专题3-1勾股定理（考题猜想，热考必刷55题15种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想3-1 勾股定理 （热考必刷55题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用已知条件判断直角三角形 · 利用勾股定理求解 · 勾股定理与网格问题 · 勾股树问题 · 利用勾股定理证明线段的平方关系 · 勾股定理的证明方法 · 以弦图为背景的计算题 · 勾股定理与折叠问题 · 勾股定理与无理数 · 判断三边能否构成直角三角形 · 网格中判断直角三角形 · 利用勾股定理逆定理求解 · 利用勾股定理解决实际问题 · 利用勾股定理解决最短路程问题 · 利用勾股定理解决将军饮马问题 · 一．利用已知条件判断直角三角形（共4小题） 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 二．利用勾股定理求解（共4小题） 5．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 6．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的面积．   7．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，平分，，，垂足分别为、．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）【问题发现】 （1）如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．容易发现： ①的度数为___________； ②线段之间的数量关系为___________； 【类比探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，点P是等边外一点，，，，则___________．    三．勾股定理与网格问题（共4小题） 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 10．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，、、、在边长为的正方形网格的格点上． (1)求四边形的周长． (2)直接写出四边形的面积为 ． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图1，依次连接方格的各条边中点，得到一个正方形（如图中的阴影部分），          (1)图1中阴影部分的面积是______，阴影部分正方形的边长是______； (2)请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形． (3)请在数轴上作出表示的点 12．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）在中，边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，采用在边长为1的正方形网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．    (1)请你根据图①求出的面积． (2)若三边的长分别为，，，请在图②的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． 四．勾股树问题（共2小题） 13．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 14．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上， (1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程） (2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． (3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______． 五．利用勾股定理证明线段的平方关系（共3小题） 15．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 16．（22-23八年级上·吉林长春·期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接． (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 六．勾股定理的证明方法（共3小题） 18．（23-24八年级上·吉林长春·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)请用文字语言叙述勾股定理的内容：______； (2)请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 19．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 20．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 七．以弦图为背景的计算题（共3小题） 21．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 22．（2023八年级上·浙江·专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．    (1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边的长； (2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长． 23．（21-22八年级上·河南平顶山·期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 八．勾股定理与折叠问题（共6小题） 24．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 25．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 27．（22-23八年级上·河南南阳·期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？    28．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 29．（22-23八年级上·山西运城·期末）在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，． ①如图1，当时，______，边与线段的数量关系是______； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及边与线段的数量关系，并说明理由． 九．勾股定理与无理数（共2小题） 30．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）在图中画图确定表示的点． 31．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 一十．判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 32．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知在中，于，，，． (1)求的长； (2)判断的形状． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 34．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴．  ② ∴．  ③ ∴是直角三角形．  ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： (1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请你将正确的解题过程写下来． 35．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系内有两点，． (1)若表示这两点间的距离，求证：． (2)试判断点，，是否构成直角三角形． 一十一．网格中判断直角三角形（共3小题） 36．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)_______； (2)求的度数． 37．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 38．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 一十二．利用勾股定理逆定理求解（共3小题） 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线，，求的周长． 40．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，已知在中，，求的面积． 41．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 一十三．利用勾股定理解决实际问题（共4小题） 42．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 43．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 44．（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度(如图)，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小明位置不动，若想让风筝沿方向下降9米，他应该往回收线多少米？ 45．