专题09 平行线的证明（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题09 平行线的证明 判断命题的真假 1．（23-24 八年级上·浙江绍兴·期末）若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·广东梅州·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 3．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．正比例函数的图象一定经过原点 B．一组数据的平均数和众数都只有一个 C．轴上的点的纵坐标均为0 D．两直线平行，内错角相等 4．（23-24 八年级上·福建泉州·期末）对假命题“若，则”举反例，举例正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·安徽安庆·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 平行线的判定 6．（23-24 八年级上·云南玉溪·期末）如图，能判定的条件是（       ） A． B． C． D． 7．（23-24 八年级上·安徽六安·期末）如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24 八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，． (1)求证：． (2)求证：． 10．（23-24 八年级上·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 11．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 平行线的性质 12．（23-24 八年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 13．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 14．（23-24 八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（23-24 八年级上·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．（23-24 八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．（23-24 八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 与平行线有关的三角形内角和 18．（2022八年级上·浙江·期末）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 20．（23-24 八年级上·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 21．（23-24 八年级上·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 22．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 23．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 与角平分线有关的三角形内角和 24．（23-24 八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 25．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 26．（23-24 八年级上·湖南娄底·期末）如图，中，是上的高，平分，，，则 度． 27．（23-24 八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 28．（23-24 八年级上·河北承德·期末）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 29．（23-24 八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 三角形折叠中的角度问题 30．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 32．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 33．（23-24 八年级上·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 34．（23-24 八年级上·贵州遵义·期末）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 35．（23-24 八年级上·广东揭阳·期末）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 36．（23-24 八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·广东清远·期末）用一组的值说明命题“则”是错误的，这组值可以是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·广东深圳·期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点P和已知直线平行”的直线．下列解释正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上解释都正确 3．（23-24 八年级上·河北恩施·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24 八年级上·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（23-24 八年级上·河北保定·期末）如图，将长方形沿折叠，交于点M，已知与度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24 八年级上·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当为的平分线时，； 结论Ⅱ：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确 二、填空题 9．（23-24 八年级上·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 10．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 11．（23-24 八年级上·湖南邵阳·期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”） 证明：∵，（已知） 又∵，（①___________） ∴②_____（等量代换） ∴．（③____________） ∴④_____（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤_____________） ∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦__________） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．（⑧______________） 12．（23-24 八年级上·广东广州·期末）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 13．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 14．（23-24 八年级上·福建厦门·期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 三、解答题 15．（23-24 八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 16．（23-24 八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连结，若，试说明：． 17．（23-24 八年级上·北京大兴·期末）如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（23-24 八年级上·安徽·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 19．（23-24 八年级上·甘肃张掖·期末）已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平行线的证明 判断命题的真假 1．（23-24 八年级上·浙江绍兴·期末）若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； B、、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； C、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； D、若，，则，， 所以不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24 八年级上·广东梅州·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【答案】B 【详解】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意； B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意； D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意． 故选B． 3．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．正比例函数的图象一定经过原点 B．一组数据的平均数和众数都只有一个 C．轴上的点的纵坐标均为0 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：A. 正比例函数的图象一定经过原点，故该选项是真命题，不符合题意； B. 一组数据的平均数只有一个，众数不止有一个或没有，故该选项是假命题，符合题意； C. 轴上的点的纵坐标均为0，故该选项是真命题，不符合题意； D. 两直线平行，内错角相等,是真命题，不符合题意． 故选B． 4．（23-24 八年级上·福建泉州·期末）对假命题“若，则”举反例，举例正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、则，条件不成立，故不符合题意； B、则，条件成立，结论成立，故不符合题意； C、则，条件不成立，故不符合题意； D、则，条件成立，且结论不成立，故符合题意； 故选：D． 5．（23-24 八年级上·安徽安庆·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④/④② 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 平行线的判定 6．（23-24 八年级上·云南玉溪·期末）如图，能判定的条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项不符合题意； C、由，不能判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（23-24 八年级上·安徽六安·期末）如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（2023-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A、由，可知，故A错误； B、由，可知，故B错误； C、由，可知，故C正确； D、由，可知，故D错误． 故选：C． 9．（23-24 八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 10．（23-24 八年级上·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 11．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 平行线的性质 12．（23-24 八年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【详解】解：∵（已知）， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴，（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 13．