猜题05 导数及其应用（考题猜想，易错必刷62题15种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

猜题05 导数及其应用（易错必刷62题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：导数的概念及导数的运算 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·高二·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 3．（2024·高二·辽宁鞍山·期末）已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：切线问题 5．（2024·高二·河南开封·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·吉林四平·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（    ） A． B． C．2 D．1 8．（2024·高二·江苏苏州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 题型三：单调区间（不含参数） 10．（2024·高二·福建莆田·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二·山西大同·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 题型四：含参数分类讨论的单调性 14．（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 15．（2024·高二·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 16．（2024·高二·四川乐山·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 17．（2024·高二·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 题型五：已知函数的单调性求参数 18．（2024·高二·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 19．（2024·高二·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 20．（2024·高二·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 21．（2024·高二·云南昆明·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则 ． 题型六：求函数的极值 22．（2024·高二·贵州安顺·期末）函数的所有极值之和为 . 23．（2024·高二·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 24．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知，函数有两个不同极值点，则 . 25．（2024·高二·江西南昌·期中）函数的极值为 . 题型七：根据极值或极值点求参数 26．（2024·高二·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 27．（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 28．（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 29．（2024·高二·吉林·期中）若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 题型八：求函数的最值 30．（2024·高二·广东·期末）当时，函数的最小值为 . 31．（2024·高二·北京延庆·期末）已知函数，则在区间上的最大值为 ． 32．（2024·高二·福建龙岩·期末）已知函数，则的最小值是 . 33．（2024·高二·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 34．（2024·高二·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 题型九：根据最值求参数 35．（2024·高二·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·高二·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：利用导数解决实际应用问题 38．（2024·高二·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 39．（2024·高二·云南昭通·期中）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ） A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 40．（2024·高二·天津和平·期末）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. (1)求的解析式； (2)求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 41．（2024·高二·广东·期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．    (1)设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 题型十一：证明不等式 42．（2024·高二·广东东莞·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是. (1)求实数的值； (2)若，求证：. 43．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 44．（2024·高二·广东茂名·期末）已知函数，. (1)若在点处的切线的斜率为1，求的极值； (2)若，证明：当时，. 45．（2024·高二·四川达州·期末）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)曲线在处的切线方程为，证明：． 题型十二：恒成立与能成立问题 46．（2024·高二·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 47．（2024·高二·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 48．（2024·高二·河北·期末）已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 49．（2024·高二·天津·期中）设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 题型十三：零点问题 50．（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 51．（2024·高二·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当（为自然对数的底数），时，讨论函数零点的个数． 52．（2024·高二·广西·期中）已知函数. (1)求的极值； (2)若有3个零点，求实数a的取值范围. 53．（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 题型十四：双变量问题 54．（2024·高二·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 55．（2024·高二·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 56．（2024·高二·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 57．（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 题型十五：利用构造函数解决不等式问题 58．（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为 . 59．（2024·高二·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 60．（2024·高二·重庆·期中）已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 . 61．（2024·高二·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 62．（2024·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为 . $$猜题05 导数及其应用（易错必刷62题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：导数的概念及导数的运算 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】，，，解得． 故选：C 2．（2024·高二·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 故选：B 3．（2024·高二·辽宁鞍山·期末）已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A 4．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 题型二：切线问题 5．