第四章 计数原理知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第四章：计数原理 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成． 知识点2 排列 1、排列与排列数 （1）排列的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列． （2）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 2、排列数公式 （1）乘积形式：，其中，并且．特别地，从个不同元素取出个不同元素（即全部取出）排成一列，叫做个元素的一个全排列，此时． （2）阶乘：正整数1到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定． （3）阶乘形式：． 知识点3 组合 1、组合 （1）组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合． （2）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出． （3）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． 2、组合数及其性质 （1）组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式：（，且）． （3）组合数的性质：；；规定． 知识点4 二项式定理 1、二项式定理及相关概念 （1）定义：公式称为二项式定理． （2）二项展开式：． （3）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数． （4）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：． （5）在二项式定理中，若设，，则得到公式． 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为． 3、二项式定理系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． （2）单调性和最大值：当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小． ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）各二项式系数的和：令，则二项式系数的和为． 题型一 两种计数原理的应用 【例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·月考）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【变式1-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（    ） A． B． C．24 D．10 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·江西上饶·月考）汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有 种选择方法． 题型二 数字组数问题 【例2】（23-24高二下·四川南充·月考）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（    ） A．16 B．48 C．75 D．96 【变式2-1】（23-24高二下·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】（23-24高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（    ） A．48个 B．24个 C．18个 D．12个 【变式2-3】（23-24高二下·青海西宁·期中）有0，1，2，3，4五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码? (2)可以组成多少个无重复数字的四位数? 题型三 涂色与种植问题 【例3】（23-24高二下·广东肇庆·月考）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（    ） 1 3 4 2 5 A．120 B．72 C．288 D．144 【变式3-1】（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．26 C．340 D．420 【变式3-2】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法. 【变式3-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 题型四 排列数的相关计算 【例4】（23-24高二下·浙江台州·期中），则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·江苏·月考）（多选）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 题型五 排队问题 【例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【变式5-1】（23-24高二下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【变式5-2】（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【变式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 题型六 排数问题 【例6】（23-24高二下·江苏南京·期中）用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·广东东莞·期中）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．15 B．30 C．36 D．72 【变式6-2】（22-23高二下·陕西渭南·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有 . 【变式6-3】（22-23高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 题型七 组合数的相关计算 【例7】（23-24高二上·江苏常州·月考）化简：= （    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·上海·月考）已知x为正整数，若，则 . 【变式7-2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【变式7-3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 题型八 几何组合计算问题 【例8】（24-25高二上·陕西西安·月考）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 【变式8-1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（    ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【变式8-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【变式8-3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 题型九 分组分配问题 【例9】（23-24高二下·河南漯河·月考）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中1班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【变式9-1】（23-24高二下·河北·月考）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【变式9-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 题型十 二项式定理的正用和逆用 【例10】（23-24高二下·山东临沂·期中）若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 【变式10-1】（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【变式10-2】代数式可化简为 ． 【变式10-3】（23-24高二下·新疆·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 题型十一 二项展开式的特定项 【例11】（23-24高二下·四川南充·月考）展开式中第6项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 【变式11-2】（23-24高二上·辽宁抚顺·月考）的展开式中，的系数为 . 【变式11-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的展开式中，第项的二项式系数依次成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 题型十二 三项展开式的特定项 【例12】（23-24高二下·湖南永州·月考）的展开式中x的系数是（    ） A．8 B． C．32 D． 【变式12-1】（23-24高二下·山西临汾·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【变式12-2】（23-24高二下·辽宁丹东·月考）在的展开式中项的系数 ． 