串讲01 直线与方程（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

高二数学上学期·期末复习大串讲 串讲01 直线与方程 苏教版（2019） 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 十一大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝________. 1.直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则____就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_______与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________. x轴正向 向上 0°≤α<180° 正切值 tan α 名称 方程 适用范围 点斜式 ______________ 不含直线x＝x0 斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ___________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ___________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 4.直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 知识梳理 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 ______________ ____________________________ 垂直 v1⊥v2 ___________ ______________ 相交 v1与v2不共线 ________ ______________ 5.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝ ，l4的法向量v2＝ 的位置关系如下表： (A1，B1) (A2，B2) k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1 k1≠k2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 A1A2＋B1B2＝0 A1B2－A2B1≠0 知识梳理 6.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝____________________. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝_________. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_______. 知识梳理 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得， 解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线,关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点）,利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 常用结论+技巧点拨 常用结论+技巧点拨 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为 ． 03 题型剖析 十一大题型典例剖析+变式训练 【例1】（2024·高二·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为． 故答案为：． 题型一：斜率与倾斜角的关系 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 【答案】4 【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又，解得． 故答案为：4． 题型一：斜率与倾斜角的关系 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·重庆·期末）已知直线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，， 由直线，可得：， 因为，因为，所以． 故答案为： 题型一：斜率与倾斜角的关系 典型例题 【例2】（2024·高二·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即． 故选：D 题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1，4] 【答案】D 【解析】记为点，则直线PA的斜率， 直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1，4]． 故选：D． 题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是． 故选：B． 题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围 典型例题 【例3】（2024·高二·贵州黔西·期中）根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 【解析】（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即． （2）①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：， 即， 由①②知所求直线方程为或． 题型三：直线方程的求法及应用 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且． （1）求实数的值； （2）求边上的中线所在的直线方程． 【解析】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得． （2）由（1）知点，线段的中点为， 所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即． 题型三：直线方程的求法及应用 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线的直线方程； （2）求边上的高的直线方程 （3）求AC边的垂直平分线 【解析】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：． （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即． 题型三：直线方程的求法及应用 典型例题 【例4】（2024·高二·安徽黄山·期中）已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意． 所以． （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或． 题型四：两直线的平行与垂直 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·辽宁·期中）已知直线：，直线： （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或． 题型四：两直线的平行与垂直 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·江西九江·期末）（1）直线与直线 平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值． 【解析】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合，所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或． 题型四：两直线的平行与垂直 典型例题 【例5】（2024·高二·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：． 故选：B． 题型五：两直线的交点 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为． 故选：C 题型五：两直线的交点 典型例题 【例6】（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或． 故答案为：或 题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为． 故答案为：． 题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：． 故答案为： 题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题 典型例题 【例7】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为，故选：D． 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：A． 题型七：线段和差最值问题 典型例题 【例8】（2024·高二·安徽·期末）已知直线过点． （1）若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； （2）若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得，所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为，所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 题型八：直线与坐标轴围成的面积问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·四川南充·期中）直线方程为． （1）证明：无论为何值，直线过定点； （2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【解析】（1）因为直线的方程，即， 令，解得，所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为，且，，， 所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程． 题型八：直线与坐标轴围成的面积问题 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·陕西西安·期中）已知直线的方程为 ． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【解析】（1）由可得：， 令，解得，经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 题型八：直线与坐标轴围成的面积问题 典型例题 【例9】（2024·高二·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上． 故选：C． 题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题 典型例题 【变式9-2】（2024·高二·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为． 故答案为：． 题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题 典型例题 【例10】（2024·高二·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程． 【解析】设l与l1的交点坐标为，l与l2的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即， 解得 则l的方程为，即． 题型十：坐标法的应用 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy． （1）求点P到OC的距离； （2）求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【解析】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离； （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 题型十：坐标法的应用 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy． （1）求点P到OC的距离； （2）求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 题型十：坐标法的应用 典型例题 【例11】（2024·高二·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【答案】 2 3 【解析】对于①若则； 对于②，设，则， 函数图象如下所示：则． 故答案为：2；3 题型十一：距离新定义 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为． 题型十一：距离新定义 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 1.（2024·高二·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程化为截距式方程为， 因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 典型例题 2.（2024·高二·重庆九龙坡·期末）已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= . 【答案】0或2 【解析】两直线垂直，故，解得或2. 故答案为：或2 典型例题 3.（2024·高二·江苏南京·期末）求过两条直线 和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【解析】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 典型例题 4.（2024·高二·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【解析】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 典型例题 5.（2024·高二·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 典型例题 6.（2024·高一·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【解析】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 典型例题    ＝(x1≠x2，y1≠y2) ＋＝1 $$