（2024·高二·河南开封·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 所以函数在点处的切线斜率， 则切线方程为， 即切线方程为， 故选：D. 6．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，设切点为，切线的倾斜角为， 则且，故， 故，故， 故选：B 7．（2024·高二·吉林四平·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 8．（2024·高二·江苏苏州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：B 9．（2024·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【解析】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 题型三：单调区间（不含参数） 10．（2024·高二·福建莆田·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 11．（2024·高二·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 12．（2024·高二·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域是， 由已知，由得，∴减区间为， 故选：A． 13．（2024·高二·山西大同·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得其的定义域为，且， 令，解得，所以函数的单调递减区间是． 故选：B． 题型四：含参数分类讨论的单调性 14．（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 15．（2024·高二·吉林·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）因为，所以. 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， （2）. 若，则当时，，当时，. 若，则当时，， 当时，. 若，则在上恒成立. 若，则当时，，当时，. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 16．（2024·高二·四川乐山·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 17．（2024·高二·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 设，则， 令，得， 当即时，，， 此时在上单调递增； 当即时，，.，. 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型五：已知函数的单调性求参数 18．（2024·高二·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 故答案为：. 19．（2024·高二·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 20．（2024·高二·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．（2024·高二·云南昆明·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则 ． 【答案】4 【解析】对任意且，都有， 不妨设，对任意且，都有， 对任意且，都有， 设，对任意且，都有， 在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 显然时，在上不恒成立，， 在上恒成立， 在上恒成立， 又在上恒成立，证明如下: 设，， 当时，单调递减; 当时，单调递增， ，即， 在上恒成立， 故. 故答案为：4. 题型六：求函数的极值 22．（2024·高二·贵州安顺·期末）函数的所有极值之和为 . 【答案】4 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得或， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的所有极值之和为. 故答案为：4 23．（2024·高二·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 24．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知，函数有两个不同极值点，则 . 【答案】4. 【解析】由，可得， 令，即，解得， 所以. 故答案为：. 25．（2024·高二·江西南昌·期中）函数的极值为 . 【答案】/-0.375 【解析】函数的定义域为，则， 令，得， 则当x变化时，，y的变化情况如下表： x 2 + 0 - + 0 + y 递增 极大值 递减 递增 非极值 递增 所以当时，y有极大值，为 故答案为： 题型七：根据极值或极值点求参数 26．（2024·高二·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【解析】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为： 27．（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【解析】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 28．（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 29．（2024·高二·吉林·期中）若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由求导可得，， 因函数在区间上有极值， 则方程在区间上有实根， 故须使，（若，得，此时，函数在上无极值） 解得或 且方程在区间上有实根， 也即函数与在区间上有交点. 因在上递减，在上递增，且，， 故，即，解得，又或， 故a的取值范围为. 故答案为：. 题型八：求函数的最值 30．（2024·高二·广东·期末）当时，函数的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意可知，， 令，有或（舍）， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 31．（2024·高二·北京延庆·期末）已知函数，则在区间上的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的最大值为. 故答案为：. 32．（2024·高二·福建龙岩·期末）已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以时，，即，则单调递减， 所以时，，即，则单调递增， 所以. 故答案为： 33．（2024·高二·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 故答案为：1. 34．（2024·高二·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 题型九：根据最值求参数 35．（2024·高二·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 36．（2024·高二·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 37．（2024·高二·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 题型十：利用导数解决实际应用问题 38．（2024·高二·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【答案】A 【解析】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A 39．（2024·高二·云南昭通·期中）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ） A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 【答案】A 【解析】根据题意，设利润为万元，则，所以， 令，解得（舍去）或， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以应生产6千台该产品时，利润最大. 故选:A. 40．（2024·高二·天津和平·期末）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. (1)求的解析式； (2)求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 【解析】（1）依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积. （2）由（1）知，， 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时. 41．（2024·高二·广东·期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．    (1)设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 【解析】（1）由题意，，． 因，故． 设，则．因△ADP≌△CB'P，故． 由，得． （2）记凹多边形的面积为S，则 求导得， 当时，；当时，． 故函数S在上递增，在上递减． 所以当时，S取得最大值． 故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． 