【变式12-3】（23-24高二下·山东青岛·月考）在的展开式中，项的系数为 ． 题型十三 多项乘积展开式的特定项 【例13】（23-24高二下·宁夏银川·月考）已知的展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【变式13-1】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式13-2】（23-24高二下·云南丽江·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【变式13-3】（23-24高二下·河南·期中）的展开式中的系数为 . 题型十四 二项式系数与项系数的最值问题 【例14】（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【变式14-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【变式14-2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【变式14-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 题型十五 赋值法解决二项式系数和问题 【例15】（23-24高二下·广东广州·期中）已知，那么（   ） A． B．2 C． D．12 【变式15-1】（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24高二下·山东菏泽·月考）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【变式15-3】（23-24高二下·安徽六安·期中）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 题型十六 二项式定理的应用 【例16】（23-24高二下·广东汕尾·月考）今天是星期三，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 【变式16-1】（23-24高二下·河北秦皇岛·月考）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【变式16-2】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【变式16-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：计数原理 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法． 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成． 知识点2 排列 1、排列与排列数 （1）排列的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列． （2）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 2、排列数公式 （1）乘积形式：，其中，并且．特别地，从个不同元素取出个不同元素（即全部取出）排成一列，叫做个元素的一个全排列，此时． （2）阶乘：正整数1到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定． （3）阶乘形式：． 知识点3 组合 1、组合 （1）组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合． （2）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出． （3）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． 2、组合数及其性质 （1）组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式：（，且）． （3）组合数的性质：；；规定． 知识点4 二项式定理 1、二项式定理及相关概念 （1）定义：公式称为二项式定理． （2）二项展开式：． （3）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数． （4）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：． （5）在二项式定理中，若设，，则得到公式． 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为． 3、二项式定理系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． （2）单调性和最大值：当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小． ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）各二项式系数的和：令，则二项式系数的和为． 题型一 两种计数原理的应用 【例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·月考）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.故选 C. 【变式1-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（    ） A． B． C．24 D．10 【答案】A 【解析】根据分步乘法计数原理，可知每人的选择均有4种，不同选择的种数为．故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为.故选：C 【变式1-3】（24-25高二上·江西上饶·月考）汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有 种选择方法． 【答案】6480 【解析】共分五步：第一步，设计效果图，共计种方法； 第二步，制作油泥模型，有2种方法；第三步，生产样车，有6种方法； 第四步，对样车检验，有1种方法；第五步，投入生产，共计种方法． 所以从设计到实际生产有种选择方法． 题型二 数字组数问题 【例2】（23-24高二下·四川南充·月考）从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（    ） A．16 B．48 C．75 D．96 【答案】B 【解析】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法， 另两次抽取的数字各有4种方法，所以不同取法总数是.故选：B 【变式2-1】（23-24高二下·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个，故选：A 【变式2-2】（23-24高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（    ） A．48个 B．24个 C．18个 D．12个 【答案】C 【解析】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况， 百位数字不能为0，有3种情况， 十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况， 则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数．故选：C． 【变式2-3】（23-24高二下·青海西宁·期中）有0，1，2，3，4五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码? (2)可以组成多少个无重复数字的四位数? 【答案】(1)120；(2)96 【解析】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤： 第1步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第2步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第3步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第4步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个. （2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤： 第1步，从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法； 第2步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字， 有4种不同的选取方法； 第3步，从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法； 第4步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）. 题型三 涂色与种植问题 【例3】（23-24高二下·广东肇庆·月考）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（    ） 1 3 4 2 5 A．120 B．72 C．288 D．144 【答案】D 【解析】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种或选区域1，2所选的颜色，共有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种．故选：D 【变式3-1】（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【解析】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E， 分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种.