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架梯子长米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端至墙的距离为米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ (3)若梯子的中点为，梯子在下滑的过程中，的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不变直接写出的长度． 一十四．利用勾股定理解决最短路程问题（共3小题） 46．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 47．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 48．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 一十五．利用勾股定理解决将军饮马问题（共6小题） 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上. (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)连接、，则的面积为______． (3)在直线上画出点，使的值最小，这个最小值是______． 50．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边三角形中，，，是上的一点，是上一点，，求的最小值． 51．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 52．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 53．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，点P在内，点M，N分别是的对称点，分别交于点E，F．    (1)若，则 ， （用含的代数式表示）； (2)①若的周长是，求的长． ②若，直接写出的周长的最小值（用含x的代数式表示） 54．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．    (1)设，请用x的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ (3)根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 ． 55．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ $$考题猜想3-1 勾股定理 （热考必刷55题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用已知条件判断直角三角形 · 利用勾股定理求解 · 勾股定理与网格问题 · 勾股树问题 · 利用勾股定理证明线段的平方关系 · 勾股定理的证明方法 · 以弦图为背景的计算题 · 勾股定理与折叠问题 · 勾股定理与无理数 · 判断三边能否构成直角三角形 · 网格中判断直角三角形 · 利用勾股定理逆定理求解 · 利用勾股定理解决实际问题 · 利用勾股定理解决最短路程问题 · 利用勾股定理解决将军饮马问题 · 一．利用已知条件判断直角三角形（共4小题） 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，掌握勾股定理逆定理、三角形内角和是是解题的关键．根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形：根据勾股定理逆定理可判断选项C、D是否是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴是锐角三角形， 故A符合题意： ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ，符合勾股定理逆定理． ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，可以判定A、B，根据角度关系及三角形内角和，可判断C、D， 本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理可判定A；根据比值并结合勾股定理的逆定理可判断B；根据三角形的内角和为度，即可计算出的值可判断C；根据角的比值求出各角的度数，可判断D． 【详解】解：A、当，，， ， 故是直角三角形，本选项不符合题意； B、当时，设，，， 则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 故是直角三角形，本选项不符合题意； D、当时， ∵， 则最大角为， 故不是直角三角形，本选项符合题意； 故选：D． 二．利用勾股定理求解（共4小题） 5．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)8，15； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）设，则，由勾股定理得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 6．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，平分，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)5； (2)15． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形面积． （1）作于，利用勾股定理求得的长，利用平分线的性质得，再利用面积法求出的长，从而求得的长； （2）利用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：作于．如图．    在中，由勾股定理得： ， 平分，，， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ． 7．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，平分，，，垂足分别为、．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由角平分线与垂直的定义可得，，又公共边，通过可证得； （2）由可得，．在中，根据勾股定理求得，由，，可得垂直平分，又根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半可得，代入可求得． 【详解】（1）∵平分 ∴ ∵， ∴ 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的证明与性质，勾股定理，对角线互相垂直的四边形的面积，熟练运用四边形的面积求线段的长是解题的关键． 8．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）【问题发现】 （1）如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．容易发现： ①的度数为___________； ②线段之间的数量关系为___________； 【类比探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，点P是等边外一点，，，，则___________．    【答案】（1）①；②相等；（2），，理由见解析；（3）． 【分析】（1）①首先根据等边三角形的性质得到，，，然后根据题意证明出，最后利用求解即可； ②根据全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，然后证明出，利用全等三角形的性质得到，，进而求解即可； （3）以为边作等边三角形，连接，证明出，然后得到，，然后得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ②∵， ∴； 故答案为：①；②相等； （2）如图所示，设与交于点O，    ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； （3）如图所示，以为边作等边三角形，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形和等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 三．勾股定理与网格问题（共4小题） 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 【答案】 【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．过点作 的延长于点，过点作于点，可得的长，在中，可求出的长，根据，即三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：如图所述，过点作 的延长于点，过点作于点， ∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴中边上的高为． 10．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，、、、在边长为的正方形网格的格点上． (1)求四边形的周长． (2)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，三角形、矩形的面积， （1）由勾股定理求出，，，的长，即可求出四边形的周长； （2）求出矩形、、、、的面积，即可求出四边形的面积； 解题的关键是由勾股定理求出四边形的边长及等积变换的应用． 【详解】（1）解：∵点、、、在边长为的正方形网格的格点上， ∴，， ，， ∴四边形的周长为：； （2）∵矩形， ， ， ∴ ， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图1，依次连接方格的各条边中点，得到一个正方形（如图中的阴影部分），          (1)图1中阴影部分的面积是______，阴影部分正方形的边长是______； (2)请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形． (3)请在数轴上作出表示的点 【答案】(1)8， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格，勾股定理与无理数，实数与数轴．