专题2-1轴对称图形（考题猜想，热考+压轴必刷55题13种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想2-1 轴对称图形 （考题猜想，热考+压轴 必刷55题13种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用轴对称的性质求解 · 折叠问题 · 根据作图痕迹画图求解 · 设计轴对称图形 · 等腰三角形的分类讨论 · 等腰三角形的性质与判定综合 · 找出图中的等腰三角形 · 根据已知两点判定能构成等腰三角形的第三点个数 · 等边三角形性质与判定综合 · 含30°角的直角三角形 · 利用直角三角形斜边的中线的性质求解 · 将军饮马问题 · 等腰三角形的动点问题 一．利用轴对称的性质求解（共4小题） 1．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 3．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，和关于直线m对称．    (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段AC与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 二．折叠问题（共5小题） 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若、，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 6．（22-23七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，的角平分线交于点P，求证：； （2）如图2，点P为内一点且满足，将沿折叠使得点A与点P重合，得到四边形，若；求的度数； （3）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），，在与内，且满足，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． ，， 7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将的折起，翻折后角的顶点位置记作． (1)当落在上时（如图1），可得与的关系为 ； (2)当点落在和之间（如图2）时，探究之间的关系，并说明理由； (3)当落在，的同旁（如图3）时，直接写出之间的关系． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 9．（2023八年级上·全国·专题练习）有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处．    (1)如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由． (2)当时，设． ①试用含x的代数式表示的度数． ②探究是否可能平分，若可能，求出此时的度数；若不可能，请说明理由． 三．根据作图痕迹画图求解（共4小题） 10．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 11．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C．∠ D． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出 °． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 四．设计轴对称图形（共3小题） 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    15．（2024八年级上·江苏·专题练习）某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 五．等腰三角形的分类讨论（共6小题） 17．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）已知等腰的一个角是，则的底角的度数是 ． 18．（24-25八年级上·云南楚雄·期中）若一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个等腰三角形的周长是 ． 19．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若等腰三角形的周长为14，一边是4，则此等腰三角形的腰长是 ． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ． 22．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 六．等腰三角形的性质与判定综合（共4小题） 23．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 24．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 七．找出图中的等腰三角形（共3小题） 27．（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 28．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 八．根据已知两点判定能构成等腰三角形的第三点个数（共4小题） 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 31．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．（2024八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 33．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 九．等边三角形性质与判定综合（共4小题） 34．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． (1)如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证：； (2)当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 35．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）已知等腰三角形中，，，交延长线于点，为的延长线，点从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：； (3)在点运动过程中，连接，当点运动多少秒时，线段长度取到最小值． 36．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 37．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）教材回顾：我们在学习完等腰三角形的轴对称性后，教材设置了这样一道题目： 如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，与相等吗？我们通过证明，得出，的理由是 ； 拓展思考：（1）设与的交点记为点，与的交点记为点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想（可直接使用结论）； 自主探究：若和在直线的异侧，其余条件不变，如图所示，与的延长线交与点，与的延长线于点，与交于点，连接． （2）求证：； （3） ； 思维发散：（4）如图，若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，请你参考以上探究过程，在图中画出图形的一种情况，并结合图形写出条结论（等边三角形的性质除外）． 一十．含30°角的直角三角形（共3小题） 38．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，分别是边 上的点，且，且交于点，且 ，垂足为 ． (1)求证：； (2)若 ，求 的长度． 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，等边中，D，E分别在边上运动，且始终保持，点D、E始终不与等边的顶点重合，连接交于点． (1)试说明； (2)求度数； (3)点在射线上，当，为直角三角形时，________． 40．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 一十一．直角三角形斜边的中线的性质求解（共4小题） 41．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的中点． (1)，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 42．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 43．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 44．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在四边形中，，E是的中点． (1)如图①，点F为中点． ①求证：； ②若，则的面积为______； (2)如图②，若，延长交于点F，且，求的度数为______． 一十二．将军饮马问题（共6小题） 45．