专题11 二次函数与几何（压轴）（2大经典基础题+5大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题11 二次函数与几何（压轴） 图形运动图像问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图像，求值．    【答案】的值为 【分析】根据图2可知时，点停止运动，可计算出的长，分类讨论，当时，当时分别计算出的面积，当到达点时，，由此即可求解． 【详解】解：根据图2可知，时，点停止运动， ∴， 根据题意得，， 当在上时，即， ∴，如图所示，过作于点，    ∵， ∴在中，， ∴； 当点在上时，即时，如图所示，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上所述，当点到达点时，， ∴当时，， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查函数与几何图形的变换的综合，掌握动点与几何图形的性质，函数图像的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点后停止过点作，垂足为点，设点的运动路程为，的面积为． (1)求出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图中画出（1）中函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于面积的时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小 (3)当或时，的面积等于面积的 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，结合图形分情况讨论，当时，利用三角函数用表示出和的长度，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系；当，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系． （2）结合第一问的结果，发现与的函数关系是分段函数，当时，是二次函数，当时，是一次函数，根据描点法即可画出图像，根据图像即可分析出函数图像的性质． （3）根据等量关系的面积等于面积的，列关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：，，， ． 当时， ，， ，． ， 当时，， 综上所述，． 故答案为：． （2）解：函数图象如图所示： 观察图形可知，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小． 故答案为：当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：，，， ． 的面积等于面积的， 或， 或， ， 或． 故答案为：当或时，的面积等于面积的． 【点睛】本题是一道函数和几何综合题，考查了函数的图像性质，函数的表达，三角函数，一元二次方程和一元一次方程的求解，解题的关键在于根据点运动轨迹求出与的函数关系． 图形运动求时间 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm  ， BC＝15 cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？ 【答案】（1）；（2）10cm；（3）2秒或3秒 【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解； （2）首先根据题意表示出线段CP与CQ的长，再由t=3，可求得线段CP与CQ的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点之间； （3）首先由在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，求得△ABC的面积，再由（1），可表示出Rt△CPQ的面积，即可得方程-4t2+20t=××15×20，继而求得答案； 【详解】解：（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t， 因此Rt△CPQ的面积为S=×(20−4t)×2t＝20t−4t2cm2； ∴S＝20t－4t2； （2）根据题意得：AP=4tcm，CP=AC-AP=（20-4t）cm，CQ=2tcm， 则当t=3秒时，CP=8cm，CQ=6cm， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴PQ==10（cm）， 即当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是10cm； （3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3． ∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC． 【点睛】本题考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键时用方程思想解决问题． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的性质，解一元二次方程等知识点， （1）根据路程＝速度×时间，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列函数关系式即可； （3）根据多边形面积，可以求出的面积，代入（2）的函数关系中求解t即可． 正确列出线段的代数式是本题解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：；； （2）解：， ∵P到B所用时间为：，Q到C所用时间为：， ∴， ∴S与t的函数关系式为：； （3）解：∵多边形的面积为， ∴的面积为：， 令，得 解得：，（舍去）， ∴． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 【答案】经过3秒，最小面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先设运动时间为秒时，四边形的面积为，可表示，进而得出，再根据得出二次函数，配方得出顶点式，讨论得出答案. 【详解】解：设运动时间为秒时，四边形的面积为， 根据题意可知， 则， ， ， ， 经过3秒四边形的面积最小，最小面积是． 二次函数与图形面积 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，交y轴于点D． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)连接，求面积的最大值． 【答案】(1)4； (2)； (3)2． 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形面积最值、等腰三角形的存在性问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）分三种情形①当时，②当时，③当时分别求解即可解决问题； （3）设，求出直线的表达式，进而求出点D 的坐标，利用得关于m的二次函数，根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：把代和，得， 所以k的值是4； （2）解：①当时，如图所示， 当时，， ， ， 在中，，即， ， ； ②当时，此时，如图所示：    点P在第四象限，不符合题意； ③当时，， 则，如图所示： 点P在第四象限，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，点D的坐标为； （3）解：设， ， 设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， ， 点D 的坐标为， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 面积的最大值为2． 二次函数与圆 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，为2 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． （1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式； （2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标； 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时； ∴，， 把，代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵点G的坐标为， ∴ ， ∴S关于n的函数关系式为； ∵， ∴当时，S有最大值，为2； （3）设， 则， ∴， ∵F为线段的中点， ∴， ∵以为半径的与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴G点的坐标为． 二次函数与相似三角形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，可知，由此可得，设，且，则，所以，当时，有最大值，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得   解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，    ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入表达式得，   解得 ∴直线的表达式为． 设，且，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为，此时点C的坐标为． