特训10 期末倒数第2题（上海最新期末+最新11月期中）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训10 期末倒数第2题（上海最新期末+最新11月期中） 一、解答题 1．（23-24八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点A关于x轴的对称点B在直线上． (1)求k的值： (2)点P在射线上，点Q是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点Q的坐标． 3．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 4．（19-20八年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．    5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图像上，，反比例函数的图像经过点A. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点B在x轴上，且.如果点P在反比例函数的图像上（点P与点A不重合），Q在x轴上，为等边三角形，求点Q的坐标. 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知正比例函数，反比例函数，在同一坐标平面内有公共点，且反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)求正比例函数的解析式； (3)如果轴上有一点，轴上有一点，若是等腰三角形，求点的坐标． 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 8．（21-22八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 9．（18-19八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点， (1)求k的值； (2)当时，求直线OQ的解析式； (3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标． 10．（19-20九年级上·山东枣庄·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 11．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 13．（23-24八年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． (1)求的值； (2)点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 14．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标． 15．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 16．（19-20八年级上·河北保定·期中）已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 17．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 18．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．     (1)如图1，连接、，当的面积为2时， ① ； ②求的面积； (2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 20．（24-25八年级上·上海·期中）已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 21．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 22．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，在直角坐标系中，位于第一象限，两条直角边、分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为，，． (1)求直线表达式； (2)若反比例函数的图象经过点A和点P，使，求点P的坐标； (3)在边有一点M，且，连结并延长至N，使，求点N的坐标． 23．（24-25八年级上·上海·期中）探究活动：函数的图象与性质． (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)在下面网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称； ④图像关于点中心对称． 上述结论中正确的是_____．（只填序号） (4)已知为图像上一点，点是图像与轴的交点，，那么的面积是__________． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 期末倒数第2题（上海最新期末+最新11月期中） 一、解答题 1．（23-24八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【解析】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点A关于x轴的对称点B在直线上． (1)求k的值： (2)点P在射线上，点Q是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，本题的关键是根据题意画图，通过构造全等研究线段的数量关系，从而求出点Q的坐标． （1）把代入，得到点A的坐标，从而得到点B的坐标，代入解出k的值； （2）设点P的坐标为，连接，作，，过点A作于点N，根据等腰直角三角形性质得出，根据，， 得出，求出，分两种情况：当点P在点N下方时，当点P在点N上方时，分别进行求解即可． 【解析】（1）解：把代入，得， ∴点A的坐标为， ∵点A与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为， 把点代入， 解得：； （2）解：设点P的坐标为，连接，作，，过点A作于点N，如图所示： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴轴， ∵，， ∴， ∴， 当点P在点N下方时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为：，横坐标为， ∴此时点Q的坐标为； 当点P在点N上方时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时点P不存在； 综上分析可知：点Q的坐标为． 3．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分三种情形，分别得出答案． 【解析】（1）解：， ∴点A的纵坐标为3， ∵正比例函数的图象经过点A， 把代入得， ∴， 设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 过点C作于G， 由题意得， 当点C在上时， 则平分， ， ， ， 当点C在延长线上时， 同理可得， 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：当时，则点的坐标为或， 当时，由得，， ， 当时， ， 则平分， ， 综上所述：则点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（19-20八年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A（2，m）． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B在轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．    【答案】（1）反比例函数的解析式为：；（2）点C坐标为（4，）. 【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函数的解析式求出k即可； （2）过点A作AD垂直OB于D，根据等腰三角形三线合一可得OD=BD，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出AB、BC和AC，根据∠ABC=90°利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题. 【解析】解：（1）将点A（2，m）代入，得：， ∴A（2，）， 将点A（2，）代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）过点A作AD垂直OB于D， ∵OA=BA， ∴OD=BD， ∵A（2，）， ∴OD=2， ∴OB=4，即B（4，0）， 设点C坐标为（a，）， 则，，， ∵∠ABC=90°， ∴，即， 整理得：， 解得：a=4或-3， 经检验，a=4或-3均是分式方程的解， ∵x＞0， ∴a=4， ∴点C坐标为（4，）.    【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键. 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图像上，，反比例函数的图像经过点A. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点B在x轴上，且.如果点P在反比例函数的图像上（点P与点A不重合），Q在x轴上，为等边三角形，求点Q的坐标. 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2)或 【分析】（1）过点A作于点C，设点，反比例函数表达式为，则，，利用勾股定理列方程求得，再把点A的坐标代入反比例函数表达式求解即可； （2）过点P作轴于点D，根据等腰三角形的性质可得，设，则，，，利用勾股定理求得，再根据等边三角形的性质可得，即，从而求得或，再根据等边三角形的性质分别求解即可． 