专题11 二次函数综合题角度问题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题11 二次函数综合题角度问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 角度问题角相等】 1 【题型2 角度问题角有倍数关系】 33 【题型3 角度问题互余】 71 【题型4 角度问题已知角的度数】 109 【题型5 角度问题和差关系】 141 【题型1 角度问题角相等】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，当的面积取得最大值时，求出此时点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合，求正切； （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由，得到直线BM的表达式为：，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）过点P作 轴交于点， ， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 设点，则点，则， 则的面积， ， 故的面积有最大值，此时， 则点； （3）能，理由： 由抛物线的表达式， 当时， ∴点， 依题意，， 设直线交轴于点，则 设直线的表达式为 ∴或 解得：或 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 解得：（舍去）或或， 则点M的坐标为：或 2．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； （3）解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为4， (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点，再把代入，求出a值即可； （2）延长交y轴于D，证明，得，即，求得，再设，则，则，，所以，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为，再分两种情况：当点M在直线上方时，当点M在直线下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式． （2）解：延长交y轴于D，    对于直线， 令，则， ∴， ∵ ∴ ∵轴，即， ∴ ∴，即， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵ ∴当时， 的最大值为4； ∴． （3）解：联立，， 解得：，， ∴， 由（2）知，在的最大值的条件下，抛物线的顶点为点，对称为直线， 当时，则， ∴， 则，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上， ∴点Q平移后与点A重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位， ∴抛物线顶点平移后到点，点平移后到点，即与重合， ∴，抛物线平移后的解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在直线上方时， ∵， ∴， ∴点M与点重合， ∴，    当点M在直线下方时，设， 过点作，交于，交轴于，则，， 则， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴，整理得：， 即：，解得：（舍去）， 此时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得： ∴ （2）解：∵，当时， ∴， 又∵， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或 ； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得： 舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，点R在直线上，当取最大值时，求此时点的坐标及的最大值． (3)如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线上是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据抛物线，得到点，得到，结合已知得点，代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．设，则，则；确定点，直线的解析式为，从而得到 ，解得即可． （3）利用平移思想，三角函数，等腰三角形的性质，平行线的性质，分类想想计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴点， ∴， ∴点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则； ∵点是的中点， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， ∵，点， ∴点， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵， ∴当A，P，R三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向右平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作，交抛物线于点， ∴， 当， 解得（舍去）， 故点； 作线段的垂直平分线，交于点，交于点N， 则， ∴， 延长交抛物线于点， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， 故．    综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用，一次函数解析式确定，解方程组，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； (3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)4， (3)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）由抛物线与x轴交于点和点，设交点式计算即可求解； （2）过点作轴交于点，由面积，即可求解； （3）当点在上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点， 当时，， ∴， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， ∴面积有最大值， 当时，面积的最大值为4，此时点D的坐标为； （3）解：存在． 如图2， 当点在上方时， ， 平行于轴， 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在下方时， 设交轴于点，设点， ， ， ， 解得：， 即点， 由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立，得到 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为或． 7．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； （3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）解：如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）解：①当点P在x轴上方时，如图中， ∵，则，， 过点B作于点H，则， 设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，把点，，代入，求出b、c即可； （2）过点P作交直线于点H，根据，代入相应点的坐标即可求出答案； （3）过点C作交轴于点K，将转化为，证明，得到，点坐标为，由此可得直线解析式为，进而得出，联立抛物线与直线解析式求出点，即可求解 【详解】（1）解：将点，，代入得 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵时，，， ∴点，设直线解析式，得，解得， ∴直线解析式， ∵点Р在抛物线上， ∴， 过点P作轴，交延长线于点H，则， ∴． ． （3）过点C作交轴于点K， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， 设直线解析式，得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为，设直线解析式，得，解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，把得，解得， ∴设直线解析式为， 联立抛物线与直线解析式得： ，解得，， ∴点， ∴ 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，熟练掌握上述知识、合理添加辅助线、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 10．