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由勾股定理可直接求出正方形的边长是，再根据正方形面积的计算公式求解即可； （2）根据直角边分别为3和1的直角三角形的斜边为，画出正方形的四条边即可； （3）根据直角边分别为3和1的直角三角形的斜边为，再在数轴负半轴画出表示的点即可． 【详解】（1）解：阴影部分正方形的边长是， ∴图1中阴影部分的面积是． 故答案为：8，； （2）解：如图所示正方形即为所作； （3）解：在数轴上作出表示的点，如图． 12．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）在中，边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，采用在边长为1的正方形网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．    (1)请你根据图①求出的面积． (2)若三边的长分别为，，，请在图②的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）结合割补法根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算； （2）根据勾股定理画出，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）解：如图①，；    （2）解：如图②所示， ； 【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形和正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 四．勾股树问题（共2小题） 13．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 【答案】(1)①3；②满足，证明见解析 (2) 【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得； （2）由题意知，，，，，，代入求解即可． 【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为， 则图2中，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，，，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，，，， ∵， ∴，故图4符合题意； ∴这3个图形中面积关系满足的有3个， 故答案为：3； ②解：满足，证明如下： 由题意知，，， ∴； （2）解：由题意知，，，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积． 14．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上， (1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程） (2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． (3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】(1) (2)3 (3)7.5 【分析】（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：； （2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个； （3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：，进而求解． 【详解】（1）解： 四边形ABED的面积可以表示为： ， 也可以表示为， 所以，整理得； （2）设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则， 图③，∵， ∴， 图④，∵ ∴， 图⑤，∵ ∴， 故答案为：3． （3）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理． 五．利用勾股定理证明线段的平方关系（共3小题） 15．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 16．（22-23八年级上·吉林长春·期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【答案】新意应用：四边形是垂直四边形，理由见解析；性质探究：，证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理： 新意应用：连接，根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解； 性质探究：根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：新意应用：四边形是垂直四边形， 理由：连接，      ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂直四边形； 性质探究：，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）可证，从而得证； （2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论； （3）中，勾股定理求得，再根据点F是直线上一个动点，分情况讨论，分别画出图形再计算即可． 【详解】（1）解：如图，, ∴． ∴． 又， ∴． 故全等三角形为． （2）证明：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：中，， ∴． 当在线段上时，如图， ∵， ∴． 由（2）可得， ∴． ∴， 当在射线上时，如图， 同理可证， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， 当在射线上时， ∵ ∴不可能在射线上， 综上所述，或． 六．勾股定理的证明方法（共3小题） 18．（23-24八年级上·吉林长春·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)请用文字语言叙述勾股定理的内容：______； (2)请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件） 【答案】(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么） (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明： （1）根据勾股定理的内容即可得； （2）图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得； 【详解】（1）解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； 故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）； （2）解：图1：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则； 图2：大正方形的面积为， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为， 则，即； 图3：直角梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 则，即． 19．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【详解】（1）解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ， ， 故答案为，， （2）根据题意，得， ， ， ，即 20．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 七．以弦图为背景的计算题（共3小题） 21．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据图形得出方形的边长为，正方形的边长为，再根据正方形面积公式，即可求解； （2）由图可得，，，则，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系． 22．（2023八年级上·浙江·专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．    (1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边的长； (2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将大正方形面积设出来，利用面积占比表示出小正方形面积，从而得到三角形面积，即可得到，从而得出，再利用小正方形面积求解即可； （2）利用求出，再利用勾股定理求出，依次相加即可求解． 【详解】（1）解：如图，    设大正方形面积为， ， 小正方形的面积占总面积的， 小正方形面积为， ， 四个直角三角形全等， ， ， 在中， ， 即， 解得：（舍或， ； （2）解：如图，    四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍， ， ， 在中， ， 这个风车的周长为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是设未知数求出，再依次求出，． 23．（21-22八年级上·河南平顶山·期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6 【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】证明： 即 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 八．勾股定理与折叠问题（共6小题） 24．