特训11 期末填空压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训11 期末填空压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中） 目录： 题型1：一元二次方程（含新定义题） 题型2：正比例函数和反比例函数 题型3：几何证明—传统求解题；分类讨论题 题型4：几何证明—新定义题 题型5：几何证明—翻折问题 题型6：几何证明—旋转问题 题型1：一元二次方程（含新定义题） 1．（23-24八年级上·上海青浦·期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】、是方程的两实数根，根据，，即可求出答案． 【解析】解：、是方程的两实数根，根据，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握，是一元二次方程的两根时，，． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）定义“独特数”U，对于任意一个三位数n，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为n的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知（，且x为整数），若，则 ． 【答案】835 【分析】本题考查解一元二次方程、整式的加减，根据“独特数”的定义，得到，进而列方程求解即可．理解题中定义，正确列出方程式是解答的关键． 【解析】解：根据“独特数”的定义，又（，且x为整数）， ∴ ， ∵， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：835． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 【答案】或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【解析】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或30 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义运算，理解新定义是解题的关键，注意分类讨论． 用因式分解法求出一元二次方程的解，再分类讨论即可求解． 【解析】解： ∴或 ∴或， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或30． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【解析】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【解析】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 7．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 题型2：正比例函数和反比例函数 8．（24-25八年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知点，，，若反比例函数在第一象限内的图像与三角形有交点，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为、与线段有交点，由此求解即可． 【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为． ∵过点的反比例函数解析式为， ； 随着值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意， 经过，的直线解析式为， 由， 得：． 根据， 得：． 综上可知：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）平面直角坐标系中，点A坐标为，点B与点A关于原点对称，将点B沿轴向右平移个单位后恰好落在反比例函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特点，关于原点对称点的特征，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加．先求出，则平移后，再将其代入，解方程即可． 【解析】解：由题意得， 则点B沿轴向右平移个单位后为， ∵平移后的点落在反比例函数的图像上， ∴将代入得：， 解得：， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的判定和性质；当旋转方式为顺时针旋转时，过点A作轴于点D，过点B作于点E，得出，则，通过证明，得出，把代入得，求解即可；当旋转方式为逆时针旋转时，过点A作轴于点D，过点B作交于点E，得出，则，通过证明，得出，把代入得，求解即可． 【解析】解：如图所示，当将线段绕点A顺时针旋转得到时，过点A作轴于点D，过点B作于点E， ∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：或（舍去）， 如图所示，当将线段绕点A逆时针旋转得到时，过点A作轴于点D，过点B作交延长线于点E， ∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：或（舍去）， 综上所述，或． 故答案为：或． 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点求得反比例函数，再设点B的坐标为，则有，过点作则有，结合三角形面积公式即可求得答案． 【解析】解∵函数的图像经过， ∴， ∴该函数得为：， ∵点在反比例函数上， ∴设点的坐标为， ∵轴于点，则， 过点作于点，如下图所示： ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，解得：， 由，解得：， 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】1≤k≤4 【解析】如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且△ABC为等腰直角三角形， BC的中点坐标为 )， 即为(2,2)， ∵点(2,2)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有唯一交点时，1⩽k⩽4. 故答案为1⩽k⩽4. 13．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键． 【解析】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，， ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ∴点的横坐标为 故答案为： 题型3：几何证明—传统求解题；分类讨论题 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】首先用证，由全等三角形的性质可得，可证，由含直角三角形的性质可得，过点A作于F，结合已知条件利用直角三角形的性质和勾股定理得出，，然后根据三角形的面积相等求出，进而求出． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，过点A作于F，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及含的直角三角形，解题的关键是利用等边三角形的性质，作出辅助线，灵活运用这些性质解决问题. 15．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可． 【解析】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为；或或． 16．（20-21八年级上·上海普陀·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 【答案】12或 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【解析】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形， 则， 又是等腰直角三角形， 属于， 所以； ②当时，如图， 设，则，， 由折叠可知，， 由题意可知，， ， ， 即是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：12或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一是，由等边三角形的性质得，得到，则，由勾股定理求出，由翻折得，，则，，再根据线段的和差求出，最后由即可求解；二是，则，从而求出，根据勾股定理得，进而求出，则据线段的和差求出，最后根据即可求解． 【解析】解：如图1，是直角三角形，且， 是等边三角形，， ， ， ， ， 由翻折得，， ，， ，， ； 如图2，是直角三角形，且，则， ， ， ，    ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查折叠的性质，由于点为边的三等分点，所以分点为靠近点和点的三等分点两种情况讨论求解即可． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ①点为边的三等分点，且点靠近点时，如图①， ∴， 由折叠的性质得，， ∴的周长 ②点为边的三等分点，且点靠近点时，如图②， ∴ 由折叠的性质得，， ∴的周长 综上，的周长为或． 故答案为：或． 题型4：几何证明—新定义题 19．（23-24八年级上·上海·期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于 ． 【答案】9或/或9 【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题． 【解析】解：如图，若∠A＝90°， ∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴AC＝AB＝BC＝3， ∴＝9； 如图，若∠A≠90°， ∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC， 由勾股定理得：， 即， ∴AC＝（负值舍去）， ∴ ＝， 故答案为：9或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 20．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【解析】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（2023·上海虹口·一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可． 【解析】解：当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ， 将绕点顺时针旋转得到， ； 当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ，， 将绕点顺时针旋转得到，，， ， 在中，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键． 题型5：几何证明—翻折问题 22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意，证明四边形是平行四边形，作于，设，利用勾股定理即可求解； 【解析】解：如图所示，作于，连接； 由翻折可知，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， 在中，则有， 解得：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为： 23．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 . 【答案】2 【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3， 当点Q与D重合时（如图）， 由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1． 则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2． 24．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    【答案】 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由翻折得，由，得，，可证明四边形是正方形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵，，， ∴， 由翻折得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 25．（2020·湖北黄石·模拟预测）已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一个直角边于点，交斜边于F，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．分两种情况：①将B沿折叠，B与的中点D重合，②将A沿折叠，A与的中点D重合，用勾股定理列方程，分别算出的长度，即可得到答案． 【解析】解：①将点B沿折叠，B与的中点D重合，如图：    设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； ②将A沿折叠，A与的中点D重合，如图：    设，则 在中， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 26．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【解析】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海静安·期末）在中，，，，（如图），点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 . 【答案】 【分析】连接，过点E作于点G，由折叠的性质得，，，，，根据直角三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理即可求解． 【解析】解：如图，连接，过点E作于点G， 由折叠的性质得，，，，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 28．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为．若，则的长为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：当点在矩形内时，过点作交于，交于；当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，进行计算即可得到答案． 【解析】解：如图，当点在矩形内时，过点作交于，交于，   ， 则四边形是矩形， ， ， 点分别到的距离分别记为，， ， ，， 由折叠可知：，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 如图，当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形，   ， ， 点分别到的距离分别记为，， ，即， ，， 由折叠可知：，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 29．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，已知四边形中，是锐角，．过点A作，交于点E，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为、，如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正确补图是解决本题的关键．记直线与的交点分别为，连接，证明出，则，即可求解． 【解析】解：记直线与的交点分别为，连接 ∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交与点F，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，角所对直角边等于斜边一半的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 在中，，由是将沿直线翻折得到的，求出，于是得到，求得，根据直角三角形的性质及勾股定理即可得到结果． 【解析】 解： 是将沿直线翻折得到的， ， ， , ， ， ， , ， ， 故答案为：． 题型6：几何证明—旋转问题 31．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．现将绕着点D旋转得到，点、、分别与点A、B、C对应，连接．如果点在线段AD的延长线上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，旋转性质．根据题意先画出旋转后的简图，先利用勾股定理求出的长，再求出，再利用勾股定理求出，继而得到，再利用旋转性质及勾股定理即可得到本题答案． 【解析】解：根据题意画出如下图： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵现将绕着点D旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，中，已知，点在边上，．把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，是解答本题的关键． 根据题意，点恰好落在初始中边，得到，过中点，连接，通过证明是等边三角形，得到，，由此得到答案． 【解析】解：根据题意，如图所示，点恰好落在初始中边， ， 根据旋转的性质，得到， ， 取中点，连接， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 33．