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，，②存在，点的坐标为或 (2)或 【分析】（1）①过点作轴，证明得出，再利用待定系数法求解即可；②设，分两种情况：当点在轴上方时，作轴于，则，；当点在轴上方时，作轴于，则，，分别利用正切的定义列方程求解即可； （2）待定系数法求出抛物线解析式为，再分两种情况：当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个；分别画出图形，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：①如图：过点作轴， ， ∵，， ，， 由旋转知，，， ， ∵过点作轴， ， ， ， ，， ， ∵抛物线经过点D． ∴把，以及，代入 得 解得 ∴； ②存在， 设， 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ∵， ∴， 由①可得：，， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或； （2）解：将，代入抛物线得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 分两种情况： 当抛物线开口向下时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴下方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴上方时，要使直线与抛物线线有两个交点，抛物线与轴的交点必须交于轴的正半轴，与轴的交点在轴的负半轴， ， 在中，当时，， 解得：； 抛物线开口向上时，若满足且符合条件的Q点的个数是4个，则点在轴上、下方各有两个， 当点在轴上方时，直线与抛物线有两个交点， ， 当点在轴下方时，要使直线与抛物线有两个交点才能使符合条件的点有两个， ∵， ∴由（1）可得：， ∴直线的解析式为， 要使直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【题型2 角度问题角有倍数关系】 11．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 12．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M坐标为或 【分析】（1）由抛物线经过，两点，知对称轴为直线，可得，即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，在中，得，直线解析式为，即可知，设，则，从而表示出，由，得， 可得当时，取最大值； （3）作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，根据关于y轴对称，，可知M是满足条件的点，设，由得，直线解析式为，解，即可得；由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足，此时直线解析式为，同理可得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，如图： 在中，令得，令得或， ， 由得直线解析式为， 在中，令得， ∴， 设，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 答：的最大值为； （3）存在，理由如下： 作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，如图： ∵关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴M是满足条件的点， 由得直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴， 由，得直线解析式为， 解， 得或， ∴； 由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足， 此时直线解析式为， 由 得或， ∴； 综上所述，M坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形、等腰三角形解决问题． 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，为抛物线第三象限上一点，连接、、，若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意设点，根据列出关系式即可； （3）先求出点P的坐标，证明是直角三角形，，，则，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到点D的坐标，求出直线的解析式，联立二次函是解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解： 、，点为第四象限抛物线上一点， 设， ，， ， ； （3）解：当时， 则，即， 解得：或， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 如图，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，则， 整理得：， ， 或， ， 点横坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 14．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相较于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)18 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数与几何问题，解三角形，轴对称的性质，待定系数法等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据抛物线的顶点坐标得出方程组求解即可； （2）设直线与x轴交于点K，交直线于点T，确定，，，得出，，结合图形即可求解； （3）作C关于B的对称点G，连接，过G作于点H，根据勾股定理得出，再由轴对称的性质确定C、B、G三点共线，利用三角形等面积法及正切函数求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标C为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设直线与x轴交于点K，交直线于点T，如图所示： 联立 解得： 或， ∴， 在中，令得，令， ∴， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∵C为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为18； （3）作C关于B的对称点G，连接，过G作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C、G关于点B对称， ，， ∴C、B、G三点共线， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴或 ． 16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 17．抛物线与轴交于点，与轴交于点、，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在两个点P，点P的横坐标是2或 【分析】（1）分别令和可得，，三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是：，根据对称性可得点的坐标； （2）①先作辅助线，构建相似三角形，证明，则，列方程，根据，可得的值，求出抛物线的解析式， ②当中某个角恰好等于的2倍时，存在两种情况：当时，延长交轴于，确定点的坐标，设的解析式为：，联立方程组可得的横坐标；当时，作，证明和，表示的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：，， ，， 又 ∵轴， ， 解得，，， ； （2）解：①点是线段存在唯一一点， 如图2，过作轴于， 设，则， ，， ， ， ， ， 只有一个点，所以方程只有一个解， ， ， ； ②当时，延长交轴于，如图3， ∵， ，， ，， ， ， ， ， 设的解析式为：， 则， 解得：， 的解析式为：， 联立， 解得：（舍，， 点的横坐标为2； 当时，如图4，在上取点，连接，使， 设， ， 解得，， ， ， ， ， ， ， ，即， 过作轴的平行线交轴于，同时过作于， ，， ， ， 同理，求得直线的解析式为， 设，则，， ， ， 代入抛物线的解析式中得：， 解得：（舍），， 的横坐标为， 综上，存在两个点，点的横坐标是2或． 18．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为8 (3) 【分析】（1）根据点，，得到，利用待定系数法即可求解； （2）过点B作，过点P作，交于点G，连接，根据，得到，易证四边形是矩形，得到，再根据得到，结合，易证，得到，根据两点间距离公式可求，结合，从而得到，即，可得，由此可知，当有最大值时，有最大值为，根据为定值，由最大时，有最大值，利用待定系数法求出直线的解析式为：，设，则，则，利用，得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出m的值，即可求出点，点的坐标，利用即可求出的最大值，进而求出的最大值； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，设交x轴于点Q，过点Q作垂足为H，求出，易证是等腰直角三角形，即，进而证明是等腰直角三角形，根据，得到是的角平分线，即，设，根据角平分线的性质得到，进而得到，由，求出，即，再利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，即可求出M的坐标． 