特训09 期末解答题压轴题（最新上海期末精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训09 期末解答题压轴题（最新上海期末精选） 一、解答题 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【答案】(1)； (2)，3； 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可． 【解析】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．    【答案】（1）证明见解析；（2）y=（0＜x＜3）；（3）不变，30°． 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式； （3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点， ∴CM=BD． 同理ME=BD， ∴CM=ME． （2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=， ∴AB=2BC=2． 由勾股定理得AC=3， ∵AD=x，∴CD=3-x， 在Rt△BCD中，∠BCD=90°， ∴BD2=BC2+CD2， ∴BD=， ∵CM=BD，CM=y， ∴y=（0＜x＜3）， （3）不变． ∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB． ∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC， ∵M是Rt△BED斜边BD的中点， 同理可得：∠EMD=2∠MBE， ∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC， 即∠CME=2∠ABC=120°， ∵MC=ME， ∴∠MCE=∠MEC=30°． 【点睛】考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知在中，，，点D、E在线段上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若点P是内任意一点，，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，所以，再证明，则，可证得． 【解析】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， 由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 4．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D． (1)求∠B的度数； (2)联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长； (3)设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)30° (2) (3)y＝（0＜x＜6） 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）求出，由直角三角形的性质得出．由勾股定理可得出答案； （3）过点作于点，证明为等边三角形，由勾定理得出，则可得出答案． 【解析】（1）解：，，， ，， ， ， ， ； （2）解：点关于直线的对称点为点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． ； （3）解：过点作于点， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 关于的函数解析式为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，当在边上时，求证：； (3)如图，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由，，得，再根据全等，等边三角形性质求得长度； （）先由点作、垂线，再证，再证，再结合有一个角为的直角三角形的特点，从而得出； （）先由点作的垂线，再用图中线段表示出和，然后求出和之间的关系； 本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【解析】（1）解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于，作于，如图， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴ ∴， ∴； （3）解：过点作于，如图， 同（）的方法可得：，，， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴关于的函数关系式． 6．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），连接作，射线交射线于.设，． (1)求证：； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)当时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，定义域为 (3)或 【分析】（1）作辅助线，构造出全等三角形，即可得到结果； （2）作出三角形面积的高，证明两个三角形全等，找到三角形的底和高，根据面积公式得到关系式以及定义域； （3）根据点E在线段上，点E在直线上，分两种情况求得的值． 【解析】（1）证明：作平分交于点，如图所示： 得， 即， 又， ， ， 得（两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， ， 即， 在和中， （ASA）， ； （2）解：作，垂足为点，如图所示： 由题意可得，，，， 由，可得，， ， ， ， 又， ， 得， ，， ， 在和中， ， （AAS）， （全等三角形对应边相等）， ， ， 即， 定义域为； （3）解：①当点在线段上时，过点D作的垂线，交于一点N，如图所示： ∵， 则是的角平分线， 故， 则， 解得：， 将的值代入，可得； ②当点E在直线上时，过点E作的垂线，交的延长线于一点G，作平分交于点，如图所示： ∵，， ∴， 由（1）同理证得， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴（AAS）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 即， 根据，解得：， 将代入， 得：， ∴的值是或者． 【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰直角三角形的性质、面积的计算、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练运用知识点是解题的关键． 7．（21-22八年级上·上海松江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF． (1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB； (2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当BE=BF时，求线段CD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明 再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解 再求解 即可得到结论； （2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案； （3）先画出符合题意的图形，再证明 设 则 由 再列方程解方程即可. 【解析】（1）解： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1， 是的垂直平分线， 是等边三角形， 而 （2）解：如图，当过点，是的垂直平分线， 则 如图，当过点 则 所以分别在AB、BC上时，则 如图，过作于 同理： 整理得： （3）解：当 同理可得： 设 则 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键. 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质： （1）如图所示，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的额一半可得，则由三线合一定理可得； （2）如图所示，在上取一点G使得，连接，证明，得到，求出，则，进而得到； （3）同（2）求出，则． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点M是的中点， ∴， ∴， 又∵N为的中点， ∴； （2）解；如图所示，在上取一点G使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点G使得，连接， 同理可证明， ∵，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴ ． 9．（23-24八年级上·上海·期末）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P． （1）求证：MP=NP； （2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长． 【答案】（1）见解析 （2）y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4 （3） 【分析】（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可； （2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程即可； （3）求出BP=BN，所得方程的解即可． 