故选：D. 【变式3-2】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法. 【答案】180 【解析】先给地区I染色有5种选择，再给地区II染色有4种选择， 然后给地区III染色有3种选择，最后给地区IV染色也有3种选择， 综上所述，满足题意的染色方法共有种. 故答案为：180. 【变式3-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 【答案】B 【解析】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况； 涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况， 利用计数原理可知，一共有种； 若没有红色， 先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况； 涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 若红色涂一个圆， 当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况； 涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况； 涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况； 涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况； 涂第二个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况， 涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种； 所以红色至少涂两个圆的方案有.故选:B 题型四 排列数的相关计算 【例4】（23-24高二下·浙江台州·期中），则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 所以，解得或， 又，所以.故选：C. 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以.故选：A 【变式4-2】（23-24高二下·江苏·月考）（多选）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，，选项D错误．故选：ABC． 【变式4-3】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64；(2)348；(3)7. 【解析】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 题型五 排队问题 【例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【解析】由相邻问题捆绑法可得,故选：A 【变式5-1】（23-24高二下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（    ）种站队方法． A．144 B．64 C．48 D．56 【答案】C 【解析】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲， 剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法.故选：C 【变式5-2】（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【解析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈， 共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空， 但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 【变式5-3】（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头， 可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 题型六 排数问题 【例6】（23-24高二下·江苏南京·期中）用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先排百位有种排法， 再排十位和个位，有种排法， 故组成无重复数字的三位数的个数是个．故选：C． 【变式6-1】（23-24高二下·广东东莞·期中）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．15 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【解析】分两类， 第1类，用一个数字组成四位数的回文数，有6个； 第2类，用两个数字组成四位数的回文数， 只需从这6个数字中任取2个数字，排在前两位（后两位由前两位顺序确定），有个， 故全部4位回文数共有6+30=36个.故选：C. 【变式6-2】（22-23高二下·陕西渭南·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有 . 【答案】 【解析】∵1，2相邻，而3，4不相邻， ∴1，2相邻要看做一个元素，而3，4不相邻要用插空法， 首先把1，2看做一个元素和5两个元素排列（1，2内部还可排列）有， 再在两个元素形成的三个空中把3，4排列有， 所以共有． 故答案为：． 【变式6-3】（22-23高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【答案】(1)个；(2)个 【解析】（1）由题意，五位偶数可以分成两类： ①末位是0，只需将其余4个数字在另外四个数位全排，有个， ②末位是2或4，先从2与4中选一个放在末位，再从除0和它之外的3个数字中选1个放在首位， 剩下3个数字全排，有个， 由分类加法计数原理可得， 满足条件的五位偶数共有个. （2）法一、分类完成：① 0是末位数，将1和3在千位和十位全排， 剩下的两个在剩余数位上去安排，有个； ② 2或4是末位数时，末位和首位有两种选法且百位必须是0，剩余的1和3在十位和千位全排， 有个. 由分类加法计数原理，这样的偶数共有：个. 法二、分步完成：第一步：千位数字和十位数字位从奇数1，3中取，有种方法； 第二步：首位从2，4中取，有种方法； 第三步：余下的排在剩下的两个数位，有种方法， 由分步乘法计数原理，这样的偶数共有：个. 题型七 组合数的相关计算 【例7】（23-24高二上·江苏常州·月考）化简：= （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， .故选：D. 【变式7-1】（23-24高二下·上海·月考）已知x为正整数，若，则 . 【答案】3 【解析】若，则或，解得或， 而x为正整数，故符合题意. 故答案为：3 【变式7-2】（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【解析】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 【变式7-3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 题型八 几何组合计算问题 【例8】（24-25高二上·陕西西安·月考）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 【答案】C 【解析】因为且， 所以，，，共12组整数解， 对应12个整点，即，，，，， ，，，，，，. 又因为表示不经过原点的直线， 所以当直线与圆相交于两个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 当直线与圆相切于一个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 综上符合要求的实数对的个数为.故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（    ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】A 【解析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形， 这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个，故选：A. 【变式8-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【答案】B 【解析】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体， 一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点， 从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面， 对角面都是平面四边形，4个顶点共面， 因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有， 所以最多能组成异面直线对数是.故选：B 【变式8-3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【解析】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为： 题型九 分组分配问题 【例9】（23-24高二下·河南漯河·月考）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中1班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【答案】C 【解析】若每个班至少3人参加，由于1班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法.