【详解】（1）解： ，， ， 则， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点B作，过点P作，交于点G，连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 当有最大值时，有最大值为， 为定值， 最大时，有最大值， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为； （3）解：， 原抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移2个单位，向上平移1个单位， 新抛物线的解析式为， 设交x轴于点Q，过点Q作垂足为H， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的角平分线，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， ，即， ，即， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去，不符合题意）， M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与相似三角形综合问题，二次函数的平移问题，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出直线和的解析式，然后过点P作轴，交，于点G，F，设点P的坐标为，表示出，的值，利用三角函数计算即可解题； （3）根据题意得到即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，即可得到的解析式，然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算解题． 【详解】（1）解：把，代入可得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 解方程组得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 过点P作轴，交，于点G，F， 则， ∴，， 设点P的坐标为，则，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大为，这时点P的坐标为； （3）解：， 由题意可得：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， ∴平移后， 令，则， 解得：，， ∴点D的坐标为， ∵将点向下平移一个单位得到点， ∴点的坐标为， ∴直线的解析式为， 设点Q的坐标为， 如图，当点Q在点A右侧时，由于， 则， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当点在点A左侧时， 则， 设直线交y轴于点H，过B作于点K， 则点H坐标为， ∴，， ∵， ∴， 根据点Q的解法同理可得点的坐标， 根据可得点的坐标为， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合，勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【题型3 角度问题互余】 21．如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为9，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则，求出直线的解析式为，求出，得到，得到，设点P的坐标为，则点M的坐标是，得到，即可得到答案； （3）由题意得到抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位，求出平移后的抛物线为，分两种情况画出图形，分别利用相似三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则点M的坐标是， ∴ ∵ ∴当时，的最大值为9， ， 即此时点P的坐标为； （3）∵ ∴ ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， ∵ ∴平移后的抛物线为，即，如图，    设点，过点作轴于点H， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 设点，过点作轴于点G， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 综上可知，点R的横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、函数的最值等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 22．如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 ．当时，请直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）由抛物线过，其对称轴为直线，可得，再解方程组即可； （2）求解，，，证明，可得，可得当与抛物线有唯一交点时，面积最大，再进一步求解可得，如图，过作于，证明，可得当三点关系，且时，最小，从而可得答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位相当于将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位，可得平移后的抛物线为：，如图，连接，过作于，过作于，证明，可得，由勾股定理可得：，可得，设，再建立方程求解即可，如图，作交轴于，设，过作于，结合，，，，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与抛物线有唯一交点时，面积最大， ∵，，直线为， ∴， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴设直线为， 令， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 当三点关系，且时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：∵， 又∵直线为，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位相当于将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线为：， 如图，连接，过作于，过作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，（经检验不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，作交轴于，设，过作于， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：的解析式为：， 令， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，一元二次方程的解法，本题计算量大，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)m的范围是或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图： 在中，令 得， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，设直线解析式为：， 则， ∴， ∴直线解析式为； 联立， 解得：或 舍去， ； （3）解：抛物线的函数解析式为：，顶点为， 将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式为； 将抛物线沿轴翻折后顶点为， 顶点运动的轨迹为， 图象的顶点坐标为， 则图象对应的函数解析式为：， 当图象过点时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； 当顶点为时，图象恰好过点、； 当抛物线与线段相切时， 联立和抛物线的表达式得：， 即； 令得：，此时， 的范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合． 24．如图，直线与x轴，y轴交于分别交于A，B两点，，抛物线经过点A，B，C，点P在y轴右侧抛物线上，点P的横坐标是， (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点Q在线段上，，P点的横坐标． (3)如图2，当点P在第一象限，交于点D，交y轴于点E，若．求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式，二次函数与面积，二次函数与角度，相似三角形的性质与判定等知识点； （1）由求出的A，B两点坐标，再代入计算即可； （2）作关于原点的对称点，连接，则，得到，即可求出解析式，联立抛物线解析式求出P点的横坐标． （3）由可得，再过作于，即可证明，得到，结合和得到，求出坐标，进而求出解析式，联立抛物线解析式求出P点的坐标． 【详解】（1）∵直线与x轴，y轴交于分别交于A，B两点， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）作关于原点的对称点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设解析式为， 把代入得， ∴解析式为， 联立得， 解得， ∵点P在y轴右侧抛物线上， ∴P点的横坐标为． （3）∵，， ∴， 过作于，则 ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设解析式为， 把，代入得， 解得 ∴解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴P点的横坐标为， ∴P点的坐标为． 25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为， (3)点G的坐标为或． 