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或 【分析】先求解，，，，再分两种情况讨论；如图，当时，过作于，则，当时，过作于，则，再求解中上的高即可得到答案． 【解析】解：∵，，，且两个三角形一样， ∴，，，， 如图，当时，过作于，则， ∴，， ∴， 当时，过作于，则， ∴，，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 34．（21-22八年级上·上海·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 【答案】； 【分析】过D作DH⊥BC交BC延长线于H，根据旋转的性质，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，则可得BH，利用勾股定理即可求得BD． 【解析】解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线于H， 依题可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°， ∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°， ∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°， ∵根据旋转的性质，CD=AC=， ∴在Rt△DCH中，DH=CD=， 则CH=DH=6， ∴BH=BC+CH=3+6=9， ∴BD=＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 35．（24-25八年级上·上海·期中）如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，将绕点顺时针或逆时针旋转得到，由等腰三角形的性质求出，由旋转的性质及三角形外角和定理——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得出答案，掌握知识点的应用及分类思想讨论是解题的关键． 【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可知：的度数是或， 故答案为：或． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．先用表示，，再利用三角形内角和定理计算出，然后由为等腰三角形分类讨论：当时，即；当时，即；当时，即，再分别解方程求． 【解析】解：绕点逆时针旋转后得到， ，，， 和都是等边三角形； ， 而， ， 为等腰三角形，下面分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得 综上所述，若为等腰三角形，则，，． 故答案为：或或． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 期末填空压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中） 目录： 题型1：一元二次方程（含新定义题） 题型2：正比例函数和反比例函数 题型3：几何证明—传统求解题；分类讨论题 题型4：几何证明—新定义题 题型5：几何证明—翻折问题 题型6：几何证明—旋转问题 题型1：一元二次方程（含新定义题） 1．（23-24八年级上·上海青浦·期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为 ． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）定义“独特数”U，对于任意一个三位数n，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为n的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知（，且x为整数），若，则 ． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 7．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 题型2：正比例函数和反比例函数 8．（24-25八年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知点，，，若反比例函数在第一象限内的图像与三角形有交点，那么的取值范围为 ． 9．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）平面直角坐标系中，点A坐标为，点B与点A关于原点对称，将点B沿轴向右平移个单位后恰好落在反比例函数的图像上，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）点A是反比例函数图象上一点，连接，并将线段绕点A旋转，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A的横坐标为4，那么k的值为 ． 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 题型3：几何证明—传统求解题；分类讨论题 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为 ．    15．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 16．（20-21八年级上·上海普陀·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将沿着直线翻折，点恰好与点重合，则的周长为 ． 题型4：几何证明—新定义题 19．（23-24八年级上·上海·期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于 ． 20．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 21．（2023·上海虹口·一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 题型5：几何证明—翻折问题 22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是 ． 23．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 . 24．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    25．（2020·湖北黄石·模拟预测）已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一个直角边于点，交斜边于F，则的长为 ． 26．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 27．（23-24八年级上·上海静安·期末）在中，，，，（如图），点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 . 28．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为．若，则的长为 ．    29．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，已知四边形中，是锐角，．过点A作，交于点E，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为、，如果，那么 ． 30．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交与点F，如果，那么线段的长为 ． 题型6：几何证明—旋转问题 31．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．现将绕着点D旋转得到，点、、分别与点A、B、C对应，连接．如果点在线段AD的延长线上，那么 ． 32．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，中，已知，点在边上，．把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么 ． 33．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 ． 34．（21-22八年级上·上海·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 35．（24-25八年级上·上海·期中）如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是 ． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，把绕点逆时针旋转后得到．连结、、，测量得．若为等腰三角形，则的度数是 ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$