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 14．（23-24 八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 15．（23-24 八年级上·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 16．（23-24 八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 17．（23-24 八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 与平行线有关的三角形内角和 18．（2022八年级上·浙江·期末）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：． 19．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 20．（23-24 八年级上·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 21．（23-24 八年级上·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 22．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 23．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 与角平分线有关的三角形内角和 24．（23-24 八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 26．（23-24 八年级上·湖南娄底·期末）如图，中，是上的高，平分，，，则 度． 【答案】10 【详解】解：在中，， ， 平分， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：10． 27．（23-24 八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于P． （1）的度数为 ； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 /度 8 【详解】（1）， ， 和分别平分和， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：8． 28．（23-24 八年级上·河北承德·期末）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)115，65； (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【详解】（1）解： ，分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）解：当的大小变化时，的值不发生变化， 理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 29．（23-24 八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【详解】（1）∵，分别是，的平分线，，， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）当的大小变化时，的值不发生变化，， 理由如下： ∵，分别是，的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当的大小变化时，的值不发生变化，． 三角形折叠中的角度问题 30．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 31．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 32．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图： ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵， ∴，即，整理得:． 故选：A． 33．（23-24 八年级上·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选：C 34．（23-24 八年级上·贵州遵义·期末）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 【答案】80 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠性质得，， ∴， 故答案为：80． 35．（23-24 八年级上·广东揭阳·期末）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：由翻折的性质可知： 故答案为：． 36．（23-24 八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴   ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·广东清远·期末）用一组的值说明命题“则”是错误的，这组值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. 当时，，得到，但，故选项符合题意； B.当时，，得到，但，故选项不符合题意； C. 当时，，得到，但，故选项不符合题意；     D. 当时，，得到，但，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24 八年级上·广东深圳·期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点P和已知直线平行”的直线．下列解释正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上解释都正确 【答案】D 【详解】解：如图， 由题图（2）的操作可知， 所以， 由题图（3）的操作可知， 所以， 所以， 所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定， 故选：D． 3．（23-24 八年级上·河北恩施·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 4．（23-24 八年级上·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 5．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 故①正确； ，分别平分，， ，， ， ， ， 故④正确； ， ， ， 故②正确； ， ， ， 故③不正确； 所以，上列结论，其中所以正确结论的序号是①②④， 故选：C 6．（23-24 八年级上·河北保定·期末）如图，将长方形沿折叠，交于点M，已知与度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与度数之比为， ∴设，则， ∵长方形， ∴，， ∴， 由对折可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，一元次方程的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 7．（23-24 八年级上·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C. 8．（23-24 八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当为的平分线时，； 结论Ⅱ：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确 【答案】A 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ∴故结论Ⅰ正确； 当时，如图，    由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，      由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 故结论Ⅱ错误； 故选：． 二、填空题 9．（23-24 八年级上·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 10．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， 平分，①结论正确； ， ， 平分，平分， ，， ， ，②结论正确； ，且, 与互余的角有4个,③结论错误； ，， ， 平分， ， ， ， ，④结论正确， 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 11．（23-24 八年级上·湖南邵阳·期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”） 证明：∵，（已知） 又∵，（①___________） ∴②_____（等量代换） ∴．（③____________） ∴④_____（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤_____________） ∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦__________） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．（⑧______________） 【答案】①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义 【详解】解：证明如下： ∵，（已知） 又∵，（①对顶角相等）， ∴②（等量代换） ∴．（③同位角相等，两直线平行） ∴④（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤等量代换） ∴⑥（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．⑧垂直的定义． 故答案为：①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义． 12．（23-24 八年级上·广东广州·期末）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：在长方形中，， ∴； ， ， ； 故①正确； 由折叠知，， ； 由长方形性质得， 则， ， ； 故②正确； ， ，， 由折叠知，， ∴， 当时，， 否则； 故③错误； ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 13．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 【答案】 【详解】解：∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14．（23-24 八年级上·福建厦门·期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 三、解答题 15．（23-24 八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 16．（23-24 八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连结，若，试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如图1所示． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：如图2，    由（2）知：，， ∵， ∴． 17．（23-24 八年级上·北京大兴·期末）如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 18．（23-24 八年级上·安徽·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （3）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 19．（23-24 八年级上·甘肃张掖·期末）已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1)180 (2) (3)详见解析 【详解】（1）解：（1），， ， ， ∵， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，， ∵， ∴； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， 同理， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$