【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线的解析式，求得，，进一步得出结果； （2）作于，设，可求得，的值及的解析式，根据得，进而求得，根据得出，从而表示出，进一步得出结果； （3）作于，可求得，，进而得出轴，从而求得符合条件的，作关于的对称点，作射线，作轴于点，可求得，从而得出的解析式为，进一步得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1， 作于，设， 由得， ，， ， ， 设的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为， 当时，， ； （3）解：如图2， 作于， ， ，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， 如图3， ， 轴， ， 新抛物线与轴右交点满足条件， 由得， ，（舍去）， ， 作关于的对称点，作射线，作轴于点， ，， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ，， ，， ， 的解析式为：， 由得， （舍去），， 当时，， ， 综上所述：点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 26．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，得到，进而根据的面积是，求出，则，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再求出点P的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）所求，结合可得，求出直线解析式为，联立，可得；过点F作交轴于，可证明，设，利用勾股定理得到，可得，，，证明，求出，设，利用勾股定理可得，解方程可得；过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设，则，解直角三角形得到，，则，，可得；证明四边形是矩形，得到，则，，解，得到；进而得到；，证明，求出，则，可证明，推出，则；取，连接，可证明是等腰直角三角形，且，得到，则点H即为与y轴的交点，同理可得直线解析式为，则． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为， ∴； ∵抛物线对称轴为直线， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， 解得或（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴； 如图所示，过点F作交轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵轴， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（此时不满足，舍去）； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，取，连接， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点H即为与y轴的交点， 同理可得直线解析式为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键． 27．如图1，抛物线 与x轴分别交于点，，与y轴交于点，点P是坐标平面内一点，点P坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图 2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时 n 的取值范围． (3)在（2） 件下的新图象L，连接，若点D在新图象L上且 求点D的坐标． 【答案】(1) (2)n的值为或 (3)或 【分析】 （1）把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）先得出将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，然后进行分类讨论：①当经过点A时，②当不经过点A时，即可解答； （3）过点P作轴于点E，推出，由图可知，点D在点B左边，进行分类讨论：①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，设，则，根据，列出方程求出t的值即可； ②当点D在上时，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为， ①当经过点A时， 把代入得：， 解得：， ∴， 联立和得： ， 则， 解得：，， ∴与相交于， 联立和得： ， 则， 解得：， ∴与相交于， ∴当时，直线与该新图象L恰好有三个公共点； ②当不经过点A时， 由图可知，将向下平移n个单位长度时，直线与该新图象L恰好有三个公共点 ∴与有且只有一个交点， 联立得：， 则， ∴， 解得：， 综上：n的值为或； （3）解：过点P作轴于点E， ∵， ∴， 由图可知，点D在点B左边， ①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F， 设，则， ∵点P坐标， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（与点B重合，舍去）， ∴， ②当点D在上时， 设，则， 同理可得：，即， 解得：（与点B重合，舍去）， ∴， 综上： 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数解析式，解直角三角形，二次函数和一次函数交点问题．熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，是解题的关键． 28．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【分析】（1）先求出二次函数的图象对称轴为直线，可得，根据，即可得，，再用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，画出图形可知，此时满足条件的有，两个；求出直线解析式为，求得直线解析式为；移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，故有两个相等的实数解，有，解得；当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，同理可得有两个相等的实数解，． 【详解】（1）解：点和点的纵坐标相同， 和关于抛物线的对称轴直线对称， 又二次函数的图象对称轴为直线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， 把，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 又， ， 过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，如图： 由平行线性质知， 由对称性知， ， 此时满足条件的有，两个； 由，可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 直线与直线关于轴对称， 直线解析式为， 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 此时有两个相等的实数解，即有两个相等的实数解， △， 即， 解得； 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 同理可得有两个相等的实数解， ， 解得； 综上所述，满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 29．综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)1 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据，可得，即可求解； （3）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在y轴的下方时，当点P在y轴的上方时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图，当点P在y轴的下方时，过点P作轴于点E，则，，    ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的上方时，同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 30．已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，连接，，当面积为面积的三分之一时，求出此时点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的顶点式，运用待定系数法求解即得； （2）过点P作轴，交于点D，先计算，再用含m的代数式表示的长，进而列出方程求解，即得点P的坐标； （3）分两种情况求解，当在的内部时，为的平分线，设交x轴于点E，过点E作于点H，设，求出的长，并列方程即可求得点E的坐标，进而得到直线的解析式，从而求得m的值；当在的外部时，过点B作轴，交的延长线于点F，证明，即可得到点F的坐标，进而求得的解析式，从而求得m的值． 【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为， 设， 将代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为，即； （2）过点P作轴，交于点D， 令，得，， 令，得， 解得，， ，， ， ， P点的横坐标为m， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 解得，， 当时，，， 当时，，， 点P的坐标为或； （3）存在，或． 理由如下： ，， ， ， ， 所以存在两种情况： ①当在的内部时，为的平分线， 设交x轴于点E，过点E作于点H， 设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 解方程组得，或（舍去）， ； ②当在的外部时，过点B作轴，交的延长线于点F， ，，， ， ， ， 求得直线的解析式为， 解方程组得， ， 或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的面积问题，二次函数的角度问题等知识，综合运用这些知识是解答本题的关键． 