专题12 二次函数综合题线段周长问题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题12 二次函数综合题线段周长问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 周长最小】 1 【题型2 线段差值最大】 25 【题型3 线段和的最值】 49 【题型4 含根号的线段和的最值】 68 【题型1 周长最小】 1．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在轴上有一动点，连接，，若的周长最小，求点的坐标． (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否将分成面积比为的两部分？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段最值问题，待定系数法求解析式． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的周长最小，进而得出直线的解析式为，求得点的坐标； （3）先求得直线的解析式为，设 ，分别求得的长，根据题意可得或，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：作关于轴的对称点， 则， ∴，的周长为， 当在上时的周长最小， 连接交轴于点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴； （3）解：能，的坐标为：，理由如下： 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设 ， ∵轴于点，交直线于点， ∴，，， ∴， ∵直线将分成面积比为的两部分， ∴或， ∴①或②， 解方程①得（舍去）或（舍去），解方程②得或（舍去）， 当时，， ∴的坐标为． 2．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 3．已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E (1)求这个抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为，，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当三点共线时，的值最小，此时得的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点； （3）设，而， 可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， ； （2）解：存在点P，使得的周长最小， 理由如下：如图，连接，交对称轴于， 令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ， ∴当三点共线时，的值最小，长度固定不变，此时得的周长最小， 设直线的解析式为， 则，解得， ， ∴当时，， ． （3）解：存在点，使得为直角三角形， 理由如下：设，而， ， 当时，，解得， 或； 当时，，解得， ； 当时，，解得， ； 综上所述：点坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 4．如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)存在的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为，理由见详解 (3)直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点为，运用顶点坐标公式，代入计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算可得，如图所示，作点关于轴对称点，则，连接，当点三点共线时，的值最小，最小值为，的周长为，此时周长最小，设直线的解析式为，运用待定系数法可得直线的解析式为，由此可得点的坐标，再根据两点之间距离公式的运用可得的长，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，设，根据题意，分类讨论：①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点，由坐标与图形的关系可得，结合，可解；②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点，同理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，顶点为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，作点关于轴对称点，则，连接， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， ∵的周长为， ∴的周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为； （3）解：由（1）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上方抛物线上的一个动点， ∴设， ①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点， ∴，， ∴， ∵直线将四边形的面积分为的两部分， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入直线得，， 解得，，， ∴不符合题意，，此时直线的解析式为； ②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点， 同理，，， ∴， 解得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，把点代入得，， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形-轴对称最短路径，二次函数与四边形的综合，两点之间的距离公式的运用，二次函数与图形面积的计算，掌握二次函数与几何图形的综合，两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 5．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 6．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，四边形周长的最小值为9 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题． （1）设交点式为，然后把点坐标代入求出，于是得到抛物线解析式为； （2）先确定抛物线的对称轴为直线，连接交直线于点，如图，利用对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到最短，于是可判断此时四边形的周长最小，然后计算出，再计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）存在． 因为、， 所以抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点，如图，则，，此时最短， 所以此时四边形的周长最小， 因为， 所以四边形周长的最小值为． 7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 8．如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，对称轴公式求出对称轴即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，进行求解即可； （3）根据，得到点的纵坐标为，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴， ∴对称轴为直线：； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， 连接， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，点与点关于对称轴对称， ∴， 当时，，此方程无解， ∴． 9．已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 10．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的周长的最小值为，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当四边形是菱形时，则，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 当四边形是菱形时，则， 即， 解得：， 即点； （3）解：由（1）得抛物线解析式为 当时， ∴ 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小， 理由：四边形的周长为最小， 则， 即四边形的周长的最小值为， 设直线的表达式为， 把、代入，得 ，解得： ∴直线的表达式为：， 令，则， 解得： ∴， 令，则 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，轴对称求最短路径问题，勾股定理，菱形的判定与性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【题型2 线段差值最大】 11．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 12．