期末真题必刷计算80题（8个考点专练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

期末真题必刷计算80题（8个考点专练） 考点一 有理数的混合运算（共10小题） 1．（22-23七年级上·江苏南京·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握云端法则是解答本题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算乘方和括号，再算除法，后算加减． 【详解】（1）解：（1）原式 ； （2）解：原式 ． 2．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）把原式化为：，再计算即可； （2）先计算绝对值，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算括号里面的，然后计算乘除法，最后计算加减法． （2）先计算乘方，化简绝对值，然后计算乘除法，最后计算加减法． 【详解】（1）解： （2） 4．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则。正确的计算，是解题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据混合运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9； (2)3． 【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则和运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）计算∶ (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，乘法及绝对值，再算加减即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，乘法运算律；熟练掌握有理数的运算法则及运算顺序是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方并把除法转化为乘法，再算括号，后算加减． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后做加减，有括号的按括号指明的运算顺序进行计算． （1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二 整式的加减运算（共10小题） 11．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，熟记去括号，合并同类项是解本题的关键． （1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案； （2）通过去括号，合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）（1）化简：； （2）已知，．化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）直接运用整式的加减运算法则计算即可； （2）将、代入，然后再运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】解：（1） ； （2）将、代入可得： ． 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知． (1)计算； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减及化简求值； （1）把代入计算即可； （2）把代入（1）中的式子计算即可． 【详解】（1）解：把代入得 ； （2）解：当时， 原式． 14．（23-24七年级上·江苏常州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减混合运算， （1）先去括号，再合并同类项求解即可． （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） ． 17．（22-23七年级上·江苏常州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 18．（23-24七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算以及合并同类项的法则：合并同类项的法则：系数直接相加减，字母以及字母的指数不变： （1）根据合并同类项的法则进行作答即可； （2）先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据整式加减的运算法则计算即可． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，整式的加减计算： （1）合并同类项时，只对同类项的性质进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点三 整式加减的化简求值（含无关型问题）（共10小题） 21．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查整式的加减及化简求值． （1）合并同类项即可； （2）去括号合并同类项即可化简，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式 ． (1)先化简，再求值，其中 ，； (2)若多项式与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据去括号，合并同类项得到最简结果，把 ，代入计算即可求出值； （）化简的结果变形后，根据与字母的取值无关，确定出的值即可； 此题考查了整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当把，时， 原式 ； （2）解：由（）得化简后为， ∵多项式与字母的取值无关， ∴， ∴． 23．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了整式的加减混合运算以及代数求值，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 24．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算；根据整式的加减运算法则化简代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)先化简，再求值：当时，求的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)；19 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值； （1）把，代入进行化简，最后把代入化简后的式子进行计算即可； （2）根据的值与的取值无关和（1）中所求，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解：由（1）可知： ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 26．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先去括号，再合并同类项化简整式，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 27．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后代数求解即可． 【详解】 ∵， ∴原式． 28．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，将原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值即可．熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 29．（2024·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的混合运算法则．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： 原式 当，时， 原式 30．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 考点四 一元一次方程的解法（共10小题） 31．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 32．（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 34．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 35．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 移项合并得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：． 36．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可得解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可得解． 【详解】（1）解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 38．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程， （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 39．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项合并，化系数为1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 化系数为1，得． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 化系数为1得： （2） 去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： 化系数为1得： 考点五 一元一次方程解法拓展（共10小题） 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 43．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由解得； 由解得：． 方程与方程是“美好方程”． （2）解：由解得； 由解得． 方程与方程是“美好方程” ， 解得． 44．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）同学们已经会解一元一次方程，现在来研究一类特殊的方程．我们规定，如果关于的一元一次方程的解恰好为，则把该方程称为“逆差方程”．例如：的解是，且，所以方程是逆差方程． (1)判断方程是否是逆差方程； (2)已知是逆差方程，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是逆差方程，求满足的关系； (4)直接写出一个关于的一元一次逆差方程（本题中已出现的逆差方程除外）． 【答案】(1)不是逆差方程 (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是新定义型题目，熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“逆差方程”的定义解答即可； （2）利用“逆差方程”的定义列出关于b的方程，解方程即可求解； （3）利用“逆差方程”的定义和方程解的意义列出关于m，n的方程，解方程即可求解． （4）利用“逆差方程”的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 不是“逆差方程”； （2）解：， ， 是逆差方程， ， ， 解得：， 的值为：； （3）解：， ， ， 关于的一元一次方程是逆差方程， ， ， ， ； （4）解：， ， ， 逆差方程：（答案不唯一）． 45．（23-24七年级下·四川内江·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 46．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为10，我们就称这两个方程为“美满方程”．例如：方程和为“美满方程”． (1)若关于的方程与方程是“美满方程”，则__________； (2)已知一对“美满方程”的两个解的差为，若其中一个解为，求的值； (3)已知无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程都是“美满方程”，求的值． 【答案】(1)12 (2)6，4 (3)1 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“美满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“美满方程”的定义，即可； （2）根据“美满方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“美满方程”的定义得出另一个方程的解，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵关于的方程与方程是“美满方程”， ∴， ∴． （2）∵“美满方程”的两个解的和为10，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∵一对“美满方程”的两个解的差为， ∴，或， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴． 47．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 48．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于的方程求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴方程的解为， 代入可得： 解得：， ∴． 49．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）（1）若关于x的方程的解为，求m的值； （2）若关于x的方程和的解的和为12，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了同解方程，以及一元一次方程的解法． （1）将代入，即可求出m的值； （2）先将方程求解，得到，再将方程求解，得到，根据两个方程的解的和为12，建立关于m的一元一次方程，求解m的值即可． 【详解】解：（1）当时，， 解得：； （2）由， 解得：， 由， 解得：， ∴， 解得：． 50．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． (1)按照上述途径，填写下面的空格． (2)已知关于的方程的解是或（、、均为常数），求关于的方程（、为常数，）的解（用含、的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)，详见解析 【分析】（1）①把看作①的x,即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解； （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）根据图1可得：①；②． 故答案为：， （2）由题意得：或， 解得：． 【点睛】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． 考点六 一元一次方程的新定义运算（共10小题） 51．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“好姊妹数对”，如：数对，，都是“好姊妹数对”． (1)数对，是“好姊妹数对”吗？ (2)若是“好姊妹数对”，求的值； (3)若是“好姊妹数对”，那么是“好姊妹数对”吗？ 【答案】(1)数对不是“好姊妹数对”，数对是“好姊妹数对” (2) (3)是“好姊妹数对” 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则运算，解一元一次方程： （1）根据新定义进行验证即可； （2）根据新定义得到，解方程即可得到答案； （3）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴数对不是“好姊妹数对”； ∵， ∴数对是“好姊妹数对”； （2）解：∵是“好姊妹数对”， ∴， 解得； （3）解：∵是“好姊妹数对”， ∴， ∴， ∴是“好姊妹数对”． 52．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如． (1)已知：，，求k、b的值； (2)在（1）的条件下，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，正确理解新定义列得方程或方程组是解题的关键： （1）根据新定义列得，，直接求解即可； （2）根据新定义列得，解方程即可． 【详解】（1）解：由得： 由得：． 解方程组 解得：； （2）又，， 解得． 53．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 54．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解步骤，进行正确的计算是解题关键. （1）分别求解方程，再进行判断即可； （2）由题意得另一个方程的解为：，推出或，即可求解； 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“美好方程”．. （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或． 55．（23-24七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义逐个判断即可； （2）先根据等式的性质求出方程的解，再根据“友好方程”的定义得出，再求出即可； （3）先把代入方程，求出，求出，依题意得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ①为“友好方程”； ②， ， ， ②不是“友好方程”； ③， ， ， ③不是“友好方程”． 故答案为：①； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“友好方程”， ， ， ， ， ； （3）解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 依题意得：，， ， ， ． 56．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”； 理由如下： 解方程得， 解方程得， ， 方程与方程互为“美好方程”； （2）解：关于的方程的解为：， 方程的解为：， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ． 57．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 58．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值． 【答案】(1)是“和谐方程”，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求解方程、即可判断； （2）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解； （3）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得． ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． （3）解：由，解得； 由，解得； ∵关于x方程与是“和谐方程”， ∴， 解得． 59．