（24-25八年级上·湖南·期中）如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值． 47．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 48．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    49．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 50．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 一十三．等腰三角形的动点问题（共5小题） 51．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 52．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 53．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 54．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 55．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为．    (1)当点D沿射线运动时，若，求t的值． (2)当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． $$考题猜想2-1 轴对称图形 （考题猜想，热考+压轴 必刷55题13种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用轴对称的性质求解 · 折叠问题 · 根据作图痕迹画图求解 · 设计轴对称图形 · 等腰三角形的分类讨论 · 等腰三角形的性质与判定综合 · 找出图中的等腰三角形 · 根据已知两点判定能构成等腰三角形的第三点个数 · 等边三角形性质与判定综合 · 含30°角的直角三角形 · 利用直角三角形斜边的中线的性质求解 · 将军饮马问题 · 等腰三角形的动点问题 一．利用轴对称的性质求解（共4小题） 1．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 3．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数； （2）先根据对称的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与关于对称， ∴， ∵是边上的高， ， ∴； （2）∵与关于对称， ， 是的外角， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和，三角形外角的性质，对称的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，和关于直线m对称．    (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段AC与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 【答案】(1)A和，B和，C和 (2) (3)直线m垂直平分线段， (4)见解析 【分析】（1）根据成轴对称的性质求解即可； （2）首先根据成轴对称的性质得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）根据成轴对称的性质求解即可； （4）根据成轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）∵和关于直线m对称 ∴对称点有A和，B和，C和． （2）∵和关于直线m对称 ∴ 在中，， ∴． （3）∵和关于直线m对称 ∴直线m垂直平分线段，． （4）∵和关于直线m对称 ∴它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上． 规律：若两条线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴m上． 【点睛】本题考查成轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握成轴对称的性质，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上 二．折叠问题（共5小题） 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若、，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得的度数，同理可求得的度数，结合三角形内角和定理即可求得答案． （2）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得，同理可求得，结合三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． 同理可得． ∴． （2），理由如下： 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． 同理可得． ∴． 6．（22-23七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，的角平分线交于点P，求证：； （2）如图2，点P为内一点且满足，将沿折叠使得点A与点P重合，得到四边形，若；求的度数； （3）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），，在与内，且满足，若，，直接写出和α，β之间的数量关系． 【答案】（1）详见解析（2）（3）①，， 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，以及平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）由的角平分线交于点P得，，即，因为，，可证； （2）已知，可得的度数，由于折叠，，，可得的度数，因为，可得C的度数； （3）点F在延长线上、点F在上、点F在延长线上三种情况讨论． 【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵沿折叠使得点A与点P重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①点F在延长线上时， ， ∵，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ②点F在上时， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ③点F在延长线上时， ， ∵，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将的折起，翻折后角的顶点位置记作． (1)当落在上时（如图1），可得与的关系为 ； (2)当点落在和之间（如图2）时，探究之间的关系，并说明理由； (3)当落在，的同旁（如图3）时，直接写出之间的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了图形的折叠变化及其性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握图形的折叠变化及其性质，灵活运用三角形的外角定理找出相关角之间的关系是解决问题的关键． （1）由折叠的性质可得，再根据三角形外角的定义及性质可得，即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质可得，从而得到，由折叠的性质可得，即可得解； （3）由三角形外角的定义及性质可得，，从而得到，由折叠的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：当点落在上时，如图1所示： 由折叠的性质可知：， 由三角形的外角定理得：； 故答案为：． （2）解：当点落在和之间时，连接，如图2所示： 则之间的关系是：， 理由如下： 由三角形的外角定理得：， ，即， 由折叠的性质可知：， ； （3）解：当落在的同旁时，设与交于点，如图3所示： 则之间的关系是：， 理由如下： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ，即， 由折叠的性质可知：， ． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景] 如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数； [变式运用] 如图②，在中，，求证：． 【答案】[问题背景]；[变式运用]见解析 【分析】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是： [问题背景]问题①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论； [变式运用]利用①的方法，将沿折痕翻折，点C的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证． 【详解】解：[问题背景]∵沿折痕翻折，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； [变式运用]证明：如图，沿折痕翻折，点C的对应点为点， ∵， ∴点落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（2023八年级上·全国·专题练习）有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处．    (1)如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由． (2)当时，设． ①试用含x的代数式表示的度数． ②探究是否可能平分，若可能，求出此时的度数；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)猜想：，见解析 (2)①当点B落在内部时，，当点B落在内部时，；②可能，当点B落在内部时，；当点B落在内部时， 【分析】（1）利用翻折变换的性质和角的计算即可； （2）①根据已知条件，分两种情况：当点B落在内部时，当点B落在内部时，做出草图，通过角的和差计算即可； ②假设能平分，分两种情况：当点B落在内部时，当点B落在内部时，做出草图，通过角平分线的性质和①计算即可． 【详解】（1）解：猜想：． ∵， 由折叠可知，，， ∴． （2）①如图，当点B落在内部时，    ∵，，， 则，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点B落在内部时，    ∵，，， 则，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当点B落在内部时，，当点B落在内部时，； ②可能． 由①知，当点B落在内部时， 若平分，此时，，，， 即， 解得： ， ∴； 当点B落在内部时，， ∵平分， ∴， 即， 解得：， ∴ 综上所述：当点B落在内部时，；当点B落在内部时，． 【点睛】考查了翻折变换的性质、角的计算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 三．根据作图痕迹画图求解（共4小题） 10．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键． 观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长． 【详解】由作图痕迹，知道是的角平分线，且 是的角平分线，， 在和中，， ，， 的周长为6 故选D． 11．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C．∠ D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图象信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴，故选项C正确． 故选：C． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出 °． 【答案】70 【分析】本题考查了尺规作图的知识，解题的关键是根据作图痕迹得到平分． 首先根据作图痕迹得到平分，然后利用三角形外角的性质求得的度数即可． 【详解】解：， ， 观察作图痕迹知：平分， ， ， 故答案为：70． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 四．设计轴对称图形（共3小题） 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    15．（2024八年级上·江苏·专题练习）某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称图形的性质得出是解题关键． （1）根据图形是一个轴对称图形，且有4条对称轴，进而得出结合轴对称图形的性质得出； （2）去掉一行上的左右两粒棋子即可符合要求的答案； （3）根据题意可以去掉8个棋子，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示： （2）解：如图3所示： （3）解：如图4所示： 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴；②4 (2)见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力． （1）观察图形即可得出答案． （2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形． 【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴． ②∵每个小正方形的边长都是1， ∴图甲中阴影部分的面积． （2）所设计图形如下所示：（答案不唯一） 五．等腰三角形的分类讨论（共6小题） 17．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）已知等腰的一个角是，则的底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据已知角为顶角和底角，分类讨论即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知，分两种情况： （）当这个的角为顶角时，则底角； （）当这个的角为底角时，则另一底角也为； 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·云南楚雄·期中）若一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长． 因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，再根据三角形三边关系进行判断，最后将三边相加即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，其底边长为，两条腰长均为， ∵ ∴，，不可以构成三角形； 当等腰三角形的腰长为时，其底边长为，两条腰长均为， ∵ ∴，，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰，底边，根据题意，分类表示周长，构造方程组解答，结合三角形的存在性，判断取舍解答即可． 【详解】解：设腰，底边， ∵一腰上的中线将它的周长分成和两部分， ∴或 ∴或， ∴等腰三角形的三边长分别为，，或，， ∵， ∴两种情况下，三角形都存在， ∴等腰三角形的腰长为或， 故答案为：或．    【点睛】此题主要考查了中线定义，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．列出方程组是正确解答本题的关键． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若等腰三角形的周长为14，一边是4，则此等腰三角形的腰长是 ． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理的应用．分腰长为4和底边长为4两种情况，分别利用三角形三边关系定理进行验证即可． 【详解】解：分情况讨论： ①若腰长为4，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形； ②若底边长为4，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上分析可知：此等腰三角形的腰长为4或5． 故答案为：4或5． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 故顶角为：或． 22．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、一元一次方程的应用，分三种情况，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若两腰长分别为和，则，解得， 腰长为， ∵等腰三角形的周长为13， 故此时不符合题意，舍去； ②若腰长为，底边长为，则，解得， ，，此时三角形三条边为，，，不满足三角形三边关系，故不符合题意，舍去； ③若底边长为，腰长为，则，解得， ，，此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为， 故答案为：． 六．等腰三角形的性质与判定综合（共4小题） 23．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定；证明两个三角形全等是解答本题的关键． （1）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，证明即可． （2）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，进而有，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴； （2）解：仍有； 证明如下： ∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴；    24．