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． (1)求二次函数的解析式； (2)点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标； (3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点，使，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作C点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点P，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为P点； （3）设，分点E在对称轴左侧和右侧两种情况利用中点坐标公式结合平行四边形的性质列式求出点E的横坐标，即可得出点E的纵坐标，即可解决问题 【详解】（1）将，，代入，得： ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线 作C点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点P， ∵， ∴，此时有最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴， 当时， ∴； （3）①当点E在对称轴右侧，若为的对角线时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； 若为的边时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； ②当点E在对称轴左侧，若为的边时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； 综上，点E的坐标为、或 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)M到B、C两点的距离之差的绝对值最大值为，点M的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入即可求解，利用二次函数的对称性求得，再利用待定系数法求解即可； （2）延长交对称轴于点，由对称性知此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长，据此求解即可； （3）分点在点的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点、的坐标关系，用点的坐标表示出点的坐标，然后把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵顶点D坐标为，且B坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：延长交对称轴于点， ∵点和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴M到B、C两点的距离之差的绝对值为， 此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长， ∵，， ∴， 时，， ∴点M的坐标为； （3）解：直线， ∴且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得（舍去），， 所以，点的坐标为； ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 所以，点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论． 14．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识点， （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点，且它的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 设抛物线解析式为，把代入，得， 解得：， ∴， 故此抛物线的解析式为； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，      ∴设， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点H，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为； （3）设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 当的值最大时，A、B、P在同一条直线上， ∵P是抛物线上的动点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 此时，．    15．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为；②， 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； ②运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【详解】（1）抛物线过点且它的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 设抛物线的表达式为， 把代入，得，解得， 则． 故此抛物线的表达式为． （2）①点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限， 设． 设直线得解析式为，则， 解得， 直线的解析式为，    设直线与抛物线对称轴交于点，则， ． ， ， （正值已舍）． 即点的坐标为． ②由可知，当点在线段的延长线上时，如图，取最大值，最大值为的长．    设直线的解析式为． 把分别代入，得 解得 直线的解析式为． 令，解得（舍去）． 对于， 当时，， 此时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 16．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 17．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，可设抛物线的解析式为，再把代入，即可求解； （2）根据抛物线的性质可得，从而得到当A，C，P共线时，的值最大，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或4， ∴， 由题意设抛物线的解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∵抛物线与是“共根抛物线”，， ∴抛物线、的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点为P， ∴点P在直线上， ∴， ∴， 如图，当A，C，P共线时，的值最大， 此时点P为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∵直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 18．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为或或或； (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）直线与轴交于点， 令，则 点坐标为， 线段，直线与x轴交于B点， ， ∵抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点， 将、坐标代入 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键． 19．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)作直线，为上一点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，代入点，求解即可； （2）由对称性可知，则，可知当，，三点在一条直线上时，的值最大为的长，求出直线的解析式，再求出与抛物线的对称轴的交点坐标即可； （3）设交于点，易证，利用其性质列出比例式，求得，可得，求出直线的解析式为，再求出直线的交点坐标即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为：． （2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最大，理由： 令，则，解得：或． ∵点在点的左侧， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴． ∴． ∵， ∴当，，三点在一条直线上时，的值最大为的长． 设直线的解析式为，由题意得： ，解得：． ∴直线的解析式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴． ∴在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最大，此时点的坐标为． （3）设交于点，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∴．解得：． ∴直线的解析式为． ∴，解得：． ∴． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)存在点Q，理由见解析，点Q的坐标为． (3)点P的坐标为)或(，)或(，)． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答即可； （2）如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，再求出点C的坐标，由待定系数法可得的解析式为，最后根据二次函数的性质求得最大时点Q的坐标即可； （3）如图：过点P作轴交于点F，连接，再求得，，进而得到直线BC的解析式为，设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m， )，则，再结合可得，然后解绝对值求得m的值即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴ ，解得： ，                                   ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在点Q．