【题型4 角度问题已知角的度数】 31．如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，连接，若，求此时点的坐标； (3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形： （1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可； （2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案； （3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：由题意得点坐标为， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴， ， （舍去）或， ； （3）解：由题意得点坐标为 设直线的表达式为， 则，解得 ∴直线的表达式为，当时，， ∴点坐标为， ∴ ， ， ， ∴或， 解得（舍去）或（负值舍去） ． 32．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为， (3) 【分析】 （1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得， ，，而，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得， 解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示：   ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示：   ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； 此时， 此时，， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 此时，直线的解析式为：； （3）解： ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 分两种情况：点在上方；点在下方； 当点在上方时，如图所示，    ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： ， ，即， ， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与角度问题、解直角三角形，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 34．如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线与交于点Q，当时，求点P的坐标； (3)坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P； (3)F的坐标为或． 【分析】（1）由题意得到①，②，联立得到方组组，解方程组得到，，即可得到抛物线的解析式； （2）设交y轴于G，过P作交于H，求出，，则，设，则，得到，证明，利用相似的性质列方程解方程得到或1，即可得到点P的坐标； （3）分F在x轴上和在y轴上两种情况，利用数形结合进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴交x轴于点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴①，                         ∵点在抛物线上， ∴②，                  由①②联立方程组， ， 解得：，，          ∴抛物线的解析式为； （2）设交y轴于G，过P作交于H，如图： 在中，令得， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线函数表达式为，把，代入得到， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 在中，令得； 解得或， ∴， 在中，令得， ∴， ∴，                             设，则 ∴， ∵， ∴， ∴，                  解得：或1， 经检验，或1都是分式方程解， 又∵P为第四象限抛物线上的点， ∴； （3）坐标轴上存在点F，使得，理由如下： 当F在x轴上时，如图： 由（2）知，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；                       当F在y轴上时，过E作轴于T，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴；                        综上所述，F的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 35．如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据，，求出． 再根据是的中点，求出，用待定系数法求解即可； （2）过作x轴垂线交于，求出设直线解析式，由， 得，表示出，再根据表示出四边形面积，根据二次函数最值求解即可； （3）分为①当点Q在y轴上时，使，根据，求出，过点D作轴交y轴于点H，根据平行线性质得出，再根据，得出，得出，根据，求出，即可求出点Q的坐标； ②当点Q在x轴上时，使， 延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G，证明，求出，再根据，证明，根据相似三角形的性质求出，从而求出，即可求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵在的图象上， ， 得， ． （2）过作x轴垂线交于， 设直线，即， 解得：， 故解析式为：， 由， 得， ， ， 当四边形面积最大时，． （3）解：①当点Q在y轴上时，使， ∵， 即， ∴， ∴， 过点D作轴交y轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在x轴上时，使， 延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G， 则， 则 ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ∴点的坐标为， 综上，或． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理解题意，数形结合． 36．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； (3)点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设点的横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解； ②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，得，即可得到，解方程即可得出答案； （3）过作交于，过作轴于，由可证明，得到，联立得抛物线与交点为和点M，即可得到． 【详解】（1）解：把，点，点，代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：设点的横坐标为，则， ①∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴，， ∴， 由于， ∴当时，有最大值，最大值为； ②如图，过点作轴的平行线与直线交于点，过点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ， ∵， ， ， ∴， ， ∵直线的解析式为， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 故为或； （3）解：过作交于，过作轴于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∵抛物线与交点为和点M，点M的横坐标为m， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，全等三角形的判定与性质，根据函数图象上坐标点的特征得出的代数表达式是解决本题的关键． 37．如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①P在上面，；②P在下面， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分P在上面和P在下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式； （3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标． 【详解】（1）解：在直线解析式中，令，得， ． ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当在上面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为； ②当在下面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为；        （3）解：存在． 理由：如图所示，过点作于点，    则， ， ， 在中，由勾股定理得：． 