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的应用等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或或8 (3)运动时间的值为2或或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据点的运动速度及运动路径，进行计算即可； （2）分四种情况：当点在上，当时，此时点与点重合；当点在上，当时；当点在上，当时；当点在上，当时，此时点与点重合；分别利用等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可得到答案； （3）分四种情况：当点在上，点在上时；当点都在上时，此时重合；当点在上，点在上时；当点在点，点在上时；分别建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： 当点在边上时，， ， 点在边上时，， ， 故答案为：，； （2）解：在中，，，，，点是的中点， ， 是以为腰的等腰三角形， 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 则， ， 当点在上，当时，如图， ，， ， 解得：； 当点在上，当时，如图， ，， ， 解得：； 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 此时， 解得：， 综上所述，是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或； （3）解： 与全等， 斜边斜边， 当点在上，点在上时，如图， ，，， ，， ， ， 解得：； 当点都在上时，此时重合，如图， ，，， ，， ， ， 解得：； 当点在上，点在上时，如图， ，，， ，， ， ， 解得：，不符合题意； 当点在点，点在上时，如图， ，， ， ，， ， 解得：； 综上所述，运动时间的值为2或或6． 七．找出图中的等腰三角形（共3小题） 27．（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 28．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）先证明，根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定方法判断即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ （）， ∴． （2）如图： 由（1）可知， ∴是等腰三角形； ∵点E是的中点，， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故等腰三角形有，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 八．根据已知两点判定能构成等腰三角形的第三点个数（共4小题） 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 31．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 32．（2024八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，满足条件的点P的个数为8个． 故选：D． 33．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 九．等边三角形性质与判定综合（共4小题） 34．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． (1)如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证：； (2)当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）如图1中，作交于M．首先证明．再证明，推出，即可证明； （2）如图2中，作交的延长线于M．首先证明．再证明，推出，即可证明；如图3中，作交的延长线于M．首先证明．再证明，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，作交于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）结论不变．． 选图2情况．证明：如图2中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 选图3情况． 证明：如图3中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 35．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）已知等腰三角形中，，，交延长线于点，为的延长线，点从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：； (3)在点运动过程中，连接，当点运动多少秒时，线段长度取到最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得出，，，即可证； （2）在线段上取点T，使．由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出，从而可证为等边三角形，结合题意易证 ，得出，即； （3）分当点D与点E在直线同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题即得解． 【详解】（1）证明：∵为等腰三角形， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：如图，在线段上取点T，使． ∵为等腰三角形，且， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分类讨论：①当点D与点E在直线同侧时， 由（2）中有：是等边三角形，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点D与点E在直线两侧时，在上截取，如图， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知即运动过程中，所在的直线平分，即点E在的角平分线l上运动，如图， ∴当时，取到最短，此时，点D与点E在直线同侧， ∵中， ， ∴． ∵中， ， ， ∴ ∴根据（2）的结论，有， ∴ ∴当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）10 【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， 故答案为： ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 37．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）教材回顾：我们在学习完等腰三角形的轴对称性后，教材设置了这样一道题目： 如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，与相等吗？我们通过证明，得出，的理由是 ； 拓展思考：（1）设与的交点记为点，与的交点记为点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想（可直接使用结论）； 自主探究：若和在直线的异侧，其余条件不变，如图所示，与的延长线交与点，与的延长线于点，与交于点，连接． （2）求证：； （3） ； 思维发散：（4）如图，若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，请你参考以上探究过程，在图中画出图形的一种情况，并结合图形写出条结论（等边三角形的性质除外）． 【答案】教材回顾： 拓展思考：（1），证明见解析 自主探究： （2）证明见解析 （3） 思维发散：（4）图见解析；条结论：，；理由见解析 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得；（1）由全等三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，进而可得，于是可证得，于是可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，根据内错角相等两直线平行可得结论；（2）利用可证得，于是有，，即，然后利用可证得，于是可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，根据同位角相等两直线平行可得结论；（3）由（2）可得：，，利用三角形外角的性质可得，利用邻补角互补即可求得的度数；（4）若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，在图中画出图形的一种情况，并结合图形写出条结论：；；利用可证得，于是有，，利用三角形外角的性质及三角形的内角和定理可求得，然后根据邻补角互补即可求出的度数，于是可得结论． 【详解】解：的理由是，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， 故答案为：； （1），理由如下： ， ， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （2）证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ，， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （3）由（2）可得：，， ， ， 故答案为：； （4）若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，在图中画出图形的一种情况如下： 结合图形写出条结论：，， 理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ， ， 即：， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，利用邻补角互补求角度，同位角相等两直线平行，三角形外角的性质，对顶角相等，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 一十．含30°角的直角三角形（共3小题） 38．