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 25．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． （1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得 ，即得，而，故； （2）根据，得 ，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 27．（22-23八年级上·河南南阳·期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？    【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，，设，根据勾股定理解，求出，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，， 由折叠可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ， 即重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，即折叠前后对应边相等，对应角相等． 28．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，则，勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）根据三角形周长公式得到，由折叠的性质得，由此得到，再根据三角形面积公式得到，利用勾股定理推出，则． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；    （3）解：∵的周长为， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 29．（22-23八年级上·山西运城·期末）在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，． ①如图1，当时，______，边与线段的数量关系是______； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及边与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①45°；；②成立；理由见解析 (2)，；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质求得，由折叠的性质求得，再证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （2）同（1），证明是等边三角形，即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ②∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， 理由：∵，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出为等腰直角三角形或等边三角形． 九．勾股定理与无理数（共2小题） 30．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）在图中画图确定表示的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和在数轴上表示无理数，解题关键是树立数形结合思想，通过构建直角三角形，利用斜边长表示无理数． 以1和3为直角边构建直角三角形，再在数轴上截取斜边的长度即可． 【详解】解：在数轴上画出点表示3，作垂直于x轴，截取，根据勾股定理得，，在数轴上截取，点M表示的数就是． 31．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）勾股定理求出的长，两点间的距离求出点、、表示的实数即可； （2）根据两点间的距离公式，求出和的长，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：， ∴点表示的实数为和， ∵， ∴， ∴点表示的实数为； 故答案为：，， （2）∵点C表示的数为，点D表示的数为3 ∵点B表示的数为 ， ∴， ∵， ∴ ∴． 一十．判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 32．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知在中，于，，，． (1)求的长； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)是直角三角形． 【分析】（）由垂直可得，利用勾股定理可得，进而可得； （）由，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可判断求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为，若，，，． (1)试说明为直角； (2)记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2）解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：66． 34．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴．  ② ∴．  ③ ∴是直角三角形．  ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： (1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请你将正确的解题过程写下来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义： （1）上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； （2）从第②步分解因式得到，进而得到，，据此可得答案． 【详解】（1）解：上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； （2）解：∵， ∴． ∴， ∴或， ∴或， ∴是直角三角形或等腰三角形． 35．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系内有两点，． (1)若表示这两点间的距离，求证：． (2)试判断点，，是否构成直角三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)不能构成直角三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理及逆定理，掌握定理及逆定理是解题的关键． （1）过作轴的垂线，过作轴的垂线，两线交于，可得，，由勾股定理可得，即可求证； （2）由（1）可求，，，由勾股定理逆定理即可判断． 【详解】（1）证明：如图，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交于，   是直角三角形， ，， ， ， ， 故：． （2）解：由（1）得 ， ， ， 同理可求：，， ， ， 它们不能构成直角三角形． 一十一．网格中判断直角三角形（共3小题） 36．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，根据勾股定理进行列式，即可作答． （2）先延长交格点于P，连接，然后根据勾股定理进行列式计算得，，得证为等腰直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； 故答案为： （2）解：延长交格点于P，连接，如图， 则，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 37．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)填空：________，________； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，5 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理． （1）根据网格图，结合勾股定理即可解答． （2）根据网格图，结合勾股定理求出，，根据勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得 ， ． 故答案为：，5； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： 根据勾股定理，得 ， ， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 38．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 一十二．利用勾股定理逆定理求解（共3小题） 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线，，求的周长． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，以及垂直平分线的定义与性质，先由，得出是直角三角形，且，结合为的中线，则是的垂直平分线，即进行作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵为的中线， ∴，是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为． 40．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，已知在中，，求的面积． 【答案】54 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 41．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，， (1)证明：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据，，，易得，可证是直角三角形，； （2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形，且； （2）解：解：，，， ， 四边形的面积的面积的面积 ． 