过点作于点，则． ∵， ∴， 则， ， 在冲，由勾股定理得：． ∵， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 同理求得，另一点为． ∴符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、三角函数、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用分类讨论思想求解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解． 38．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； (3)若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键． （1）根据已知列出方程组求解即可； （2）作轴，轴，垂足分别为，，求出直线的解析式，再分两种情况分别分析出点坐标即可； （3）根据题意分析得出以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，为的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得，，； 二次函数的解析式为：， （2）解：作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．则， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， ， 将点代入得：， 解得， 直l线的解析式是：， 将代入，得， ， 设直线的函数关系式为， 则将点代入得：， 解得， ∴直线的函数关系式为， ， ①在下方）， 设，将代入可得， ， 令， 解得，，， ， ，此时， ． ②在上方时，直线与关于对称， ∵点关于点的对称点是点 ， ， 解得，， ， ， ， 综上所述点的坐标为，． （3）解：由题意可知：， ， 直l线的解析式是：， 令， 解得，， 当时， ， 如图，设中点为， 点有且只有一个， 以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点， 轴， ∴， ， 为的中点，， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 39．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值； (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）把点的坐标，抛物线对称轴直线代入计算即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，结合轴，轴，可得，设，求出，则，根据二次函数最值的计算方法即可求解； （3）求出新抛物线的解析式为，设点，根据坐标两点间的距离公式求出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由（1）可得抛物线解析式为， ∴令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点是抛物线上一线，且在直线下方， ∴设， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，有最大值，最大值为：； （3）解：将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线， 则， 设点， ， ， ， 整理得：，即， 解得：， M点横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次含最值的计算方法，勾股定理，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键． 40．如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质、三角形相似和判定、勾股定理是解题的关键. （1）利用配方法得到顶点坐标即可； （2）先求出、和D的坐标，设对称轴与x轴交于点E，连接，然后根据轴对称得到的长，再根据得到解题即可； （3）以为直径作圆S，则满足的点P在圆S的切线上，然后根据切线的性质解题即可. 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设对称轴与x轴交于点E，连接， 令 则或, ∴点、的坐标分别为: 、, 当时，， ∴点D的坐标为， ∵O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 以为直径作圆S， ∴点S的坐标为， ∵直线l上有且只有一个点P，使得 ∴直线l与圆S相切于点P， 如图，当直线l在点B右侧时，连接， 则，， ∴； 同理当当直线l在点B左侧时，； 综上所述，满足题意的值为或． 【题型5 角度问题和差关系】 41．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点，直线的解析式为，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上的一点，过点作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点、交于点，连接，过作交于点，连接，，点在第四象限的抛物线上，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线解析式和三角函数求出点B，点A坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点E，点F坐标，再根据三角形面积公式求出与的函数关系式即可； （3）延长交于点Q，连接交于点P，作交于点G，求出点E坐标，再根据求出点R坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点C坐标为， 把代入得，， ∴点B坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B坐标为， 把点B，点A坐标代入得， ，解得， 所以，抛物线解析式为． （2）解：∵设点的横坐标为，轴， ∴，， 则， ． （3）解：延长交于点Q，连接交于点P，作交于点G， ∵点E坐标为，点B坐标为， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴，即， ∴≌， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∴， 解得，， ∴点E坐标为，直线的解析式为， 则点D坐标为， 将线段绕点D逆时针旋转，得到线段， 则点U坐标为，， ∵点B坐标为， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得，， 解得，（舍去），， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、几何变换的综合，解题关键是求出二次函数解析式，利用点的坐标，通过列方程，求解析式来解决问题． 42．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B，且，交y轴于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点G为第一象限抛物线上的一点，连接，过点G作轴交于点H，设长为d，点G的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）． (3)在（2）的条件下，点F坐标为，当，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，即可求出a的值，进而可得出抛物线解析式； （2）令，可求出点，设直线得解析式为，利用待定系数法可求出直线的解析式，由点G的横坐标为t，知，，表示出的长，进而可得d与t之间的函数关系式． （3）过点B作于点K，在x轴上取点P，使得，连接交抛物线与点Q，连接，求出，解直角三角形求出，，，易证，推出，即点Q与点G重合， 设，求出， 在求出直线的解析式为，联立，即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 抛物线解析式为； （2）解：令，则， 解得， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 点G的横坐标为t， ，， ，即； （3）解：如图，过点B作于点K，在x轴上取点P，使得，连接交抛物线与点Q，连接， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 点Q与点G重合，如图， ， 设， ， ，即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合运用，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，解直角三角形，二次函数与线段，角度的综合运用，解决此题的关键是具有数形结合能力． 43．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，等腰三角线的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 44．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 【答案】(1) (2)最大值为；P点的坐标为 (3)点M的横坐标为或或或． 【分析】（1）由可得点C的坐标；设，把点C的坐标代入即可求得a的值，从而求得函数解析式； （2）过点F作于G，则得，，则；又，则，只要求出的最大值即可；由B、C的坐标可求得直线的解析式，设，则可得点的坐标，从而表示出，并求得其最大值，即可求得点P的坐标； （3）由抛物线的平移确定出平移后的解析式为；作A点关于y轴的对称点Q，连接，交于点H，过H作轴；设，则可得，从而可证明，则可求得；由，得，从而可求得点H的坐标，进而求出直线，联立直线与抛物线解析式即可求得点M的横坐标；当点H关于x轴对称时，同理也可求得点M的横坐标． 