理由如下： 如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大， 令，则 ∴， ∵， ∴运用待定系数法可得直线的解析式为           ∵对称轴为， ∴当时，， ∴点Q的坐标为 ．                                             …… （3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接， ∵， ∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，                                  设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m， ) ∴，       ∵， ∴，即,整理得：， ∴， 由得， ∴此时点P的坐标为(，)， 由得 ，， ∴此时点P的坐标为(，)或(，), 综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)． 【题型3 线段和的最值】 21．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 22．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 23．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）解：如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）解：①当点P在x轴上方时，如图中， ∵，则，， 过点B作于点H，则， 设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 24．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)连结，求的面积． (2)若抛物线上一点，满足的面积是的面积的一半，求点坐标． (3)若抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，面积问题，轴对称求线段和最短距离： （1）分别令得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而令，代入解析式，解方程，即可求解； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． 当时，， ∴ 当时， 解得： ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵的面积是的面积的一半， ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 综上所述，则或或或 （3）解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 25．如图，已知题抛物线经过两点，交y轴与点C (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求直线的解析式 (3)在抛物线的对称轴上有一点P求出使的值最小时点P的坐标，并求出此时的最小值 (4)若点M是直线上方抛物线上的一个动点（点M不与点重合），求面积的最大值及点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，的值最小为 (4)的面积最大值为8，点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）设的解析式为，把两点坐标代入，转化为方程组解决． （3）可以连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长． （4）如图， 设， 过作轴交直线于， 根据三角形的面积公式得到的面积， 根据二次函数的性质即可得到结论．． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，则， ∴． 设直线的解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （3）解：如图中， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意关于抛物线的对称轴直线对称， 连接交直线于点， 连接，此时的值最小，最小值为 ， ∵直线的解析式为， ∴时，， ∴点． （4）解：如图，设， 过作轴交直线于， 由（2）知，直线的解析式为， ， ， ， 故当时，的面积最大，最大值为8，点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；二次函数的性质． 26．如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的长， 由（2）知：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 27．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，再根据进行求解即可； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 28．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)有最大值为4，此时； (3)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，掌握二次函数的基本性质，掌握轴对称的性质． （1）利用对称轴求出a的值，再令，求出，，因为点在A点右侧，所以，； （2）求出，再求出直线的解析式为：，表示出，，得到，所以当时，有最大值为：4，此时； （3）由（2）可知：，证明与对称轴的交点即为点Q，且此时的值最小，求出直线的解析式为：，令，得，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式， 令，解得：，， ∵点在A点右侧， ∴，， （2）解：令，将其代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， ∴． 过点作轴的垂线交直线于点， ∵点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合）， 故设，则， ∴ ∴当时，有最大值为4， 此时． （3）解：由（2）可知： ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴连接，与对称轴的交点即为点Q，此时的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得： ∴， 令，得， ∴． 29．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 30．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，为抛物线与轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴和点的坐标，求出点的坐标，代入抛物线解析式，即可求解， （2）将代入，求出点坐标，由，根据两点之间线段最短，当点在线段上时，的值最小，求出直线的解析式，当时，即可求解， （3）设点横坐标为，由，得到，解得：，分别代入抛物线方程，即可求解， 本题考查了，求抛物线解析式，两点之间线段最短，轴对称的性质，二次函数综合，解题的关键是：熟练掌握数形结合思想． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：， （2）解：将代入，得：， ∴， ∵在抛物线的对称轴上， ∴， ∴，当点在线段上时，的值最小， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故答案为：， （3）解：设点横坐标为， ∵， ∴，即：，解得：， 当时，，点坐标为， 当时，，点坐标为， 故P点坐标为：或． 【题型4 含根号的线段和的最值】 31．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且． (1)求直线和直线的解析式； (2)点P是线段上一点，点D是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点G，过点P作轴于点E，于点F．当与的乘积最大时，在线段上找一点H（不与点A，点B重合），使的值最小，求点H的坐标和的最小值； (3)如图2，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是t（），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为 (2)， (3)t的值为或或0 【分析】（1）根据，求出三角形相似的相似比为，从而求出，继而求出点的坐标，用待定系数法求出直线解析式． （2）先判断出最大时，也最大，再求出最大时，再简单的计算即可； （3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得，，，最后分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：点是二次函数图象的顶点， ， 轴，轴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， 把代入二次函数解析式中，可得， （舍， ， 的坐标为， ∴，解得：， 直线解析式为， ，， 同法可得：直线解析式为． （2）解：如图1， 设点， ， ，， 固定不变， 的值固定， 最大时，也最大， ， 当时，最大， 即：最大．