专题10 二次函数实际应用（5大经典基础题+1大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题10 二次函数实际应用 销售问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）某市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出y与x的函数关系式； (2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）宝珠梨盛产于昆明市呈贡区，是当地的特产水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味浓甜，微香等特点．某果农经销某品牌的宝珠梨，成本为15元/千克．物价部门规定每千克梨的销售利润不得高于进价的．经市场调查发现：每天销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，部分图象如图所示：    (1)求y与x的函数解析式（解析式也称表达式）． (2)求这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润W． 拱桥问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米． (1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？ 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 投球问题 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图所示，一名男生掷出的实心球行进高度与水平距离之间的函数图象是一条抛物线，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．若实心球从起点到落地点的水平距离不小于时可得满分，问该男生此次抛掷能否得到满分？请说明理由． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图①，排球场长为，宽为，网高为．某校排球队员站在底线O点处向正前方发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运动到最高点A处时，高度为，即，这时水平距离．以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．    (1)求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出x的取值范围） (2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发球（即能否过网？是否出界？），并说明理由． 喷水问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 图形面积问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的长、宽各增加，则扩充后的矩形面积y与x的关系式为 ．    3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．    (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当时，求x的值； (3)求矩形花圃的最大面积． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）为了节省材料，某花农利用一面靠墙的空地（墙足够长），用总长为的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，区域其中．设的长度为，矩形区域的面积为．    (1)求的长（用x的代数式表示）； (2)求y与x的函数解析式，并求矩形区域的面积的最大值． 综合探究题型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下： 素 材 内容 素 材 1     高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素 材 2   图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形． 素 材 3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，丵试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留) (3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？ 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点E，F分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝______；区域Ⅱ的面积＝______． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时，此时称E点为合格定位点．当区域乙的面积最小时，合格定位点E点为最佳定位点，求出最佳定位点E的坐标． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为40元. 问题解决 任务1 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式． 任务2 设计种植方案 （2）设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降20%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为2748元？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数实际应用 销售问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)每顶头盔应降价20元； (2)或4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）某市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出y与x的函数关系式； (2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元 (3) 【分析】（1）由图象过点和易求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答； （3）画出函数图象，结合图形回答问题． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 解之，得 ， 与的函数关系式为：； （2） ． ， 有最大值． 当时，． 即当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元． （3）， 当时， ， 解得，，， 如图，   ， 抛物线的开口向下， 当时，， 故销售单价的范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图像性质的应用（销售问题）．包括待定系数法求二次函数解析式、最值问题、顶点式、解一元二次方程、图像法解一元二次不等式熟练掌握二次函数的性质，结合图像解答取值范围的有关问题是解决此题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）宝珠梨盛产于昆明市呈贡区，是当地的特产水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味浓甜，微香等特点．某果农经销某品牌的宝珠梨，成本为15元/千克．物价部门规定每千克梨的销售利润不得高于进价的．经市场调查发现：每天销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，部分图象如图所示：    (1)求y与x的函数解析式（解析式也称表达式）． (2)求这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润W． 【答案】(1) (2)这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润为2340元 【分析】（1）理由待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意得出，根据物价部门规定每千克梨的销售利润不得高于进价的得出，根据二次函数的性质得出当时，W随x的增大而增大，当时，W最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴y与x的函数解析式． （2）解：根据题意得： ， ∵x满足， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W最大，且最大值为： ， 答：这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润为2340元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，求出一次函数解析式和二次函数解析式． 拱桥问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据性质求出与轴的交点，即可得到答案． 【详解】解：依题意，的横坐标为， 令， 即， 故选B． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线结构（如图），则a的值最接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，双塔底部所在直线为x轴，过最高点C且垂直于x轴所在直线为y轴，则抛物线顶点为； ∵双塔底部为跨度约62米， ∴， 把A、B、C三点坐标分别代入中， 得：，解得： ∴，而接近， 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米． (1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解获得答案． （2）将代入（1）中解析式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系， 可设这条抛物线为， 结合题意，将点代入，得， 解得， ∴， （2）若水面下降3米，即当时，可有，解得， 此时水面宽度为米， ∴水面下降3米，水面宽度增加米． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键是正确建立坐标系，熟练运用二次函数解决实际问题． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 投球问题 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）一名身高为的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式； (2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)0.2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可； （2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为，求出A的坐标为，然后把A的坐标代入（1）中所求解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为． 由题意可知，抛物线上的点B的坐标为． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为． ，． 由题意可得点A的坐标为， ∴， ∴． ∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米； 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系，如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法； （1）设y关于x的函数表达式为，把代入上式得，即可求解； （2）令，解方程，可求出该女生的成绩，即可求解； 理解和的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入上式得， ， 解得， ； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分． 