专题12 旋转期末复习（4大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题12 旋转期末复习 根据旋转的性质求角度 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，若，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是四边形的一条对角线，，，将绕点顺时针旋转到的位置（点是点的对应点）． (1)试说明：； (2)在所给图中画出，并求出的度数． 根据旋转的性质求线段长度 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，延长交的延长线于点E，则 ．    3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ．    4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若，，则________； (2)若．求的度数． 根据旋转的性质求面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在直角三角形中，，线段是由线段绕点A按逆时针旋转得到的，是由沿方向平移得到，且直线过点D．    (1)求的大小； (2)若，，，求扫过的面积． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 旋转作图综合题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)画出与关于原点成中心对称； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的，直接写出边在平移过程中扫过的面积______． 旋转规律问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，平面直角坐标系中，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 旋转中最值问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）综合与实践 二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究． 问题模型：等腰三角形，，， (1)探究：如图，点为等腰三角形底边上一个动点，连接，则的最小值为______，判断依据为______； (2)探究：在探究的结论下，继续探究，作的平分线交于点，点，分别为，上一个动点，求的最小值； (3)探究：在探究的结论下，继续探究，点为线段上一个动点，连接，将顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）问题提出： （1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______． 问题探究： （2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．    问题解决：（自行作图并解决） （3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 旋转期末复习 根据旋转的性质求角度 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得的度数． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，若，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得到，，则利用互余得到，然后计算 即可； 【详解】∵ 绕点逆时针旋转一定角度，得到 故选：D 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 4．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是四边形的一条对角线，，，将绕点顺时针旋转到的位置（点是点的对应点）． (1)试说明：； (2)在所给图中画出，并求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）由四边形的内角和等于可得结论； （2）根据旋转的性质说明为等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形的内角和等于，， ∴， 即； （2）解：如图所示， 由旋转可知：，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查旋转的性质，四边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质求线段长度 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质可得，可得，，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，延长交的延长线于点E，则 ．    【答案】/ 【分析】过点作于点，利用旋转的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出 和，即可解答． 【详解】解：根据旋转过程可知：，． ∴． ∴． ∴． 过点作于点， 在中，，． ∴ ． 在中，∵， ∴． ∴．    故答案为． 【点睛】此题考查旋转的性质、等腰三角形的性质以及含特殊角的直角三角形的性质，解题关键在于作出辅助线． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，    ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，． 在中，． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若，，则________； (2)若．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，根据旋转的性质即可得到； （2）由直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，则，，即可得到． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为： （2）在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质求面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在直角三角形中，，线段是由线段绕点A按逆时针旋转得到的，是由沿方向平移得到，且直线过点D．    (1)求的大小； (2)若，，，求扫过的面积． 【答案】(1)45° (2)124 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可得，由平移的性质可得，可求解； （2）扫过的面积即为梯形面积，求解即可． 【详解】（1）解：线段是由线段绕点A按逆时针旋转得到的， ， 是等腰直角三角形， 是由沿方向平移得到， ， （2）由平移的性质可得，，， ，， ， ， . 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，，，得为等边三角形，得出，证明，结合，能证明，得到，设，则，根据勾股定理即可得，解得x后，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： 连接，则，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）， ∴的面积是． 故答案为：． 旋转作图综合题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积； （3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小． 【详解】（1）解：如图所示；      （2）根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为3， ∴，， ∴； （3）； 理由：根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为m， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和． 