此时， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 过作轴的平行线， ∴， ， ∴， 当和在一条直线上时，的值最小， 此时，最小值为； （3）解：令直线与轴交于点， ，， 沿直线平移时，横坐标平移时，纵坐标则平移，平移后，， ，，， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时． 综上：t的值为或或0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值为， 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【详解】（1）解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 33．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点P的坐标； ③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得 ∴点P的坐标为， 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点（），过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 34．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可； （2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， ∵， ∴点的坐标为， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线， ∴将代入，得：， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵，， ∴直线的解析式为：， ∵点在抛物线上，且位于直线下方， ∴设，其中，， 如图所示，作轴，交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 整理可得：，其中， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入，得：， ∴此时点的坐标为；    （3）解：存在最小值，理由如下： 如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为， 分别连接，，，则，，    ∴在中，， ∴随着点的运动，总有， ∴， 要使得取得最小值，即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，    此时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键． 35．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)，直线 (2)或 (3) 【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式； （2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论； （3）过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线， ，解得， 抛物线的解析式为：； 其对称轴为直线，即； （2）设对称轴直线交轴于点，作于，    由旋转的性质可知：， ，， ， 又， ， ，， 设点 ， ①当点在轴上方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； ②当点在轴下方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． （3）令，解得或， ， 直线的解析式：； 如图，过点作于点，交于点， 设点，， ， ， 当时，的面积有最大值， ，． 作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，   ，， ， ， 的最小值为， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键． 36．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 37．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点在点的左侧，且．直线与轴的交点为点，与轴的夹角，与抛物线交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴交直线于点，点是抛物线上一点，且位于第三象限，连接．点为抛物线对称轴上动点，过点作轴交轴于点N（M、N位于直线的下方）．当面积最大时，求的最小值． (3)点为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得点B、D、R、S构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）先求出，进而求出，则，由此得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，再直线的解析式为，联立抛物线与直线的解析式求出；；过点P作轴交于K， 设，则，得到，由，得到当最大时，的面积最大，据此求出，如图所示，过点C作于F，以为边在右边作等边，过点M作于H，则四边形为矩形， 推出，则当三点共线时，有最小值，此时M在的位置，则，求出，则，，由此即可得到答案； （3）设，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用菱形对角线中点坐标相同结合四边相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立， 解得或， ∴； 在中，令，则， ∴； 过点P作轴交于K， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， ∴当时，最大，即的面积最大， ∴，， 由题意得，； 如图所示，过点C作于F，以为边在右边作等边，过点M作于H，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，此时M在的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：设， 当为对角线时，由菱形对角线中点坐标相同且得： ， 解得， ∴； 当为对角线时，同理得： ， 解得或 ∴或； 当为对角线时，同理得： ， 解得或 ∴或； 综上所述，点R的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 38．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②的最大面积为，此时P点的坐标为；③ 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了待定系数法、面积问题、线段问题等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把两点坐标代入求得b、c的值即可解答； （2）①作轴于点H，易证为直角三角形，再证是等腰直角三角形，求出即可证明结论；②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可；③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把两点坐标代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 当时，，即， 作轴于点H，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点 ， 如图：过点P作轴于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为，， ∴． ③设点 ， 如图：过点P作轴于点N，交于点E， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)点为第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴交于点．请求出的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时 (3)最大值为，点D的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案； （3）先求直线表达式，延长交轴于点，设点坐标为，则，，表示出并求出二次函数最值即可解决． 【详解】（1）解：把，代入抛物线表达式， ，解得， 抛物线表达式为； （2）解：过点作轴交线段于，如图所示： 由（1）知抛物线表达式为， 设， 、， 设直线：，将、代入得，解得， ：，则 ， ， 当时，有最大值，为，此时； （3）解：设直线表达式为，把，，代入， ，解得：， 直线表达式为， 延长交轴于点，如图所示： 轴， ， ， ， ， 在中，， 设点坐标为，则，， ，， ， ， 当时，有最大值为，此时把代入抛物线表达式，得， ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数关系式、二次函数与三角形面积问题、二次函数的图象与性质求最值、二次函数图象的动点问题、勾股定理等内容，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 40．