理由：令， 即， 解得，（舍去）， ， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图所示，一名男生掷出的实心球行进高度与水平距离之间的函数图象是一条抛物线，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．若实心球从起点到落地点的水平距离不小于时可得满分，问该男生此次抛掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】该男生此次抛掷能得到满分，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．设二次函数表达式为，代入求出表达式；令抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意：设二次函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 二次函数表达式为：， ，且， 则，整理得：， 解得：或（舍去，不符合题意）， ， 该男生此次抛掷能得到满分． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图①，排球场长为，宽为，网高为．某校排球队员站在底线O点处向正前方发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运动到最高点A处时，高度为，即，这时水平距离．以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．    (1)求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出x的取值范围） (2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发球（即能否过网？是否出界？），并说明理由． 【答案】(1) (2)这次发球为有效发球，见解析 【分析】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键． （1）求出抛物线表达式，设y与x的函数关系式为，根据题意可知点为函数的顶点，将点代入求解即可； （2）确定和时，对应函数的值即可求解 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为      由题可知：点为函数的顶点                                      将点代入， 得 与x的函数关系式为 （2）解：这次发球为有效发球．                 当时， 球可以过网．                                   令，则， 解得 由题可知（舍）， 球没有出界 故这次发球为有效发球． 喷水问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 【答案】(1)①图见解析，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键． （1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； ②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可； （2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案． 【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为 把代入得 解得： 抛物线的表达式为； ②令，得， 解得：，（舍去） 喷灌器底端O到点B的距离； （2）如图所示： ， ， 设 把代入得 解得： 当时， 设， 把代入得 解得： 当时， 使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题； （3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 点在此抛物线上， ，得， 即抛物线的解析式为； （2）当时，， 答：水管的长度是； （3）当时， ， 解得，，（舍去）， 当，才不会淋湿衣裳． 图形面积问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】设，则，根据题意表示出四边形的面积，根据二次函数的性质解答，即可获得答案． 【详解】解：设，则， 则四边形的面积， ∴当时，四边形ABCD的面积最大，最大值为8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、四边形的面积公式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的长、宽各增加，则扩充后的矩形面积y与x的关系式为 ．    【答案】 【分析】由图可以直接得到扩充后的绿地的面积与之间的函数关系式，然后写出关系式，化简即可． 【详解】解：由图可得， 扩充后的绿地的面积与之间的函数关系式是：， 即扩充后的绿地的面积与之间的函数关系式是：． 故答案为 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，利用数形结合的思想解答问题． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．    (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当时，求x的值； (3)求矩形花圃的最大面积． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数和一元二次方程的应用． （1）根据题意，得：，进而求解； （2）由题意得：，即可求解； （3），而，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，得：， ∵， ∴． S与x的函数关系式为； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去）或6， 即长为6； （3）解：， ∵，故当时，S随x的增大而减小， ∵，则时S最大为60， 此时． 答：矩形花圃的最大面积为． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）为了节省材料，某花农利用一面靠墙的空地（墙足够长），用总长为的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，区域其中．设的长度为，矩形区域的面积为．    (1)求的长（用x的代数式表示）； (2)求y与x的函数解析式，并求矩形区域的面积的最大值． 【答案】(1) (2)，矩形区域的面积的最大值为 【分析】（1），设，则，，根据围网的总长为建立方程，解方程求出的值，进而得出答案； （2）由（1）可得，进而表示出与的关系式，并求出的范围即可；利用二次函数的性质求出的最大值； 【详解】（1）解：∵， 设，则，， 由矩形的性质可知：， ∴， 即：； （2）由（1）可知，矩形区域的面积为： 即：， ∵， ∴， 即：， ∵ ∴当时，矩形区域的面积的最大值为； 【点睛】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 综合探究题型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下： 素 材 内容 素 材 1     高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素 材 2   图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形． 素 材 3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，丵试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留) (3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？ 【答案】(1)抛物线；抛物线 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的实际应用 （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，点在抛物线上， ，， ，， 抛物线；抛物线； （2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，， 在抛物线中：当时， ， ， ， 则， ； （3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ， ， 即， 解得； 则最深度为； 当时，由图象可得：， ， 可列方程：， 则， 解得； 则最深度为． 综上：杯中液体最深度为或． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点E，F分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝______；区域Ⅱ的面积＝______． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时，此时称E点为合格定位点．当区域乙的面积最小时，合格定位点E点为最佳定位点，求出最佳定位点E的坐标． 【答案】任务一：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：；任务二：或；任务三： 【分析】任务1：结合图形，根据正方形的面积性质和三角形面积公式即可求出答案． 任务2：由题意知，将区块划分两种区域的有两种情况，根据两种情况即可求出面积或者函数表达式． 任务3：由任务2可知即可求出值，从而求得最佳定位点的坐标． 【详解】解：任务 ， 区块Ⅰ的面积：． ，， ， 区块Ⅱ的面积：． 区块Ⅲ的面积：； 故答案为；． 任务2：①如图1若连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 不可能为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ∵区块Ⅲ的面积为： ． ②如图2，连接， ． 任务 ，且开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，乙的面积有最小值，即为； 当时，则有， ∴乙的面积最小值即为25.5． 最佳定位点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键在于利用数形结合的思想分析题意，列出函数关系式． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为40元. 问题解决 任务1 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式． 任务2 设计种植方案 （2）设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降20%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为2748元？ 【答案】任务1：；任务2：种植甲种蔬菜、乙种蔬菜使W最小，W的最小值为3550；任务3：a为10时，2027年的总种植成本为2748元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用、求函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握待定系数法求函数关系式和二次函数的最值是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求解即可； 任务2：将种植乙种蔬菜的面积用含x的代数式表示出来，根据“W=种植甲种蔬菜每平方米的成本×种植甲种蔬菜的面积+种植乙种蔬菜每平方米的成本×种植乙种蔬菜的面积”写出W关于x的表达式，再根据二次函数的图象特征及x的取值范围求出当x为何值时W值最小，最出最小值及的值即可； 任务3：按“任务二”中种植方案，分别计算2025年种植甲种蔬菜和乙种蔬菜的成本，根据题意列方程并求解即可． 【详解】解：任务1：设甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入得： ，解得：， 所以； 答：甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式为； 任务2：种植甲种蔬菜种植面积，则种植乙种蔬菜， 根据题意，， ∵， ∴当时，W的值最小，，． 答：种植甲种蔬菜、乙种蔬菜使W最小，W的最小值为3550． 任务3：按“任务二”中种植方案，2025年种植甲种蔬菜的成本为（元），种植乙种蔬菜的成本为（元）， 根据题意，得， 解得或（舍去），解得． 答：a为10时，2027年的总种植成本为2748元． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$