故选：C. 【变式9-1】（23-24高二下·河北·月考）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【答案】D 【解析】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法.故选：D. 【变式9-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】因任务有4个，人只有三个，结合题意可知有1人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责1个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种.故选：C 【变式9-3】（24-25高二上·河南南阳·月考）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【答案】150 【解析】若有1人完成3项任务，其余两人各完成1项任务，安排方法种数为:， 若有1人完成1项任务，其余两人各完成2项任务，安排方法种数为:， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：150. 题型十 二项式定理的正用和逆用 【例10】（23-24高二下·山东临沂·期中）若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】D 【解析】由题意可得.故选：D. 【变式10-1】（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为, 所以.故选：D. 【变式10-2】代数式可化简为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高二下·新疆·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 题型十一 二项展开式的特定项 【例11】（23-24高二下·四川南充·月考）展开式中第6项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式中第6项的二项式系数是，故选：C. 【变式11-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 【答案】D 【解析】的展开式中的第项为：. 令，则常数项为.故选：D 【变式11-2】（23-24高二上·辽宁抚顺·月考）的展开式中，的系数为 . 【答案】 【解析】展开式的通项为：， 取得到的系数为. 故答案为：. 【变式11-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的展开式中，第项的二项式系数依次成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)7；(2)， 【解析】（1）由题意可知：第项的二项式系数依次为， 因为第项的二项式系数依次成等差数列，则， 可得，解得或（舍去）或（舍去）， 所以的值为7. （2）由（1）可知的二项展开式的通项为 ， 令为整数，则， 可得，， 所以展开式中所有的有理项为，. 题型十二 三项展开式的特定项 【例12】（23-24高二下·湖南永州·月考）的展开式中x的系数是（    ） A．8 B． C．32 D． 【答案】C 【解析】由题意得，其展开式为， 则对于的展开式为，， 令，则当，时符合题意， 此时系数为，故C正确.故选：C. 【变式12-1】（23-24高二下·山西临汾·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【答案】C 【解析】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为，故选：C. 【变式12-2】（23-24高二下·辽宁丹东·月考）在的展开式中项的系数 ． 【答案】 【解析】是6个相乘，需要依次从每个的三项中取出一项后相乘， 就可得到展开式中的一项， 得到项的方法，按6个中取项的个数可分为三类： 第一类是，6个都不取项， 即6个中选5个里取，另1个里取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到； 第二类是，6个中选1个里取， 其余个中选个里取，余下2个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到； 第三类是，6个中选2个里取， 其余个中选个里取，余下3个取，相乘得， 共种取法，合并同类项后即得到. 再将上述三项合并，得，因此项的系数为. 故答案为：. 【变式12-3】（23-24高二下·山东青岛·月考）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】1260 【解析】在表示有10个相乘，项来源如下： 有6个提供，有2个提供，有2个提供， 故项的系数为. 故答案为：1260 题型十三 多项乘积展开式的特定项 【例13】（23-24高二下·宁夏银川·月考）已知的展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【解析】已知，展开式第项， 时，，， 时，，，，故选：B． 【变式13-1】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得．故选：B． 【变式13-2】（23-24高二下·云南丽江·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【答案】D 【解析】的展开式的二项式通项为，令，则． 的展开式的二项式通项为， 令，可得． 故项的系数为．故选：D. 【变式13-3】（23-24高二下·河南·期中）的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项， 又， 令，所以的系数为， 故答案为：. 题型十四 二项式系数与项系数的最值问题 【例14】（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【解析】已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能， 从而的展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为.故选：A. 【变式14-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【解析】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B 【变式14-2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 【变式14-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则 令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得： 故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： 题型十五 赋值法解决二项式系数和问题 【例15】（23-24高二下·广东广州·期中）已知，那么（   ） A． B．2 C． D．12 【答案】A 【解析】令，得，令代入二项式， 得， 所以.故选：A． 【变式15-1】（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则①， 令，则②， ②减①可得：.故选：A. 【变式15-2】（23-24高二下·山东菏泽·月考）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【解析】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以，故选：C 【变式15-3】（23-24高二下·安徽六安·期中）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】令，则;令，则， 所以，故C错误; 令，则，又， 以上两式相加可得，所以， 所以，故正确; 因为是的展开式的系数和， 所以令，则， 所以，故D正确; 因为表示5个的乘积， 所以选4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数为， 则，故B错误.故选：AD 题型十六 二项式定理的应用 【例16】（23-24高二下·广东汕尾·月考）今天是星期三，再过天是星期（ ）． A．一 B．二 C．四 D．五 【答案】C 【解析】所以， 所以除以的余数为， 今天是星期三，再过天是星期四.故选：C． 【变式16-1】（23-24高二下·河北秦皇岛·月考）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【答案】C 【解析】， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0．故选：C. 【变式16-2】（23-24高二下·江苏南通·月考）的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 故答案为：. 【变式16-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】ACD 【解析】由，得 ， 所以， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为， 即b的值不可能的是ACD，故选：ACD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$