专题06 相似三角形（考点串讲，5大考点+大题型突破+4大技巧突破+3大易错剖析+6道期末预测题）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题06 相似三角形 苏科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 5大常考点：知识梳理 8大题型典例剖析+4大技巧 3大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 目录 考点一 相似图形 考点二 成比例的线段 考点三 平行弦分线段成比例 考点四 相似三角形的性质与判定 考点五 位似 考点一 相似图形 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） 2．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） D B 考点二 成比例线段 1．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）在比例尺为的地图上，A，B 两城市之间的距离为，则这两城市之间的 实际距离为（　　） A． B． C． D． D 2．已知，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． A 3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么 cm． 【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项， ∴， 又，， ∴． 故答案为：． 考点三 平行线分线段成比例 1．（2023上·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考期中）如图，，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 2．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在中，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． D B 考点四 相似三角形的性质与判定 1．（20-21九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【详解】解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE， ∵，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）； （2）△AOE∽△COD， 理由是：∵△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠COD， ∴△AOE∽△COD． 考点四 相似三角形的性质与判定 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． A 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．平分 D． B 4．（23-24九年级上·北京门头沟·期中）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ． 考点五 位似 1．（2022下·九年级单元测试）下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形；②位似图形对应线段的比等于相似比； ③位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； ④位似图形周长的比等于相似比的平方．其中正确命题的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ B 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 D 考点五 位似 3．（2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）． A． B． C． D． B 题型剖析 题型一：利用比例的性质求解 1．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）如果且，那么 ． 【详解】解：，设，则，，， ，，解得：， ，，， ，故答案为：2． 2. 已知，则的值等于 ． 【详解】解：∵，令，，（） ∴， 故答案为：． 题型剖析 题型二：黄金分割 1．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． A 2．（2023上·上海杨浦·九年级期末）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 【详解】点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为：． 题型剖析 题型三：利用平行线分线段成比例求解 1．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，解得：． 2．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直线，另两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，.已知，，，则等于（    ） A．10 B．11 C．8 D．4 【详解】解：， ，即， ，， 故选：A． 题型剖析 题型三：利用平行线分线段成比例求解 3．（2023上·广西·九年级校考期中）如图，已知，它们依次交直线、于点和点，交于点，交于点，若． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴． 题型剖析 题型四：添加条件使两个三角形相似 1．（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，添加下列一个条件，不能判断与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·广西百色·九年级统考期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ D ①②③ 题型剖析 题型五：确定相似三角形的对数 1．（2021上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵，∴； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴； 综上：图中相似三角形的对数为6； 故选D． 题型剖析 题型六：相似三角形性质与判定综合 1．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)如果的面积为10，则四边形的面积为______． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵的面积为10， ∴的面积为90， ∴． 题型剖析 题型六：相似三角形性质与判定综合 2（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知点D在边上，点E在外，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴ ∵，，， ∴ ∴． 题型剖析 题型七：位似图形的识别 1．（2023上·安徽亳州·九年级统考阶段练习）全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤．下图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换过程是（    ）  A．折叠 B．位似 C．对称 D．平移 B 2．（2022上·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 C 题型剖析 题型八：坐标系中做位似图形 1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出于轴的对称图形； (2)以原点为位似中心，在轴左边画一个，使它与的相似比为，并写出顶点的坐标． 技巧突破 技巧一：成比例线段的判断 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（ 即：），而不能写成。 技巧突破 技巧一：成比例线段的判断 1．（2023上·湖南衡阳·九年级衡阳市外国语学校校考期中）下列各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．． B．． C．． D．． 2．（2023上·陕西西安·九年级西安行知中学校考阶段练习）下列四组线段中，不成比例的是（    ） A． B． C． D． C B 技巧突破 技巧二：作平行线构造成比例线段 技巧突破 技巧二：作平行线构造成比例线段 1．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横格交于点B．若，则的长是（    ） A．9 B．12 C．14 D．15 【详解】解：如图所示，过点A作横线的垂线， 由题意得，， ∴， ∴，即， 故选D． 技巧突破 技巧二：作平行线构造成比例线段 2．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，已知为的边上的一点，为的延长线上的一点，且．求证：． 【详解】证明：如图， 过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴． 技巧突破 技巧二：作平行线构造成比例线段 3．（2022·上海虹口·统考二模）如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若， (1)求的长； (2)求的正切值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵， ，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点A作于点F，如图所示：   ∵是边上的中线， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 技巧突破 技巧三：利用三点定形法证明比例式或等积式 技巧突破 技巧三：利用三点定形法证明比例式或等积式 1．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 技巧突破 技巧三：利用三点定形法证明比例式或等积式 2．如图所示，在矩形中，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点G处，点C落在点H处，交于点K，连接交于点O，． (1)求证：； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 常见利用相似三角形解决实际问题的基本模型： 通过已知物体高度测量被测物体高度（深度） 测量河宽 小孔成像 求影长变化 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，问竹竿长为几丈几尺？ 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺， 影长五寸=0.5尺， ∴，解得x=45（尺）， 答：竹竿的长为四丈五尺． 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 2.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度． 【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM， ∴△ABC∽△QDN，． ∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米， QD==1.5 米 ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）． 答：木杆PQ的长度为2.3米． 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 3. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求该古城墙的高度. 【详解】 解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD. ∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP. ∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP. ∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米， ∴CD= =8（米）. 答：该古城墙的高度是8米 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 4. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴，∴AB＝17，即河宽为17米． 技巧突破 技巧四：相似三角形的实际应用 5 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( ) A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2 易混易错 类型一：忽视单位要统一 类型二：相似三角形的性质混淆 1．已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为 厘米． 2 2．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（    ） A． B． C． D． C 易混易错 类型三：画位似图形时漏掉 3．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）三个顶点的坐标分别为、、，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且位似比是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 C 押题预测 1．2024年巴黎奥运会，中国体育代表团以40金27银24铜位于金牌榜并列第一、奖牌榜第二，在比例尺为的地图上，无锡到巴黎的长度约为，则它的实际长度约为 ． 【详解】解：设无锡到巴黎的实际长度为， 由题意可得，， 解得， ． 故答案为：9150． 押题预测 2．“黄金分割”是最美分割比率．如图所示，蒙拉丽莎画像就完全符合黄金分割之美，若头部长，则右手腕底部到头顶的距离约为 cm．（精确到1cm）． 【详解】解：∵点B是线段的黄金分割点， ∴； ∴， ∴， 故答案为：． 押题预测 3．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 4．如图，中，，分别为边的点，，． (1)用圆规和没有刻度的直尺在线段上求作一点，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点作交于，，求的值． （2）连接，由（1）可得， ，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，又 ， ， ，， ， ， ， ， ． 押题预测 5．小明同学在学习过《对称图形---圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成． 问题背景：已知点是四边形中边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点. 问题1.如图，，； 问题2.如图，，； 问题3.如图，，． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 押题预测 6．为了归纳“相似三角形对应线段的比等于相似比”，我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，那么相似三角形的内切圆半径的比呢？已知：如图，，相似比为k，的内切圆与相切于点D，的内切圆与相切于点．求证． 【详解】证明：连接，，，． ∵的内切圆与相切于点D， ∴．同理． ∵，相似比为k， ∴，，， ∵为的内切圆， ∴平分，平分， 即，． 同理，． ∴，． ∴． ∵，为对应边上高，∴． $$