（23-24七年级上·江苏南京·期末）我们定义：如果两个一元一次方程的解相加之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”．如：方程和为“和一方程”． (1)已知关于x的方程的解是最小的正整数，这个方程和以下的__________是“和一方程”（填序号） ①    ②    ③ (2)若关于x的方程与方程是“和一方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元一次方程的求解方法 （1）根据“和一方程”的定义进行判断即可； （2）求出这两个方程的解，再根据“和一方程”的定义列出关于m的方程求解即可； （3）根据“和一方程”的定义求出k的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解是最小的正整数，即为1； 则它的“和一方程”的解为0； 而方程①的解为，故①不符合题意； 方程②的解为，故②不符合题意； 方程③的解为，故③符合题意 故答案为：③； （2）解：方程得， 由题意可得是关于的方程的解， 所以， 所以； （3）解：解方程得， 由题意可得是关于的方程的解， 因为关于的一元一次方程， 可变形为， 所以， 所以， 60．（23-24七年级上·江苏常州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“美好方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的一元一次方程的解为，令，则原方程等价为，据此可得答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 令，则原方程等价为， ∴关于的一元一次方程的解为． 考点七 一元一次方程的整数解（共10小题） 61．（2024七年级上·江苏无锡·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 62．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 63．（2024七年级·江苏无锡·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 64．（2023七年级上·江苏无锡·期末）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 65．（2023七年级上·江苏无锡·期末）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 66．（22-23七年级下·河南南阳·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 67．（22-23七年级上·陕西西安·期末）已知m，n是有理数，单项式的次数为3，而且方程是关于x的一元一次方程． (1)分别求m，n的值以及t的取值范围； (2)若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式的次数为3，可得，再由一元一次方程的定义，可得，即可； （2）把m，n的值代入，再解出方程，然后根据关于x的一元一次方程的解是整数，t为整数，可得4是的整数倍，即可求解． 【详解】（1）解：∵单项式的次数为3， ∴，即， ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴原方程为， 解得：， ∵关于x的一元一次方程的解是整数，t为整数， ∴是整数， ∴4是的整数倍， ∴取， ∴t等于． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，熟练学握含有一个未知数，且未知数的次数1的整式方程是一元一次方程是关键，并注意方程有整数解的条件． 68．（2022九年级·江苏无锡·期末）若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】或或或 【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为整数求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程的解为整数， ∴为整数， ∴或或或， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 69．（19-20七年级下·四川宜宾·期中）若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】或或或 【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： ∵关于的方程的解为正整数 ∴为正整数 ∴或或或 ∴或或或． 【点睛】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 70．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 考点八 角度计算（共10小题） 71．（2024七年级上·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（23-24七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，． （1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 73．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 74．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 75．（2024七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度、分、秒的计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可； （2）将变为，然后再减去即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 76．（2024七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒之间的计算． （1）按照度分秒之间的计算法则进行计算即可； （2）先计括号内的加法，再计算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 77．（2024七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解此题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算即可求解出． （2）根据度分秒的进制进行计算即可求解出． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 78．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据同单位的相加，满60时向上一单位进1，可得答案； （2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借1转为60，可得答案； （3）根据满60时向上一单位进1，可得答案； （4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 79．（2024七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （2）根据角度的减法运算法则进行计算即可； （3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可； （4）根据角度的除法运算法则进行计算即可； （5）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 80．（2024七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷计算80题（8个考点专练） 考点一 有理数的混合运算（共10小题） 1．（22-23七年级上·江苏南京·期末）计算 (1)； (2)． 2．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 4．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 7．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）计算∶ (1) ； (2)． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算 (1)； (2)． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 考点二 整式的加减运算（共10小题） 11．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 12．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）（1）化简：； （2）已知，．化简：． 13．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知． (1)计算； (2)当时，求（1）中的值． 14．（23-24七年级上·江苏常州·期末）化简： (1) (2) 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 16．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 17．（22-23七年级上·江苏常州·期末）化简： (1)； (2)． 18．（23-24七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2) 19．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 考点三 整式加减的化简求值（含无关型问题）（共10小题） 21．