题型十一：证明不等式 42．（2024·高二·广东东莞·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是. (1)求实数的值； (2)若，求证：. 【解析】（1）由题， 所以由导数几何意义以及切线方程得， . （2）由（1）， 因为，故当时恒成立； 令，则在上恒成立，且当且仅当时， 所以在上单调递增， 所以，所以当时即恒成立， 所以当时，， 综上得：若，. 43．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 【解析】（1），，， 所以在点处的切线方程为. （2）证明：当时，；当时，， 所以求的最大值为只需讨论时，， 令，, 当时，，在上单调递减， ，，故，使得. 即. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以. 由于，，所以. 44．（2024·高二·广东茂名·期末）已知函数，. (1)若在点处的切线的斜率为1，求的极值； (2)若，证明：当时，. 【解析】（1）， 若在点处的切线的斜率为1，则，解得， 所以，， 令，解得， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以在有极小值，，无极大值； （2）若，则， 令， 所以， 令，则， 当时，，所以单调递减，所以， 即，所以在上单调递增， 所以， 可得，即. 45．（2024·高二·四川达州·期末）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)曲线在处的切线方程为，证明：． 【解析】（1）， 令，得或， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为； （2）由（1）可知，，且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 要证明，即证明 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以，即， 所以，命题得证. 题型十二：恒成立与能成立问题 46．（2024·高二·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 【解析】（1），， 由题意可知，，， 即，，得， 所以，，得， 如下表，的变化情况如表所示， 0 0 减 极小值 增 极大值 减 所以符合题意，所以； （2）因为函数，在时，， 在时，，且， 所以由（1）知，当时，函数有最小值， 又因为对任意，总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 对于的开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 47．（2024·高二·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，， 由，得，由，得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 因为只有一个极小值点，也是最小值点，且， 所以，不存在零点. （2），即. 令 构造函数， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 则. 故的取值范围为. 48．（2024·高二·河北·期末）已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题可知. 设，则. ①当时，在上恒成立， 所以在上单调递增. ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数. （2）①当时，在上单调递增，， 则在上单调递增，故成立； ②当时，，所以在上单调递增，， 则单调递增，故成立； ③当时，当时，在上单调递减， 又，所以在上单调递减，则不成立. 综上，的取值范围为. 49．（2024·高二·天津·期中）设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）若，，即，， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为. （3）因为，，整理得， 构建，可知在内单调递减， 则在内恒成立， 整理得在内恒成立， 对于可知：当时，取得最小值， 可得，所以的取值范围为. 题型十三：零点问题 50．（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【解析】（1）当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，在区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 51．（2024·高二·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当（为自然对数的底数），时，讨论函数零点的个数． 【解析】（1）当时，，则， 则， 所以切线方程为， 即． （2）， 当时，恒成立，则在单调递减， 当时，令得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 综上所述，当时，在单调递减， 当时，在单调递增，在单调递减． （3）当时，， 则，令， 则， 设，则， 所以在上单调递减，所以，所以恒成立， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又因为，当时，， 所以当时，无零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点． 52．（2024·高二·广西·期中）已知函数. (1)求的极值； (2)若有3个零点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 由得和， 的符号，的单调性和极值点如下表： －1 0 － 0 + 0 － 极小值 极大值 由上表可知，在处取得极小值，在处取得极大值a. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且，，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大， 所以当即时，有3个零点. 53．（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． （2）由(1)知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 0 + 极小 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 题型十四：双变量问题 54．（2024·高二·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 【解析】（1），设函数的图象上一点为， 则该点处的切线为， 即切线为， 解得或此时或切线的方程为或； （2）设，则，再设，则， 由得在上单调递增，同理得在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 容易得到当时，，当时，， 时，的最大值为，即， 由，得，而， 必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增， 而， 当时，， 当时，，即，当且仅当时等号成立， ，故当时，， 即当时，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，的最大值为8. 55．（2024·高二·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 【解析】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 56．（2024·高二·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【解析】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 57．（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【解析】（1）若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以的最大值为. 题型十五：利用构造函数解决不等式问题 58．（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，则， 因为对任意的实数，都有，则， 所以在上单调递减，且，则， 不等式，， 即，所以，即， 所以，解得，且，所以， 即不等式得解集为. 故答案为： 59．（2024·高二·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【解析】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 60．（2024·高二·重庆·期中）已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 考虑构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 不等式，可化为， 所以， 所以， 所以， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 61．（2024·高二·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】设，则， 因为，所以，所以在上单调递减； 不等式等价于，即， 因为，所以， 所以，即，解得. 故答案为： 62．（2024·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知，令，则， 所以在定义域内单调递增. 因为， 所以关于的不等式可化为， 即. 因为，所以， 即不等式的解集为. 故答案为：. $$