【解析】（1）解：如图，过点A作于点C， 设点，反比例函数表达式为， ∴，， ∴， 解得， ∵点A在第一象限， ∴， 又∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：过点P作轴于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当点时，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点时，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查勾股定理、解一元二次方程、等边三角形的性质和等腰三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知正比例函数，反比例函数，在同一坐标平面内有公共点，且反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)求正比例函数的解析式； (3)如果轴上有一点，轴上有一点，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或或． 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）分种情况，利用两点间距离坐标公式即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，掌握两点间距离坐标公式是解题的关键． 【解析】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴； （2）解：∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式； （3）解：设点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为或； 当时，， 解得， ∴点的坐标为或； 当时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或． 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的性质以及直线与坐标轴的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键， （1）将将代入得到的值，与点关于轴对称，可得，再将点代入即可得到反比例函数的解析式； （2）设，当时，线段最短，根据勾股定理可得点的坐标，即可得到、的值，的面积即可求解． 【解析】（1）解：将代入得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 将代入得， ∴． （2）解：设， 当时，线段最短， 由（1）知，， ∴， ， ， 由勾定理得， ∴， 整理得： 解之得：（舍），． ∴， ∴， ， ∴． 8．（21-22八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或或 【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案； （2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案； （3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案. 【解析】（1）解： AB⊥x轴，AB=3， 则 设反比例函数为 所以反比例函数为 （2）解：存在，或；理由如下： 如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 则 而 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则 而 而 设 解得： 综上：或 （3）解：如图， 为等腰三角形， 当时， 当时， 当时， 当时，设 解得： 综上：的坐标为：或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键. 9．（18-19八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点， (1)求k的值； (2)当时，求直线OQ的解析式； (3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】(1)-20 (2)y=﹣x (3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0） 【分析】(1）由 S△POQ= S△POM + S△MOQ =14结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果； (2）由题意可得 MO=MQ ，于是可设点 Q ( a ,- a )，再利用待定系数法解答即可； (3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若 NO =NQ ，根据两点间的距离解答． 【解析】（1）解：∵，S△POM=，S△QOM=， ∴+4=14，解得， ∵k＜0， ∴k=﹣20； （2）∵，轴， ∴， ∴MO=MQ， 设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx， 把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1， ∴直线OQ的解析式为y=﹣x； （3）∵点Q（a，﹣a）在上， ∴，解得（负值舍去）， ∴点Q的坐标为，则， 若为等腰三角形，可分三种情况： ①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）； ②若QO=QN，则NO=2OM=， ∴点N的坐标是（，0）； ③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得， ∴点N的坐标是（，0）； 综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（19-20九年级上·山东枣庄·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【解析】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 11．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标； 过点作轴于，设，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果． 【解析】（1）在函数的图象上， ， （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 点在直线上， 直线的解析式为， 把代入中，， ， （3）如图2，过点作轴于， 直线的解析式为， 设， 点落在函数的图象上， ， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【解析】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 13．（23-24八年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． (1)求的值； (2)点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了反比例函数的综合题目，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，勾股定理， （1）先把代入正比例函数中，求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）①过点A作轴于点H，设，根据勾股定理求解即可；②设，根据三角形面积公式求解即可； 熟练掌握知识点并能根据题意画出图形是解题的关键． 【解析】（1）把代入正比例函数中， 得， ∴， 再将代入， ∴； （2）①如图，过点A作轴于点H， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②∵点在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ∴点C的坐标为或． 14．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）． （1）求反比例函数解析式； （2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式；（2）P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0） 【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可． 【解析】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点， ∴m＝×4， 解得m＝2， 即A（4，2）， 把A点坐标代入反比例函数得，， 解得k＝8， ∴反比例函数的解析式为； （2）设P点的坐标为（n，0）， 若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况： ①当OA＝OP时， 由（1）知，A（4，2）， ∴n＝， 即P（，0）； ②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H， ∵A（4，2）， ∴OH＝4， ∵OA＝AP， ∴OP＝2OH＝2×4＝8， 即P（8，0）； ③当OP＝AP时， ∵A（4，2）， ∴n＝， 即n2＝（4﹣n）2+22， 解得n＝， 即P（，0）， 综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键． 15．