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式 ． (1)先化简，再求值，其中 ，； (2)若多项式与字母的取值无关，求的值． 23．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 24．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知代数式，． (1)先化简，再求值：当时，求的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 26．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 27．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）先化简，再求值． ，其中，． 28．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值．，其中，． 29．（2024·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中，． 30．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 考点四 一元一次方程的解法（共10小题） 31．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 32．（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 34．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2) ． 35．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1)； (2)． 36．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 37．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 38．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 39．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 40．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）解方程： (1)； (2)． 考点五 一元一次方程解法拓展（共10小题） 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 42．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 43．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 44．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）同学们已经会解一元一次方程，现在来研究一类特殊的方程．我们规定，如果关于的一元一次方程的解恰好为，则把该方程称为“逆差方程”．例如：的解是，且，所以方程是逆差方程． (1)判断方程是否是逆差方程； (2)已知是逆差方程，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是逆差方程，求满足的关系； (4)直接写出一个关于的一元一次逆差方程（本题中已出现的逆差方程除外）． 45．（23-24七年级下·四川内江·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 46．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为10，我们就称这两个方程为“美满方程”．例如：方程和为“美满方程”． (1)若关于的方程与方程是“美满方程”，则__________； (2)已知一对“美满方程”的两个解的差为，若其中一个解为，求的值； (3)已知无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程都是“美满方程”，求的值． 47．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 48．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 49．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）（1）若关于x的方程的解为，求m的值； （2）若关于x的方程和的解的和为12，求m的值． 50．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． (1)按照上述途径，填写下面的空格． (2)已知关于的方程的解是或（、、均为常数），求关于的方程（、为常数，）的解（用含、的代数式表示）． 考点六 一元一次方程的新定义运算（共10小题） 51．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“好姊妹数对”，如：数对，，都是“好姊妹数对”． (1)数对，是“好姊妹数对”吗？ (2)若是“好姊妹数对”，求的值； (3)若是“好姊妹数对”，那么是“好姊妹数对”吗？ 52．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如． (1)已知：，，求k、b的值； (2)在（1）的条件下，若，求m的值． 53．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 54．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 55．（23-24七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 56．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 57．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 58．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值． 59．（23-24七年级上·江苏南京·期末）我们定义：如果两个一元一次方程的解相加之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”．如：方程和为“和一方程”． (1)已知关于x的方程的解是最小的正整数，这个方程和以下的__________是“和一方程”（填序号） ①    ②    ③ (2)若关于x的方程与方程是“和一方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 60．（23-24七年级上·江苏常州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 考点七 一元一次方程的整数解（共10小题） 61．（2024七年级上·江苏无锡·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 62．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 63．（2024七年级·江苏无锡·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 64．（2023七年级上·江苏无锡·期末）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 65．（2023七年级上·江苏无锡·期末）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 66．（22-23七年级下·河南南阳·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 67．（22-23七年级上·陕西西安·期末）已知m，n是有理数，单项式的次数为3，而且方程是关于x的一元一次方程． (1)分别求m，n的值以及t的取值范围； (2)若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值． 68．（2022九年级·江苏无锡·期末）若关于的方程的解为整数，求整数的值． 69．（19-20七年级下·四川宜宾·期中）若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 70．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 考点八 角度计算（共10小题） 71．（2024七年级上·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 72．（23-24七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 73．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 74．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) 75．（2024七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 76．（2024七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 77．（2024七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 78．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 79．（2024七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 80．（2024七年级上·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$