【详解】（1）解：，， ； ； 由于抛物线与x轴交于点、两点， 故设， 把点C的坐标代入中，得， ， 故， 化为一般式为：； （2）解：如图，过点F作于G， 轴， ， ， ； ， ， ； 轴， ， ， ， ， ； ，即， 由勾股定理得：， ， 则， 当取最大值时，取最大值； 设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； 因点P在抛物线上，设， 轴， ， 则， ， 当时，取最大值，从而取得最大值； 当时，， 故点P的坐标为； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为； ，， 抛物线沿方向先向下平移个单位，再向左平移个单位， ， 故平移后的解析式为； 如图，作A点关于y轴的对称点Q，连接，交直线于点H，过H作轴； 则，，； 设，则， ， ，，， ， ， ， ； ， ， ，即， 由勾股定理得，则， ， 点H的坐标； 设直线的解析式为， 把点B、H的坐标代入得：，解得：， 即直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 当点H关于x轴对称点为，则， 同理，直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 综上，满足条件的点M的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，解一元二次方程等知识，综合性强，运算量较大，灵活掌握相关知识，添加适当辅助线是解题的关键． 45．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点 ， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为 ，即 ， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）把点、的坐标代入，计算得出抛物线的表达式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交于，设，则，可证得，求得，证明四边形是平行四边形，再证明，可得，表示出关于的函数关系，再运用二次函数的性质，求出的最大值及此时点的坐标即可； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，过点作轴交轴于，过点作轴于，根据三角函数定义可得，过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再证得，可得，，利用证明，得出，，，根据图形与坐标，得出点、的坐标，再利用待定系数法求得直线、的解析式，联立解析式求解得出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，，， ∴， 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，，取得最大值， ∴的最大值， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴，原抛物线的顶点为， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴交轴于，过点作轴于， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）； ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数与一次函数解析式、二次函数图象上点坐标的特征、平行四边形的判定与性质、三角函数相关计算、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度、数形结合是解题的关键． 47．如图，已知抛物线交轴于点（点在点左侧），交轴于点，且； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，以为斜边在下方作等腰直角，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合题，涉及到求二次函数解析式，面积问题，等腰直角三角形等知识点； （1）依次求出和的坐标，代入计算即可； （2）过作轴于，根据求解即可； （3）由可得，即可得到，由可以设，再过作轴于，过作轴于，可证得，得到，列方程求解即可． 【详解】（1）∵抛物线交轴于点， ∴， ∵ ∴， ∴， 把代入解得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过作轴于， 令可得，解得， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若点的横坐标为， ∴， ∴ ∴； （3）过作轴于，过作轴于， ∵，， ∴， ∵等腰直角， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴设纵坐标为，则，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵轴于，轴于， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得（P与A重合，舍去）或， ∴， ∴． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，过点作交轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，点为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)最大值6，点坐标； (3)点的横坐标为1或或，过程见解析． 【分析】（1）结合待定系数法代入点坐标，解方程组即可得到答案； （2）作，由，，可知道，，由，不妨设，那么，，所以，当与相切时，取最大值，联立与，时可算得的表达式，点的坐标，以及的值，从而计算出的结果； （3）先计算点坐标，点坐标以及的顶点坐标，计算出的长度，推出将原抛物线沿射线方向平移个单位时，即是将原抛物线沿水平方向向左移动了2个单位，向下移动了个单位，从而得到的表达式，作轴交于点，证明是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质，推出，结合，，推出，①当点在直线上时，联立直线 和抛物线，解得横坐标，②作的垂直平分线交于,作交于点，那么，，先通过求得点坐标，然后求出直线的表达式，然后求出的表达式，最后联立直线和计算出的横坐标． 【详解】（1）过， ， （2）作，如图所示 ， ， 将代入， 不妨设，那么 设直线为，代入， 直线为 不妨设直线为 当与相切时，取最大值 联立与， ，可化简为 当时，即，直线与相切 那么直线为 当代入，解得 将代入，得到 点坐标为 当代入，那么 点坐标为 故最大值是6，点点坐标为； （3）将代入，记得， ， ， ， ，是该抛物线的顶点 点坐标为 作交于点 ， 那么当原抛物线沿射线方向平移个单位时， 即是将原抛物线沿水平方向向左移动了个单位，向下移动了个单位， ， 新抛物线 作轴交于点，连接， 点坐标为 是线段的垂直平分线 ， ， ， ， ，即 设直线为，代入， 直线为 ①当点在直线上时，联立直线 和抛物线 ，整理得 当点在直线上，横坐标为1； ②作的垂直平分线交于,连接，作交于点 那么， 不妨设 ，， 点坐标为 设直线为，代入， 直线为 设直线的表达式为，代入点 直线的表达式为 联立直线和抛物线 解得， 此时点的横坐标是或 综上所述，点横坐标可以是1，，． 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，包括待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程根与判别式的关系，垂直平分线的性质，一次函数的平移，三角形外角的性质，平行线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 49．如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解； （3）当点P在x轴上方的抛物线上时，证明，得到，求出，进而求解；当点P在x轴下方的抛物线上时，同理可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线 的顶点D的坐标为， ∵， ∴，则， 设，则， 则， ①当时，有， 则， 解得：， 故； ②当时，有，则， 此时无解； ③当时，有，则， 解得：或； 故或； 综上所述，点M的坐标为或或； （3）解：存在，理由： 在抛物线上存在点P，使． 令， 解得：，， ∴抛物线交x轴于点， 则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方的抛物线上时， 作于G，于H，延长与直线交于点I，过点I作轴于J， 则， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得： （不合题意的值已舍去）， 则； ②当点P在x轴下方的抛物线上时，延长与直线交于点K．过点K作轴于L， ∵，，， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵，， ∴， 同理根据，可求出直线的解析式为： ， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则点， 综上所述，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的定义，中点坐标公式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 50．