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且． （）求直线和直线的解析式． （2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点，当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值． （）如图，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是，平移后抛物线使点，点的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值． 【答案】（1），； （2）点，． （3），t的值为，或． 【详解】试题分析： 试题解析：（）代入得， ∴一次函数表达式为， ∵， ∴ ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的坐标为，代入二次函数， 解得，， ∵在第一象限， ∴，点， ∵是二次函数的顶点， ∴， 设直线、解析式分别为，， 将，代入直线解析式得解得． 将，代入直线解析式得，解得． ∴，． （）如图所示，与交点为， 过作轴的平行线， 过作的垂线，交于点，连接， 设点，则， ，， ， ∵， 且比值为常数， 当最大时，的值也最大， ， 当时，取最大值， 也最大，此时点． 代入二次函数得， 得或（舍）， ∴， 令，得， ， 为等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 要使的值最小，即使的值最小， 当垂直时，的值最小， 此时，代入直线解析式得， ∴点， ． （）如图所示，直线与轴交于点，过作轴的垂线，垂足为， 令，可求得，的坐标为． ， ， 设横坐标平移，纵坐标平移， ，， ， ， ①当时， ． ②当时， ，解得． ． ③当时， ，解得， ， 综上所述，的值为，或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数综合题线段周长问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 周长最小】 1 【题型2 线段差值最大】 5 【题型3 线段和的最值】 10 【题型4 含根号的线段和的最值】 14 【题型1 周长最小】 1．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在轴上有一动点，连接，，若的周长最小，求点的坐标． (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否将分成面积比为的两部分？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 2．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E (1)求这个抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 4．如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 5．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 9．已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 【题型2 线段差值最大】 11．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 12．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． (1)求二次函数的解析式； (2)点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标； (3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点，使，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．      (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在（2）的条件下，当点B在第一象限时，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 15．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 16．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 17．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 18．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 19．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)作直线，为上一点，连接，当时，求点的坐标． 20．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，若，求点P的坐标． 【题型3 线段和的最值】 21．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 22．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 23．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)连结，求的面积． (2)若抛物线上一点，满足的面积是的面积的一半，求点坐标． (3)若抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 25．如图，已知题抛物线经过两点，交y轴与点C (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求直线的解析式 (3)在抛物线的对称轴上有一点P求出使的值最小时点P的坐标，并求出此时的最小值 (4)若点M是直线上方抛物线上的一个动点（点M不与点重合），求面积的最大值及点M的坐标． 26．如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 27．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 28．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 29．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 30．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，为抛物线与轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【题型4 含根号的线段和的最值】 31．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且． (1)求直线和直线的解析式； (2)点P是线段上一点，点D是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点G，过点P作轴于点E，于点F．当与的乘积最大时，在线段上找一点H（不与点A，点B重合），使的值最小，求点H的坐标和的最小值； (3)如图2，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是t（），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 33．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点P的坐标； ③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 34．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 35．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值．   36．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 37．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点在点的左侧，且．直线与轴的交点为点，与轴的夹角，与抛物线交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴交直线于点，点是抛物线上一点，且位于第三象限，连接．点为抛物线对称轴上动点，过点作轴交轴于点N（M、N位于直线的下方）．当面积最大时，求的最小值． (3)点为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得点B、D、R、S构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)点为第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴交于点．请求出的最大值及此时点的坐标． 40．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且． （）求直线和直线的解析式． （2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点，当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值． （）如图，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是，平移后抛物线使点，点的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$