一十三．利用勾股定理解决实际问题（共4小题） 42．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 43．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 44．（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度(如图)，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出放出去的风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小明位置不动，若想让风筝沿方向下降9米，他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)凤筝的高度为16.5米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，(负值舍去)， 所以， (米)， 答：风筝的高度为16.5米； （2）由题意得，， ∴， ∴(米)， ∴(米)， ∴他应该往回收线7米． 45．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架梯子长米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端至墙的距离为米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ (3)若梯子的中点为，梯子在下滑的过程中，的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不变直接写出的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)不变，米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质； （1）直接由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理求出的长即可得出结果； （3）根据始终是以斜边长为米的直角三角形的斜边上的中线可得出结论． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得米； （2）解：米， 在中，米， ∴米， ∴梯子的底端在水平方向滑动了米； （3）不变， ∵始终是以斜边长为米的直角三角形的斜边上的中线， ∴的长为定值，米． 一十四．利用勾股定理解决最短路程问题（共3小题） 46．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 47．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【详解】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 48．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为 (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果； （2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果; （3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中， ∵、，， ∴， 在中， ． 答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； ∵， ∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 一十五．利用勾股定理解决将军饮马问题（共6小题） 49．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上. (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)连接、，则的面积为______． (3)在直线上画出点，使的值最小，这个最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、割补法求三角形面积、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交直线于点，此时的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求， ， 由轴对称的性质可得， ∴，由两点之间线段最短可得，此时的值最小为， 由勾股定理可得． 50．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边三角形中，，，是上的一点，是上一点，，求的最小值． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，在上取一点，使得，连接，可得，即得，进而得，由，可得的最小值为的长，过点作于点，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 过点作于点，则，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 51．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查两点间的距离公式：若平面内两点，则；两点所连线段的中点坐标公式：以任意两点为端点的线段中点坐标为；以及将军饮马问题． （1）直接利用两点间的距离公式和两点所连线段的中点坐标公式计算； （2）根据将军饮马问题的解决方法即可； （3）先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解： ， 中点C的坐标为：即； 解：设， ， 作点关于轴对称点， ， 连接，则， ； 解：，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 52．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 53．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，点P在内，点M，N分别是的对称点，分别交于点E，F．    (1)若，则 ， （用含的代数式表示）； (2)①若的周长是，求的长． ②若，直接写出的周长的最小值（用含x的代数式表示） 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）如图，连接，根据轴对称的性质可得和都是等腰三角形，且，进而可根据等腰三角形的性质得，同理可得，于是可推得，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案； （2）①根据轴对称的性质可推出的周长，进而可得结果； ②易得是等腰直角三角形，且，从而可根据勾股定理求出，而由轴对称的性质可知即为的周长的最小值，于是可得结果． 【详解】（1）解：如图，连接、，   是点P关于的对称点， ，， ， ， 同理可得：，， ； ， ， 故答案为：，； （2）①分别是点P关于的对称点， ， 的周长， 的周长等于， ； ②， ，， 的周长，且的周长的最小值为的长， 的周长的最小值是 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 54．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．    (1)设，请用x的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ (3)根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 ． 【答案】(1) (2)连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置； (3)见解析；5 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据，则，根据勾股定理计算即可． （2）连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置；过点B作，交的延长线于点F，利用勾股定理计算即可． （3）根据（1）（2）中的规律和结论，构图后求解即可． 【详解】（1）∵，，，， ∴， ∴，， 故． （2）连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置；    过点B作，交的延长线于点F， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ． （3）构图如下：，，，， ∴， 则，    根据题意，得当D，E，A三点共线时，取得最小值， ∴． 故答案为：5． 55．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 【答案】(1) (2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道 (3)的最小值为 【分析】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解； （2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解； （3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在和中，根据勾股定理可得， ， ∴， （2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置． 过点作⊥于，则有，． ． 在△中，， 此时最少需要管道． （3）根据以上推理，可作出下图， 设，，，， 当、、共线时，求出的值即为原式的最小值． 在△中，，， 由勾股定理可得：， 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． $$