第四章 计数原理（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第四章：计数原理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·河南·月考）（    ） A．48 B．36 C．24 D．8 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（（    ） A．9种 B．36种 C．64种 D．81种 3．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 4．（24-25高二上·吉林·月考）从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有（    ）种． A．6 B．15 C．30 D．42 5．（24-25高二上·福建龙岩·月考）用，，，，，这六个数字可以组成（    ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山西太原·月考）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·宁夏银川·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个关系式中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·安徽六安·期末）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（   ） A． B．展开式中常数项为 C．展开式中的系数为30 D．展开式中的偶数次幂项的系数之和为64 11．（24-25高二上·四川眉山·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出4个数字，则（    ） A．可以组成300个无重复数字的四位数 B．可以组成144个无重复数字的四位奇数 C．可以组成160个无重复数字且比3400大的四位数 D．可以组成21个无重复数字且能被25整除的四位数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·重庆·月考）如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 13．（23-24高二下·山西大同·月考）除以9的余数是 ． 14．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·四川南充·月考）计算： (1)； (2). 16．（23-24高二下·陕西西安·月考）个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法? (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法? 17．（23-24高二上·江苏常州·月考）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 18．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：计数原理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·河南·月考）（    ） A．48 B．36 C．24 D．8 【答案】A 【解析】.故选：A 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（（    ） A．9种 B．36种 C．64种 D．81种 【答案】D 【解析】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种.故选：D. 3．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【解析】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D 4．（24-25高二上·吉林·月考）从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有（    ）种． A．6 B．15 C．30 D．42 【答案】C 【解析】从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有种．故选：C． 5．（24-25高二上·福建龙岩·月考）用，，，，，这六个数字可以组成（    ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有，故选：B. 6．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知的展开式中各项二项式系数和是，解得， 又二项式的通项为， 令，即时，常数项为故选：C. 7．（23-24高二上·山西太原·月考）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以.故选：B. 8．（23-24高二下·宁夏银川·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【解析】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个关系式中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由， 所以D错误.故选：AC. 10．（23-24高二上·安徽六安·期末）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（   ） A． B．展开式中常数项为 C．展开式中的系数为30 D．展开式中的偶数次幂项的系数之和为64 【答案】ABD 【解析】设， 令，则①， 令，则②， 用①②得， 展开式中的奇数次幂项的系数之和为，，，故A正确； 令，可得展开式中的常数项为，故B正确； 又， 其中展开式的通项为（）， 所以展开式中的系数为，故C错误； 由于各项的系数和， 故偶数项的系数和为，故D正确.故选：ABD． 11．（24-25高二上·四川眉山·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出4个数字，则（    ） A．可以组成300个无重复数字的四位数 B．可以组成144个无重复数字的四位奇数 C．可以组成160个无重复数字且比3400大的四位数 D．可以组成21个无重复数字且能被25整除的四位数 【答案】ABD 【解析】对于A，首位不能排0，有种排法，后面三位从剩下的5个数字中任选3个进行排列， 所以共有种排法，即可以组成300个无重复数字的四位数，故A正确； 对于B，个位从1，3，5选择一个，有种选法； 千位数字不可选0，从剩下的4个中选一个，有种选法； 在剩下的4个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有种选法， 则有个无重复数字的四位奇数，故B正确； 对于C，比3400大的四位数分三类： 第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有个， 第二类千位是3，百位比4大的数只有5，其它两位任意排，有个， 第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有个， 根据分类计数原理得比3400大的四位数共有种，故C不正确； 对于D，能被25整除的四位数分两类： 第一类：形如□□25，共有个；第二类：形如□□50，共有个， 所以能被25整除的四位数共有个，故D正确．故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·重庆·月考）如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 【答案】18 【解析】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色， 当同色时，有种，同理、分别同色时各有6种， 由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案. 故答案为：18 13．（23-24高二下·山西大同·月考）除以9的余数是 ． 【答案】8 【解析】因为， 由于的展开式中前项都有因数， 故所给的式子故除以的余数即为除以的余数， 所以所给的式子除以的余数为. 故答案为：． 14．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答） 【答案】50 【解析】第一种情况，A志愿队只有甲医生， 则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第二种情况，A志愿队有甲医生外， 还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第三种情况，A志愿队有甲医生外， 还有2人，剩下的1人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·四川南充·月考）计算： (1)； (2). 【答案】(1)396；(2)4974. 【解析】（1）； （2）. 16．（23-24高二下·陕西西安·月考）个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法? (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法? 【答案】(1)22种；(2)120种 【解析】（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有种取法； 第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有种取法； 根据分类加法计数原理,共有 (种)取法； （2）得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有种取法. 第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有种取法. 根据分步乘法计数原理共有 (种)取法. 17．（23-24高二上·江苏常州·月考）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480；(2)480；(3)144 【解析】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 18．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）二项式展开式的通项为：（且）， 所以，所以. （2）令，得， 令，得， 所以. （3）因为展开式的通项为（且）， 所以当为奇数时，项的系数为负数. 所以， 令，得， ∴. 19．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【答案】(1)60；(2)90；(3)540 【解析】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法； 剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$