串讲02 圆与方程（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

高二数学上学期·期末复习大串讲 串讲02 圆与方程 苏教版（2019） 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 十一大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 定义 平面上到_____的距离等于_____的点的集合叫做圆 方 程  标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C_______ 半径为___  一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C___________ 半径r＝______________ 1.圆的定义和圆的方程 定点 定长 (a，b) r 知识梳理 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 知识梳理   相离 相切 相交 图形       量化  方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0  几何观点 d r d r d r < ＝ > > ＝ < 3.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 知识梳理   图形 量的关系 外离   __________ 外切   ___________ 相交   _______________ 4.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切   __________ 内含   ___________ d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 1.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝___________. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝______________ ________. 03 题型剖析 十一大题型典例剖析+变式训练 【例1】（2024·高二·河北石家庄·期末）圆心为，半径为5的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的方程为． 故答案为：． 题型一：圆的方程 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组，解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 题型一：圆的方程 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·新疆伊犁·期中）圆的圆心为，且与直线相切，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，圆的半径为点到直线的距离 ， 所以圆的标准方程为． 故答案为： 题型一：圆的方程 典型例题 【例2】（2024·高二·山东潍坊·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 【答案】A 【解析】由知 直线过， 而点在圆内， 所以直线与圆相交． 故选：A． 题型二：直线与圆的位置关系的判断 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【解析】由，即直线恒过， 而圆可化为， 所以，即点在圆内， 则直线与圆恒有2个交点． 故选：C 题型二：直线与圆的位置关系的判断 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由点满足到直线的距离为1，得， 即或，此时点在直线或上， 由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上， 点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点； 点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点， 所以符合要求的点的个数有3个．故选：C 题型二：直线与圆的位置关系的判断 典型例题 【例3】（2024·高二·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆的圆心坐标为， 且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为， 过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得． 故选：B． 题型三：切线问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为． 故选：A 题型三：切线问题 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或故选：B 题型三：切线问题 典型例题 【例4】（2024·高二·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】设，，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 题型四：切点弦问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 题型四：切点弦问题 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 题型四：切点弦问题 典型例题 【例5】（2024·高二·重庆北碚·期末）直线与 圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】 【解析】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为， 所以当时，弦AB的长度最短， 因为， 所以， 所以三角形ABC的面积为， 题型五：圆内接三角形与四边形面积问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与 交于，两点，则的面积为 ． 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为． 面积为． 故答案为：． 题型五：圆内接三角形与四边形面积问题 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知圆C与圆D：关于直线l：对称． （1）求圆C的方程； （2）若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【解析】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 题型五：圆内接三角形与四边形面积问题 典型例题 【例6】（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为． （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程． 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为． （2）设，． 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为． 题型六：轨迹问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径， 所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以， 化简得的轨迹方程为 题型六：轨迹问题 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·四川巴中·期中）已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ，解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），D，则，由E（3，0）及M为线段ED的中点得：，解得 又点D在圆C：上，所以有， 化简得：． 题型六：轨迹问题 典型例题 【例7】（2024·高二·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切． 故选：D 题型七：圆与圆的位置关系的判断 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【解析】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为． 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离． 故选：D 题型七：圆与圆的位置关系的判断 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解析】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选： C． 题型七：圆与圆的位置关系的判断 典型例题 【例8】（2024·高二·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】将两圆方程作差可得， 即． 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为． 故答案为：． 题型八：公共弦问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·安徽芜湖·期末）圆与 圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【解析】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为． 故答案为：． 题型八：公共弦问题 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·广东深圳·期末）圆与 圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【解析】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为． 故答案为： 题型八：公共弦问题 典型例题 【例9】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 题型九：公切线问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知， ，若与有四条公切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系， 由于，，， 所以，故，解得， 故答案为： 题型九：公切线问题 典型例题 【变式9-2】（2024·高二·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即． 题型九：公切线问题 典型例题 【例10】（2024·高二·山西吕梁·期末）已知圆． （1）求的取值范围； （2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值． 【解析】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是． （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以． 题型十：圆中范围与最值问题 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． （1）求点的轨迹方程； （2）已知，求的最大值． 【解析】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动，所以， 代入得， 化简得，所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 题型十：圆中范围与最值问题 典型例题 【例11】（2024·高一·云南昆明·期末）已知直线与圆相交于A，B两点 （1）若，求k （2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【解析】（1）由圆，得，圆心坐标为，半径为2， 到的距离为， 由点到直线的距离公式可得：，解得； （2）设， 联立，得， ， ， 设存在点满足题意，即， ， ， 即，解得． 存在点符合题意． 题型十一：定点定值问题 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·河北张家口·期末）已知直线与 圆交于两点． （1）当最大时，求直线的方程； （2）若，证明：为定值． 【解析】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为． （2）证明：设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值． 题型十一：定点定值问题 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 1.（2024·高二·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】圆，圆心，半径为3，如图，   为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 2.（2024·高二·河南漯河·期末）已知点在圆 外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 3.（2024·高二·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4.（2024·高二·陕西咸阳·期末）若直线与 圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 5.（2024·高二·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【解析】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 6.（2024·高二·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 2 · $$