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)存在，点E的坐标为， 【分析】（1）令，，解方程即可； （2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，令，， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，令，， ∴点C的坐标为； （2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线， ∴点D的坐标为； ∵，， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 如图，设交l于点G， ∵点E，F关于直线l对称， ∴， ∵， 则，， ∴． 分两种情况讨论： 当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n， 则，，， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，， ∴， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似， ∴点E的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二次函数与四边形 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意知点在的角平分线上，设与轴交于点，过作交于点，求出点坐标，直线与抛物线的交点即为所求； （3）设，由菱形的性质可知点与点关于直线对称，求出，再将点代入函数的解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得或，且点在正半轴上， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，设与轴交于点，过作于点， ∵点到距离相等， ∴点在的角平分线上，则， ∴，则， 在中，，即，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组，解得或， ∴． （3）解：存在点，使四边形为菱形，理由如下， ∵，，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图所示， 过点交于点，假设四边形为菱形，设， ∴，点与点关于直线对称，即点关于直线对称的点是，根据点关于直线对称点的坐标公式可知， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴，解得或， ∴（舍）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，勾股定理，菱形的性质，点与直线对称的性质是解题的关键． 二次函数与三点共线 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线y=ax2+c过点A（0，1），B (-1，)，直线BP与抛物线的另一个交点为P，交y轴正半轴于点 E，且△ABP面积为． （1）求此抛物线解析式； （2）求点P的坐标； （3）过点E的任意一条直线与抛物线交于M，N 两点，过点N作NC⊥x轴于点C，求证：M，A，C三点共线． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）见解析 【分析】（1）将点A（0，1），B (-1，)代入抛物线y=ax2+c中，求解即可； （2）设直线BP的解析式为，代入B (-1，)求得的关系，联立直线与抛物线，求得点坐标，再根据△ABP面积为，列方程求出即可求解； （3）设、，则，设过点E的直线为，联立直线与抛物线，根据韦达定理得到，M，A，C三点共线说明，求出、作差验证即可． 【详解】解：（1）将点A（0，1），B (-1，)代入抛物线y=ax2+c中，得 ，即抛物线方程为 （2）设直线BP的解析式为，代入B (-1，)得，即 直线BP的解析式为，则， 由题意得，即 联立直线BP与抛物线得： 化简得：，即 解得： 则点的横坐标为 令，，化简得，解得（舍）， ∴，解得（舍）或 直线BP的解析式为， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标 （3）当过点E的直线斜率不存在时，此时直线为轴，与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当过点E的直线斜率存在时，设直线为，设、，则 则 联立直线与抛物线得到，化简得 由韦达定理得： ， ∴，即M，A，C三点共线 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一元二次方程的求解，韦达定理等知识，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点（） （1）当时； ①求二次函数解析式； ②直线：（）过定点与抛物线交于、两点（在右侧），连接、，若，求直线的解析式； （2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线． 【答案】（1）①y=x24x；②y=6x22；（2）证明见详解． 【分析】（1）当m=2时，顶点为（2，4），A（4，0）；①设二次函数解析式为y=a（x2）24，将A（4，0）代入得a=1，即可得到解析式； ②设定点D（3，4），由直线l：y=kx+b（k＞0）过定点（3，4），得b=3k4，直线l为y=kx3k4，然后联立得方程x2+（4k）x+3k+4=0，结合根与系数的关系，以及三角形的面积，求出k的值，即可得到答案； （2）连接AH，AH，由抛物线顶点为P（m，2m），且与轴交于点A（2m，0），得抛物线解析式为y=，设H（t，），可得M（m，2t4m），N（m，2t），从而得直线AN解析式，然后判断 N，A，H三点共线即可． 【详解】解：（1）当m=2时，顶点为（2，4），A（4，0）， ①设二次函数解析式为y=a（x2）24， 将A（4，0）代入得：0=a（42）24， 解得a=1， ∴y=（x2）24=x24x； ②设定点D（3，4），如图： ∵直线l：y=kx+b（k＞0）过定点（3，4）， ∴4=3k+b， 解得：b=3k4， ∴直线l为y=kx3k4， 由 ，得：x2+（4k）x+3k+4=0， 则xB+xC=4+k，xB•xC=3k+4， ∵B在C右侧， ∴xBxC=， ∴yByC=（kxB3k4）（kxC3k4）=k（xBxC）=， 而P（2，4），D（3，4）， ∴PD∥x轴，PD=1， ∴S△PBC=S△PBD-S△PCD=PD•（yByC）=×1×， 又S△PBC=， ∴×1×=， 解得：k=2（舍去）或k=6， ∴直线l为y=6x22； （2）连接AH，AH，如图： ∵抛物线顶点为P（m，2m），且与轴交于点A（2m，0）， ∴抛物线解析式为y=（xm）22m=x24x， 设H（t，t24t），则直线OH解析式为y=（t4）x， 令x=m，则y=2t4m， ∴M（m，2t4m）， ∴MP=yMyP=2t2m， ∵点N，M关于点P对称， ∴NP=2t2m， ∴N（m，2t）， 设直线AN解析式为y=nx+r， 则， 解得：， ∴直线AN解析式为y=， 令x=t，则y=， ∴（t，）在直线AN上，即H在直线AN上， ∴N，A，H三点共线． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、韦达定理、三角形面积、三点共线等知识，解题的关键是含字母的代数式表示相关点的坐标和直线解析式． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数与几何（压轴） 图形运动图像问题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图像，求值．    2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点后停止过点作，垂足为点，设点的运动路程为，的面积为． (1)求出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在图中画出（1）中函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于面积的时，直接写出的值． 图形运动求时间 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm  ， BC＝15 cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？ 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，动点从点开始沿向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿以的速度移动（不与点重合）．如果分别从同时出发，求经过多少时间，四边形的面积最小，最小面积为多少？ 二次函数与图形面积 1．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，交y轴于点D． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)连接，求面积的最大值． 二次函数与圆 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 二次函数与相似三角形 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 二次函数与四边形 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数与三点共线 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线y=ax2+c过点A（0，1），B (-1，)，直线BP与抛物线的另一个交点为P，交y轴正半轴于点 E，且△ABP面积为． （1）求此抛物线解析式； （2）求点P的坐标； （3）过点E的任意一条直线与抛物线交于M，N 两点，过点N作NC⊥x轴于点C，求证：M，A，C三点共线． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点（） （1）当时； ①求二次函数解析式； ②直线：（）过定点与抛物线交于、两点（在右侧），连接、，若，求直线的解析式； （2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$