【解析】（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D， ∵MD∥BC， ∴∠MDP=∠NBP， ∵AC=BC，∠C=90°， ∴∠A=∠ABC=45°， ∵MD∥BC， ∴∠ADM=∠ABC=45°， ∴∠ADM=∠A， ∴AM=DM． ∵AM=BN， ∴BN=DM， 在△MDP和△NBP中 ， ∴△MDP≌△NBP， ∴MP=NP． （2）解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=BC=4， ∴． ∵MD∥BC， ∴∠AMD=∠C=90°． 在Rt△ADM中，AM=DM=x， ∴． ∵△MDP≌△NBP， ∴DP=BP=y， ∵AD+DP+PB=AB， ∴， ∴所求的函数解析式为， 定义域为0＜x＜4． 答：y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4． （3）解：∵△MDP≌△NBP， ∴BN=MD=x． ∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°， ∴∠PBN=135°． ∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y． ∴， 解得， ∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为． 答：AM的长为． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键． 10．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由得，则，求出x的范围即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积的面积； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点G在的延长线上， ∴点G不与点C重合， ， ∵点E是边上的一个动点，， ， ， 即y关于x的解析式为； （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，x的值为或4． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得然后由得 则求出的范围即可； （3）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【解析】（1）解： 的面积的面积． （2）解： ∵点在的延长线上， ∴点不与点重合， ∵点是边上的一个动点，， 即关于的解析式为． （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示：    则 由（2）得： 解得： ②当时， 如图4所示：    是等边三角形， 解得： 综上所述，若为直角三角形，的值为或． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，自变量x的取值范围： ； (3)或． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，由D是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到方程，即可得到结论 （3）①当时，，列方程得到；②当时，连接，过点，垂足为点H，可得，根据勾股定理得方程，求得，于是求得． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点， （2）∴， 在和F中， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，自变量x的取值范围：； （3）解：①当时，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，连接，过点D作，垂足为点H， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴ ，即， 综上所述，的长度是或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①证明：直角△ABC中，利用特殊角和斜边的中线是斜边的一半，可得AF=BF=AC，再结合等边△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根据△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，结合F是AB中点，即有EF是AB的中垂线，进而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，则有； （2）分两种情况讨论，即当点在线段BC上和点在CB的延长线上两种情况，分别求出AD，即可得等边△ADE的面积． 【解析】（1）解：证明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10， ∴∠ABC=30， ∴AC=AB=5， ∵F是AB的中点， ∴AF=BF=AB， ∴AF=BF=AC， ∵等边△ADE， ∴AE=AD，∠EAD=60， ∴∠EAD=∠CAB =60， ∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD， 即∠DAC=∠EAF， 在△ADC与△EAF中，， ∴△ADC≌△EAF(SAS)； ②∵△ADC≌△EAF， ∴∠EFA=∠C=90， 又F是AB中点， ∴EF是AB的中垂线， ∴AE=EB， ∴AD=AE=EB， 在Rt△ACD中，∠C=90， ∴， ∴， ∴； （2）解：或， 分情况讨论： 第一种情况：当点在线段BC上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形， 则=50，则AD=， 如图，过A点作AG⊥DE于G点， 在等边△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=， 则利用勾股定理可得：， 则等边△ADE的面积为：， 第二种情况：当点在线段CB的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°， ∴BD=BA=10， ∴在Rt△ACD中，利用勾股定理可得：， 则同理可求得等边△ADE的面积为：， 综上所述：或， 【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确找到全等三角形以及熟练掌握勾股定理． 14．（23-24八年级上·上海·期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）在中，利用斜边中线的性质可得，可求得，再利用含30度角的直角三角形的性质可证； （2）过B作于H，在中由勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质可求，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，，当时，，利用勾股定理即可求出． 【解析】（1）解：在中，，，，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D与P重合， ∴； （2）解：过B作于H， ∵，，， ∴， 在中由勾股定理， 又因为， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， 在中，， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， 当时，， 在中由勾股定理得：， 即， 即， 综上，． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在中利用勾股定理构造等式求出函数关系． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接．    (1)求的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，； (3)或或． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再由即可得出答案； （2）过点A作，垂足为点D．利用这一关系式求出y关于x的函数解析式，并根据及P是射线上一点（不与点B重合）写出函数的定义域； （3）分当点P在线段上时和当点P在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【解析】（1）解：在中， ， ， 又 ， ， ． （2）解：过点A作，垂足为点D．    在中， ，， 同理，． 在中，，， ， ， ， 所求的函数解析式为 函数的定义域为． （3）解：当点P在线段上时， ， ， 解得， ， 的长为或． 当点P在线段的延长线上时，如图，过点A作于点M， 同（2）可得，，，，， ， ∴， 解得（负值舍去）， 综上可知，如果，的长为或或． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了勾股定理的逆定理、列函数表达式及用一元二次方程解决问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式的运用． 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【解析】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将沿着直线翻折，得到． (1)设，，求与的函数关系式； (2)如果线段与射线有交点，设交点为． ①直接写出的取值范围 ； ②若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）过点作于，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解； （2）①当与的交点为时，求出的值，即可求解；②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解析】（1）解：（1）如图，过点作于， ，， ， ， ； （2）①如图：当点落在上时， 将沿着直线翻折， ，，， ， ， ，， 当时，线段与射线有交点， 故答案为：； ②当时，， ， ； 当时，， ， 当时，不合题意舍去， 综上所述：的度数为或． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长； （）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围； （）由动点在射线上运动得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点为的中线， ∴； （2）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点在线段上运动， ∴， ∴的取值范围为， 故； （3）解：动点在射线上运动时，， ∴， ∴， 由整理得，， 即， 解得． 19．（18-19八年级·上海普陀·期末）如图，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果BE=2，请直接写出△ACP的面积． 【答案】（1）∠B=30°．（2）y=，（0＜x＜4）；（3）9． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC=BC即可得出答案； （2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD=AB=3，EF=BE=x，根据勾股定理知BF= x，继而由S△ACP=CP•AD可得答案． （3）点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，代入（2）中所得解析式计算即可得；当点P在射线CB上时，作AM⊥BC，根据已知条件得出EF=BE=1，PF=BF=，AM=AB=3，利用三角形的面积公式计算可得． 【解析】解：（1）在△ABC中， ∵AC=2，BC=4AB=6， ∴AC2+AB2=48，BC2=48， ∴AC2+AB2=BC2． ∴∠BAC=90°． 又∵AC=2，BC=4， ∴AC=BC， ∴∠B=30°． （2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，∠B=30°， ∴AD=AB=3， 同理，EF=BE=x． 在Rt△EFB中，EF2+FB2=EB2，即（x）2+BF2=x2， ∴BF=x， 又∵BP=2BF， ∴BP=x． ∴CP=CB﹣PB=4﹣x， ∵S△ACP=CP•AD， ∴y=（4﹣x）×3=6﹣x，（0＜x＜4）； （3）当点P在线段BC上时，由BE=2知x=2， 由（2）知此时△ACP的面积为6﹣×2=3； 当点P在射线CB上时，如图，过点A作AM⊥BC于点M， ∵BE=2，∠EBF=∠ABC=30°， ∴EF=BE=1， 则PF=BF=， ∵AB=6， ∴AM=AB=3， 则△ACP的面积为×PC×AM=×（4++）×3=9． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【解析】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 21．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．    (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可； （2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出； （3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ，， 所以点的坐标为， 点在反比例函数上，代入，得到， 故反比例函数解析式为； （2）如图， ，， 时，， ， 即，，， ， ； （3）如图，   ， 设所求点坐标为， ，， ， ， ， 当时， ， 即，， 解得，， 故； 当时， ， 即，， 解得，， 故， 综上所述；存在点，坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键． 22．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． 【答案】(1)y=-x (2)①，理由见解析；②，当面积取到最大值时，的长为 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明（），可得，，设，即则，利用待定系数法即可求解． （2）①过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论． ②过点作于点，过点作于点，证明（），，利用三角形的面积公式可得，由可得当为的边上的高（）时，最大，即可得的长 【解析】（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据   轴，轴， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，直线解析式为， 设，即，， ，， 点在第四象限，，， 设直线解析式为， 将代入得，解得， 故直线解析式为； （2）①，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，   点、的纵坐标相等， 轴，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当为的边上的高时，最大， 当面积取到最大值时，的长为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 期末解答题压轴题（最新上海期末精选） 一、解答题 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．    3．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知在中，，，点D、E在线段上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若点P是内任意一点，，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明． 4．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D． (1)求∠B的度数； (2)联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长； (3)设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，当在边上时，求证：； (3)如图，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 6．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），连接作，射线交射线于.设，． (1)求证：； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)当时，请直接写出的值． 7．（21-22八年级上·上海松江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF． (1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB； (2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当BE=BF时，求线段CD的长． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 9．（23-24八年级上·上海·期末）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P． （1）求证：MP=NP； （2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长． 10．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 11．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 13．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 14．（23-24八年级上·上海·期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接．    (1)求的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，请直接写出的长． 16．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将沿着直线翻折，得到． (1)设，，求与的函数关系式； (2)如果线段与射线有交点，设交点为． ①直接写出的取值范围 ； ②若是等腰三角形，求的度数． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 19．（18-19八年级·上海普陀·期末）如图，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果BE=2，请直接写出△ACP的面积． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  21．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．    (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$