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，分别是边 上的点，且，且交于点，且 ，垂足为 ． (1)求证：； (2)若 ，求 的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由是等边三角形，得，，，证明，即可得到； （）利用由（），，则，又，即，得到，根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，可求出 的长即可求出的长，从而求解； 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，三角形外角得性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，等边中，D，E分别在边上运动，且始终保持，点D、E始终不与等边的顶点重合，连接交于点． (1)试说明； (2)求度数； (3)点在射线上，当，为直角三角形时，________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8或2 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，由即可证得； （2）由得出，由三角形外角的性质即可解答； （3）根据（2）可得，分为当时，和当时，根据30度直角三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ． （3）解：根据（2）可得， ∴分为当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 综上，当为直角三角形时，或2． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 40．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 一十一．直角三角形斜边的中线的性质求解（共4小题） 41．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的中点． (1)，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)20； (2)垂直平分，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及线段垂直平分线的判定，熟记性质是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再由，，可得答案； （2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上判断证明即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， 和均是直角三角形， 分别是的中点， ，， 四边形的周长； （2）解：与的位置关系：垂直平分． 证明：由（1）得，，， 点均在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 42．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； （3）根据，于是得到，推出是等腰三角形，结合垂直，得结论． 【详解】（1）证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 43．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据、分别是、边上的高，可得和都是直角三角形，又因为点是边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的三线合一可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可得，等量代换可证结果． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接、， 、分别是、边上的高， ， 在和中，点是斜边的中点， ，， ， 是等腰三角形， 点为底边的中点， ． （2）解：． 理由如下： 在中，， 由（1）可知， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一． 44．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在四边形中，，E是的中点． (1)如图①，点F为中点． ①求证：； ②若，则的面积为______； (2)如图②，若，延长交于点F，且，求的度数为______． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用等腰三角形的性质即可得到； ②利用四边形内角和定理求得，利用等边对等角结合三角形的外角性质求得，利用三角形的面积公式求解即可； （2）先证明，可得，，可证得  ，设的度数为，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，然后根据，可得，从而得到，进一步计算即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，E是的中点， ∴， ∵点F为中点， ∴； ②∵四边形中，， ∴， ∵，E是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （2）解：在和中，， ∵， ， ，， 又， ， 设的度数为， ∵在中，，E是AC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 一十二．将军饮马问题（共6小题） 45．（24-25八年级上·湖南·期中）如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值． 【答案】画图见解析，12 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，等边三角形的判定与性质，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．根据轴对称图形的性质，作出P关于、的对称点、，连接，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，分别作P关于、的对称点、，连接，，，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴周长为， 当、C、D、四点共线时，周长取最小值，最小值为12． 47．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么； （2）作点P关于的对称点和，连接、、、．那么的周长最小值即为的长，易得为等边三角形，那么，所以． 【详解】（1）解：∵点P关于射线的对称点是G， ∴． ∵点P关于射线的对称点是H， ∴． ∵， ∴； （2）解：作点P关于的对称点和，连接、、、． ∴，，，，，． ∵的周长最小值为6，， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 48．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可； （2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：    ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． 【点睛】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 49．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 50．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 一十三．等腰三角形的动点问题（共5小题） 51．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 52．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：① 、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 53．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 54．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 55．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为．    (1)当点D沿射线运动时，若，求t的值． (2)当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作，根据等腰直角三角形性质得到， 根据，得到，根据角平分线性质得到，根据，得到，根据，得到，解得； （2）当与全等时， ，得到，解得． 【详解】（1）解：过点B作， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 检验知，都是所列方程的解， ∴的值为；    （2）解：当与全等时， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．    【点睛】本题是全等三角形综合题．考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论是解决问题的关键． $$