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，一次函数经过点B，C． (1)求二次函数的解析式； (2)求证： (3)抛物线上是否存在一点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合， 一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等： （1）先根据一次函数解析式求出B、C坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出点A坐标，再解直角三角形证明，即可证明结论； （3）先证明，再分当点P在x轴下方时，当点P在x轴上方时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）证明：当， 解得或， ∴， 在中，， 在，， ∴ ∴，即； （3）解：∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， 如图所示，当点P在x轴下方时，∵， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为 如图，当点P在x轴上方时，设与x轴交于H，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立 或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数综合题角度问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 角度问题角相等】 1 【题型2 角度问题角有倍数关系】 5 【题型3 角度问题互余】 10 【题型4 角度问题已知角的度数】 15 【题型5 角度问题和差关系】 20 【题型1 角度问题角相等】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，当的面积取得最大值时，求出此时点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不能，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，点R在直线上，当取最大值时，求此时点的坐标及的最大值． (3)如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线上是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标； (3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由． 7．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值． 10．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D． (1)如图1，若该抛物线经过原点O，且 ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 【题型2 角度问题角有倍数关系】 11．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标．   12．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，为抛物线第三象限上一点，连接、、，若，求点的横坐标． 14．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相较于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 17．抛物线与轴交于点，与轴交于点、，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线在第一象限内的一动点，过P作交x轴于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与y轴交于点N，M是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型3 角度问题互余】 21．如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 22．如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 ．当时，请直接写出符合条件的点坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 24．如图，直线与x轴，y轴交于分别交于A，B两点，，抛物线经过点A，B，C，点P在y轴右侧抛物线上，点P的横坐标是， (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点Q在线段上，，P点的横坐标． (3)如图2，当点P在第一象限，交于点D，交y轴于点E，若．求点P坐标． 25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 26．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标． 27．如图1，抛物线 与x轴分别交于点，，与y轴交于点，点P是坐标平面内一点，点P坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图 2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时 n 的取值范围． (3)在（2） 件下的新图象L，连接，若点D在新图象L上且 求点D的坐标． 28．如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 29．综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 30．已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧）与y轴的交点为C，P是抛物线上第四象限内的一个动点，连接，，当面积为面积的三分之一时，求出此时点P的坐标； (3)连接，是否存在点P，使得，若存在，直接写出m的值，若不存在，请说明理由． 【题型4 角度问题已知角的度数】 31．如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，连接，若，求此时点的坐标； (3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标． 32．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线与交于点Q，当时，求点P的坐标； (3)坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； (3)点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 37．如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； (3)若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 39．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值； (3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标． 40．如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 【题型5 角度问题和差关系】 41．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点，直线的解析式为，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上的一点，过点作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点、交于点，连接，过作交于点，连接，，点在第四象限的抛物线上，连接交于点，若，求点的坐标． 42．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B，且，交y轴于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点G为第一象限抛物线上的一点，连接，过点G作轴交于点H，设长为d，点G的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）． (3)在（2）的条件下，点F坐标为，当，求点G的坐标． 43．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 44．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 45．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 47．如图，已知抛物线交轴于点（点在点左侧），交轴于点，且； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，以为斜边在下方作等腰直角，求点的坐标． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，过点作交轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，点为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 49．如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 50．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，一次函数经过点B，C． (1)求二次函数的解析式； (2)求证： (3)抛物线上是否存在一点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$