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，直线的图像与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点. (1)求和的值； (2)连接，直接写出点的坐标，并求出的面积； (3)如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，B(−2,−4) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，以及三角形面积的计算． （1）将点代入直线和双曲线，即可得出m，n的值 （2）求出直线解析式和双曲线解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解． （3）设点，根据，求出x的值，即可求出点D的坐标． 【解析】（1）解：把点分别代入和， 解得，． （2）解：，， 直线的解析式为和双曲线的解析式为， ∴解方程组 解得，， 则点A坐标为，点B坐标为， ∵轴， ∴点C坐标为， ∴． （3）解：， 点在双曲线上，设点，， 解得，， 点的坐标为或． 16．（19-20八年级上·河北保定·期中）已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，全等三角形的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点H，先求出的长，进而利用三角形面积公式求出的长，即点Q的纵坐标，再把点Q纵坐标代入（1）所求解析式中进行求解即可； （3）分当时，②当时，两种情况先求出运动时间，再求出点Q的路程即可求出点Q的速度． 【解析】（1）解：设正比例函数的解析式为， 把代入中得： 解得：， ∴该正比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 如图，过点Q作轴于点H， ∵， ∴． 在中，当时，解得， ∴． （3）解：∵，点C是线段的中点， ∴，． ①当时， ∵， ∴，， 解得：． ∵ ∴． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． ②当时， ∴， 解得：． ∵， ∴． ∴． 解得：． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． 综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 17．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【解析】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 18．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．     (1)如图1，连接、，当的面积为2时， ① ； ②求的面积； (2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到，，，结合的面积为2求出点的坐标．①将点的坐标代入可求解，②由反比例函数求得，，，利用矩形和三角形的面积公式求解； （2）设直线的解析式为，将点代入求得解析式，设直线的解析式为，将和的坐标代入求得解析式，将两条直线的解析式联立组成方程组求出交点的坐标，再用两点间距离公式求出和即可求解． 【解析】（1）解：矩形的边和分别在坐标轴上，且，， ，，． 当的面积为2时， ， ， ， ． ①将点点的坐标代入中 ， ． ②由①得反比例函数解析式为， 是矩形边与反比例函数的交点， ， ，， ． （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 将和的坐标代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 由两条直线解析式组成方程组为， 解得， 直线和直线的交点． ，， ， ， ， 点是线段的中点． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，一次函数解析式的求法，反比例函数解析式的求法，二元一次方程组，三角形面积公式，求出解析式是解答关键． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【解析】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 20．（24-25八年级上·上海·期中）已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后代入正比例函数并求解，即可获得答案； （2）设，根据的面积为5，点的坐标为，可得，求解即可获得答案； （3）设，分点在上和点在的延长线上两种情况，分别求解，即可获得答案． 【解析】（1）解：∵点的横坐标为3，且的面积为3， ∴， 解得， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）存在，理由如下： 设， ∵的面积为5，点的坐标为， ∴， ∴或， ∴点坐标为或； （3）设，如图， ①点在上时， 当时，， 又∵, 若时，， ∴， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为； 同理，当点时，也可求出点的坐标也为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正比例函数和一次函数的图像和性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题 21．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【解析】（1）解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． （2）解：如图，    过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图，    ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴， ∴； 若，如图，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∴点Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题， 反比例函数与坐标轴围成面积， 反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，在直角坐标系中，位于第一象限，两条直角边、分别平行于x轴、y轴，点A的坐标为，，． (1)求直线表达式； (2)若反比例函数的图象经过点A和点P，使，求点P的坐标； (3)在边有一点M，且，连结并延长至N，使，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）设反比例函数，把点坐标代入反比例函数，求得，再设点P坐标为，根据， ，所以，则，求解即可求解． （3）过点N作轴，交y轴于D，延长交x轴于F，交于E，连接，先求出，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出，则，然后证明是的中位线，求得，从而得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵AB平行于y轴，点A的坐标为，， ∴， 设直线OB解析式为， 把代入，得， ∴直线OB解析式为； （2）解：设经过点A、P的反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴经过点A和点P的反比例函数解析式为， 设点P坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴． （3）解：过点N作轴，交y轴于D，延长交x轴于F，交于E，连接，如图， ∵，， ∴， ∵轴，轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵点N在第四限， ． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例和反比例函数的解析式，反比例函数的图象性质，坐标与图形，三角形的面积，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线性质，正确作出图形和辅助线是解题的关键． 23．（24-25八年级上·上海·期中）探究活动：函数的图象与性质． (1)函数的自变量取值范围是__________； (2)在下面网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大； ③图像关于过点且垂直于轴的直线对称； ④图像关于点中心对称． 上述结论中正确的是_____．（只填序号） (4)已知为图像上一点，点是图像与轴的交点，，那么的面积是__________． 【答案】(1)任意实数 (2)见解析 (3)①②③ (4)或 【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图象，根据函数的图象归纳函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）根据，结合取值范围分别画两个正比例函数的函数图象即可； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质； （4）先求出点坐标，再根据割补法求的面积即可． 【解析】（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：∵， ∴函数图象如图所示： （3）解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； ④图像关于点中心对称，错误． 故答案为：①②③． （4）解：∵为图像上一点， ∴， 解得或， ∴或， ∵点是图像与轴的交点， ∴， ∵， 当时，； 当时，； 故答案为：或． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$