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)画出与关于原点成中心对称； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的，直接写出边在平移过程中扫过的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，7 【分析】本题考查作图—旋转变换，作图—平移变换，中心对称变换，平移的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质、旋转的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，顺次连接即可得到； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到； （3）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到，边在平移过程中扫过的面积为两个平行四边形的面积，由此求解即可． 【详解】（1）解；如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）解：∵是的边上一点，经平移后点的对应点为， 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度得到， 如图，即为所求， 边在平移过程中扫过的面积为． 旋转规律问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，平面直角坐标系中，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，等腰三角形的性质，作轴于点H，根据等腰三角形三线合一的性质求出点的坐标，再结合旋转的性质找出变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点H， ，， ， 是等腰直角三角形且， ， 点的坐标为， 把绕点顺时针旋转得到，， 点C的坐标为，点的坐标为，即， 同理可得点D的坐标为，点的坐标为，即， 以此类推，当n为奇数时，点的坐标为，当n为偶数时，点的坐标为， 的坐标为，即． 故选B． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、图形与坐标等知识，由题意可知逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．过点作等腰直角三角形，则于点，则，根据点写出答案即可． 【详解】解：由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每8次旋转1周． 除以8余数为7， 逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同． 如图，过点作等腰直角三角形，则于点，， 则， ∴点， ∴点的坐标为． 即经过次旋转后，点的坐标为， 故选：D 旋转中最值问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）综合与实践 二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究． 问题模型：等腰三角形，，， (1)探究：如图，点为等腰三角形底边上一个动点，连接，则的最小值为______，判断依据为______； (2)探究：在探究的结论下，继续探究，作的平分线交于点，点，分别为，上一个动点，求的最小值； (3)探究：在探究的结论下，继续探究，点为线段上一个动点，连接，将顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)；点到直线的距离垂线段最短 (2) (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离垂线段最短，当时，有最小值，求出即可； （2）作点关于的对称点，则点在边上，连接，过点作，垂足为，由轴对称的性质可得，当和在同一条直线上，且时，有最小值，即为，求出的长即可； （3）延长至使得，连接并延长，交于点，证明，可得，因为始终为，所以可确定点在上运动，当时，有最小值，求出此时的值即可． 【详解】（1）解：如图，当时，有最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：；点到直线的距离垂线段最短． （2）解：如图，作点关于的对称点，则点在边上，连接，过点作，垂足为， ∵点、关于的对称， ∴， ∴， ∵当和在同一条直线上，且时，有最小值， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． （3）解：延长至使得，连接并延长，交于点， ∵顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，始终为， ∴点在上运动，当时，有最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了点到直线的最短距离、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析，； (3)的最小值为． 【分析】（1）由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求的长，由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可求解； （2）由旋转的性质知，点与点重合，，，则点在射线上，根据垂线段最短，当时，有最小值，据此可求解； （3）由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，于， ，平分， ， 又．， ，，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图， 由旋转的性质知，点与点重合，，， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， ∵点是边上的中点， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：取的中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）问题提出： （1）同一平面内的两条线段和，已知，，则线段最大值是______；最小值是______． 问题探究： （2）如图，四边形中，，，，且，问是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．    问题解决：（自行作图并解决） （3）在中，，，以为一边作正方形，连接，问是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5，1；（2）存在，6；（3）存在最大值，． 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理、线段的和差即可得； （2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得； （3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理可得，然后分点不在同一条直线上和点在同一条直线上两种情况，分别利用三角形的三边关系定理、线段和差求解即可得． 【详解】（1）由题意，分以下两种情况： ①当点不在同一条直线上时， 由三角形的三边关系定理得：， ，即； ②当点在同一直线上时， 点B在点的中间时，则， 点C在点的中间时，则， 综上，线段AC的取值范围为， 则线段最大值是5，最小值是1， 故答案为：5，1； （2）存在，求解过程如下： 如图，连接AC，将绕点C逆时针旋转，点A的对应点为点E，连接AE、BE、CE， ， 旋转后点D的对应点为点B， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ①当点不在同一条直线上时， ，即， ； ②当点在同一条直线上时， ， ， 综上，当点在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为6；    （3）如图，将绕点B逆时针旋转，点E的对应点为点F，连接EF、BF、CF， 四边形ABCD是正方形， ， 旋转后点A的对应点为点C， 由旋转的性质得：， 在中，， ①当点不在同一条直线上时， ， ，即； ②当点在同一条直线上时， ， 综上，当点在同一条直线上时，有最大值，最大值为．    【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用旋转的性质作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$