将图形补成一个大正方形，再减去周围三个直角三角形的面积即可。 阴影部分=S大正方形－S三角形①－S三角形②－S三角形③ =(4+2)×(4+2)－2×2÷2－4×6÷2－4×6÷2 =36－2－12－12 =10 【奥数拓展六】复杂的多边形面积问题（一）。 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点，三角形MNP的面积是多少平方厘米? 解析： 如图所示，我们把正六边形平均分成24个等边三角形，每个等边三角形的面积为6÷24=0.25(平方厘米)，三角形MNP中含有9个等边三角形，0.25×9= 2.25(平方厘米) 【专项训练】 1. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若△ACE的面积为18，则三个阴影部分的面积和为多少? 解析： 正六边形ABCDEF可分成18个与阴影部分面积分别相等的三角形，其中△ACE中有9个，18÷9=2，2×3=6，所以，三个阴影部分的面积和为6。 2. 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是120平方厘米，以G、H、I为中心的三个小正六边形边长是正六边形ABCDEF边长的一半，那么，三角形GHI的面积是多少平方厘米? 解析： 大正六边形减去三个小正六边形剩下的三个小菱形拼起来刚好等于一个小正六边形，所以每个小正六边形的面积是30平方厘米，而三角形GHI的面积刚好是一个小正六边形面积的一半，所以，三角形 GHI的面积等于15平方厘米。 【奥数拓展七】复杂的多边形面积问题（二）。 用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰好拼成一个直角三角形，问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由。 解析： 如图2所示，由于∠EDF=90°，所以∠1+∠2=90°，将直角三角形DEB割下来补到三角形DFG的位置。 由DE=DF，可知F点与E点重合，又因为∠DEB=90°=∠DFG=∠AFD，所以∠AFD+∠GFD=180°，即点A、F、G在同一直线上。 因为∠GDF=∠1，所以∠GDA=90°，因为三角形ADG是直角三角形，它的面积恰好等于红、蓝两个直角三角形面积和，所以红、蓝两张三角形纸片面积之和是49×29÷2=710.5 【专项训练】 1. 如图所示，在梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，已知△DCF的面积是6平方厘米，△ADE的面积是4平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米? 解析： 如图，连结AC、BD，由E是AB的中点，可知△ADE与△BDE等底等高，因此面积相等，即S△ADE=S△BDE=4(平方厘米)，S△ABD=4×2=8(平方厘米)。 同理，F是AD的中点，可以知道，S△ACF=S△DCF=6(平方厘米)，S△ACD=6×2=12(平方厘米)，而△ACD与△BCD的面积相等(等底等高)，所以 S△BCD=12(平方厘米)，S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD=8+12=20(平方厘米) 2. 如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，AC与BD是对角线，且 AC⊥BD交于O，AD=3，BC=7，则梯形ABCD的面积为多少? 解析： 如图作DE⊥BC.根据题意，割补后可将△DEC移至△BFA，即S四边形ABCD=S四边形FDEB，根据等腰梯形对称性知，△AOD是等腰直角三角形，则∠BDA=45°，故四边形FDEB是正方形，根据对称性，EC=(7-3)÷2=2，则BE=7-2=5，所以，S四边形ABCD=S四边形FDEB =5²=25。 3. 如图所示，AF=7 cm，DH=4 cm，BG=5 cm，AE=1 cm，若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78 cm²，则正方形的边长为多少厘米? 解析： 如图所示，在正方形内分别画出长方形AFME、 BGNF、CHQG、DEPH，很明显，每个长方形中的阴影部分与空白部分面积相等，因为AF=7 cm，DH=4 cm，所以，QN=3 cm；又因为BG=5 cm，AE=1 cm，所以，PQ=4 cm，因此，长方形PMNQ的面积为3×4=12(cm²)，正方形ABCD的面积为78－12+78=144(cm²)，144=12²，所以，正方形的边长为12 cm。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$